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1、 让抽象变得自然线性代数精彩案例李尚志北京航空航天大学 润物细无声：应用案例 子空间概念的应用4 阶幻方构造法 4 x + 同加1随风潜入夜:概念的引入方程个数的真与假方程组 有几个方程 ？3个? 2个? 某个方程是其余方程的线性组合 线性相关 方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的线性 组合） 删去多余的方程 - 打假 将打假进行到底 极大线性无关组 剩下的方程的个数- 秩rank 极大线性无关组，秩二元一次方程组的几何意义行列式的定义方程组可写成向量形式即1. 有唯一解的条件不共线即2. 消元: 方程(1.1)两边与(1.1 )作内积消去y, 得其中就是同理得图2因此,于是3. 二阶行
2、列式 平行四边形面积称为二阶行列式, 记作是平行四边形 OAPB 的有向面积,是两个向量或的函数,计算公式:或图24. 代数算法可写成其中三阶行列式与体积1. 三元一次方程组的几何意义两边同时与方程作内积消去 y, z , 得到类似地可以得到 y, z 的表达式。当时得从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使则就是以OA,OB,OC为棱的平行六面 体的有向体积。称为三阶行列式，记作2. 三阶行列式 平行六面体体积利用基本性质计算 n 阶行列式(3.1)当 i1,i2,in 中有两个相等时，这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1
3、,2,n 的全体排列 (i1,i2, in ) 求和，成为：将排列 中任意两个数 相互交 换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行 列式 中的 互换了位置， 其值变为原来值的相反数 。进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列 变成标准排列 (12n), 相应地将 变成 (3.2)以下只须对每个排列 求可以证明, 的值由排列 唯一 决定, 我们将 记为 sgn 。则 sgn代入(3.3) 得到(3.3)于是得这可以作为 n 阶行列式的定义。(3.4)线性代数空间为体, 矩阵为用 研究对象-几何：线性空间(向量) 研究工具-代数：矩阵运算 向量 (问题) 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量(解答
4、) 与微积分的关系: 非线性 -微积分 线性 -线性代数 微积分中的代数模型 物理: 以匀速代变速 几何: 以直代曲 代数: 以线性代非线性线性化-微分与导数 y = f(x) 在a的微分： Dy= f(x)-f(a) 线性函数 dy = kDx 误差 q = Dy-dy 是 Dx = x-a 的高阶无穷小. 导数 f (a) = 一次项系数 k . 一次函数逼近 f(x) f(a) +f(a)(x-a) 误差集合 o(Dx) ：Dx 的高阶无穷小 非零作零貌似零: q+q = q, q-q = q, aq= q. 同余式 f(x) f(a) +f(a)(x-a) （mod o(Dx) ）同余
5、式: 极限: f(x) A, f(x) A （mod O(Dx) ） 微分: f(x) f(a) +f(a)(x-a) (mod o(Dx) Taylor逼近: f(x) k0+k1(x-a)+kn(x-a)n (mod o(Dx)n)多项式的导数 . 多项式 f(x) 的导数: x为常量，t 为变量,则 D f(x) = f(x+ t ) f(x) 是 t 的多项式 ，其中的一次项系数为 f (x).和差积商的导数公式 f(x) f(a) + f(a) Dx g(x) g(a) +g(a) Dx 两式相加减 和差的导数 相乘乘积的导数 f(x)g(x) f(a)g(a) +(f(a)g(a)
6、+g(a)f(a) Dx 倒数的导数:微积分基本定理 数学聊斋：飞檐走壁之电影 实现 导数： 位置 f(t) 速度 v(t) = f(t) 积分：速度 v(t) 路程 Df(t) “倒过来放映”: 求 f(t) 使 f(t) = v(t) . 例： . F(x,y) 在某点P0可微 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)? 线性化: aDx+bDy 0, y=f(x) 在 x0 可微, 导数为 隐函数存在定理2018/8/7 可微函数 n 个方程 =0 , 线性化即 当 det B 时有唯一解隐映射定理2018/8/7线性变换前后的图形2018/8/7向量方向的变化2018/8/7选取特
7、征向量为基2018/8/7计算案例: 若当标准形网上资源http:/ 精品课程国家级数学实验(2003),线性代数 (2004) http:/ 2006申报精品课程 国家级联系办法: 已出版教材李尚志, 线性代数(数学专业用 ),高等教育出版社,2006.5 精品课程网页 http:/博 客http:/ 比梦更美好比梦更美好之二 - 名师培养了 我数学聊斋二则数学诗选星移斗转落银河,月印三潭伴碧波。保短保长皆变换,能伸能屈是几何。矩阵与变换2018/8/7我的数学聊斋之一 峨嵋山的佛光数学聊斋之二 指鹿为马之幼儿版博比: 长颈鹿 马马 老虎 猫咪狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸纠错码: 合法码两两之间
8、差异大 (至少3位)原码: 010011101011传输 错码: 010010101011纠错最接近的合法码数学聊斋之三 人与照片之维数之四 飞檐走壁之电影 实现数学聊斋(之五) 足球的方与圆- 概率 沙场百胜古来稀 九密一疏已足奇 祸福偶然存概率 风云多变泄天机数学聊斋之六 没收非法所得是惩罚吗- 数学期望之七 邯郸农行案谢谢 ！ 代数几何熔一炉乾坤万物坐标书图形百态方程绘变换有规矩阵筹代数与几何2018/8/7矩阵的相似对角化 AX1=aX1, AX2=bX2, AX3=cX3 A(X1,X2,X3) = (X1,X2,X3) D D=diag(a,b,c), P=(X1,X2,X3) AP=PD, P-1AP = D A 相似于对角形 D . 2018/8/7参考文献 线性代数(数学专业用), 高教出版社, 2006. 让抽象变得自然-建设国家精品课程的体会, 中国大学教学, 2006年第7期 线性代数精彩应用案例(之一),大学数学, 2006年第3期 线性代数精彩应用案例(之二),大学数学, 2006年第4期 若当标准形的计算, 大学数学, 2006年第5期 从问题出发引入线性代数概念, 高等数学研究, 2006年第5期,第6期
