流体力学 第三章

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1、第三章 流体静力学流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其 应用的科学。静止（或者说平衡），是指流体宏观质点之间 没有相对运动，达到了相对的平衡。静止绝对静止相对静止流体对地球无相对运动但流体对运动容器无相对运动， 流体质点之间也无相对运动。本节课讨论的主要内容 3.1 流体静压强及其特性 3.2 流体平衡方程式注意梯度、旋度、微分算子等概念3.1 流体静压强及其特性一 、静压强静止的流体无相互运动不表现出黏性，即 不存在摩擦力（剪力），切向应力为零，只存 在法向应力即压力。应力处处与其作用面垂直 。流体静压强就是负的法向应力，即二 流体静压强的特性1、流体静压强方向必然重合于受力面的内 法线

2、方向，即流体静压强的方向沿作用面的 内法线方向。假 设：在静止流体中，流体静压强方向不与作用面 相垂直，与作用面的切线方向成角切向压强pt法向压强pn则存在流体要流动与假设静止流体相矛盾2、压强大小跟受力面位置的关系通常，压强的大小跟受力面的位置（或 说方向）有关。但是对于静止流体，流体中任一点流体 静压强的大小与其作用面在空间的方位无关 ，只是该点坐标的连续函数，也就是说，静 止流体中任一点上不论来自何方的静压强均 相等。证明取如图微元面体，认为作用在各个面上 的压强均匀分布的。Y方向上的力平衡由于因此当四面体向A点收缩时，3.2 流体平衡方程式 1、平衡方程式 取一个矩形微元六面体，其六个

3、面分别与坐 标轴平行，设微元中心处的压强为p，由于 这是个微小体积，因此认为六个面上的压强 各自均匀分布，常用面向中心来代表。而面上中心处的压强又可以围绕六面体中心 做Taylor展开，并忽略二阶以上的高阶量， 则A、B点的静压强为假设为六面体的平均密度，为作用在六面体内单位质量流体上的质量力沿坐标的分 力，则x方向的平衡方程为流体平衡的 欧拉方程2 压强差公式及等压面静压强全微分欧拉方程代入压差公式 压强相等的各点组成的面称为等压面，即作用于静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该 点的等压面。*静止流场基本特性(1)流体静止时质量力必须满足的条件对静力学基本方程两边取旋度，有：则有：由于，所

4、以有即流体静止的必要条件。在直角坐标系中为：例. 设在一流场中有质量力：问：当,v取何值时，该流场是静止的。解：流场中流体静止的条件是质量力满足式：对给定的质量力求偏导数：在直角坐标系中的表达式为：将其带入流体静止条件得：要使上式恒成立，只能是各项的系数为零，即 :解三元一次方程组得：只有满足上述条件时，该流场中的流体才 是静止的。(2)质量力有势对于不可压缩流体，其密度=const，则由上式其中U为标量函数。所以这是不可压缩流体静止的必要条件。两边取旋度：流体质量力满足这个关系就称为质量力有势，因 此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件，U被 称为质量力势函数。右边的负号表示质量力作正功等

5、 于质量力势的减少。 流体的密度只随压强变化的正压流场 压强差公式总结 流体静压强及其特性掌握静止的概念、静压强的特性（理解原 理） 流体平衡方程式（掌握、理解）预习 3-3重力场中流体的平衡珀斯卡原理 3-4液柱式测压计 3-5流体的相对平衡 3.3 重力场中流体的平衡单位质量力的分力各为：代入压差公式：流体静力学基本 方程式一、流体静力学基本方程式基本 方程 不同 表达重力作用下静止 流体中各点的单 位重量流体的总 势能是相等的物理意义单位重量流体对某一基准面的位势能单位重量流体的压强势能 位势能和压强势能之和称为单位重量流体的 总势能。zc例：对于a，b两点，有重力作用下的连续均质不可压

6、 缩静止流体中，各点单位重量 流体的总势能保持不变。考察a点和自由液面上的某点 列静力学基本方程式：帕斯卡原理帕斯卡原理：施于在重力作 用下不可压缩流体表面上的 压强，将以同一数值沿各个 方向传递到流体中的所有流 体质点。p02p2z2z11p1完全真空z112z2pe2/gAAAA基准面pe1/gpa/gp2/gp1/gp1p0 p2pa几何意义1、单位质量流体所具有的能量用液柱高度来表示，称 为水头。（位置水头） 2、压强作用下，在完全真空的测压管中测得的高度叫 压强水头。 3、位置水头与压强水头的和称静水头，各点静水头的 连线叫静水头线。(1) 在重力作用下的静止液体中，静压强随深度 按

7、线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成 正比增大。三个重要结论(2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 自由液面上的压强p0； 该点到自由液面的单位面积上的液柱重量gh。(3) 在静止液体中，位于同一深度(h常数)的各点 的静压强相等，即任一水平面都是等压面。二、标准大气的压强分布对流层：从海平面到11000m同温层：11000m到20100m,近似积分限三、绝对压强、计示压强绝对压强：以完全真空为基准计量的压强。液面上 的压强就是大气压强时，则a点的绝对压强为：计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强。a点 的计示压强为：可正可负绝对压强小于当地大气压强 的负计示压强又称真空。3

8、.4 液柱式测压计1、测压管结构简单，测 量准确，缺点: 只能测量较小 的压强。 2、U形管测压计 测压 测真空度 计示压强 测压管3、U形管压差计4、倾斜微压计 5、补偿式微压计一一. . 直线等加速运动容器中的静止液体一个盛有液体的容器相对于地面作直线匀加速运动，其加速度 为：若将非惯性坐标系固定在容器上，则由达朗 贝尔原理，该非惯性坐标系中的流体将受到惯性 力的作用，且单位质量流体受到的惯性力为-a。3.5 液体的相对平衡将上式代入基本方程得：于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和 重力两部分组成：其直角坐标系下的分量式为：则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表 示为：由于加速度

9、恒定，积分可得流体的压力分布：其中：c为积分常数，由具体问题确定。一般性（课本中）如图有 代入下式 等压面 边界 条件 压力方程自由液面 例题：如图为运送液体的槽车简化模型。槽车以等加速度a做水平运动，车内液高H，试求槽车在等加速运动过程中自由液面的形状。假定自由液面的压力为p0。带入压力全微分公式：解：将固定在槽车上的运动坐标系的原点置于 静止时自由液面的中点。则槽车运动时单位质 量液体受到的重力和液体的加速度分量分别为 ：ozax h由于自由液面为等压面，dp=0，所以有adx=-gdz积分得 z =-ax/g+c自由液面通过原点，则c=0，则自由液面方程为： 说明自由液面是斜率为-a/g

10、的倾斜平面。 此外，槽车内液体的压力分布为：改写成：式中 项正好等于液体自由液面以下 的垂直深度h，可确定则：此式表明，在非惯性坐标系中，静止液体中压力 同样只是液体深度的函数。练习：一加满水的柱体直径为30cm，60cm高，问逐 渐加上多少加速度会溢出1/4的水量？1/2的水量 ？全部的水量？二 、等角速度旋转容器中液体的平衡代入压强差公式积分边界条件 回顾1、重力场中流体的平衡 帕斯卡原理掌握静力学基本方程式，理解其物理意义 及几何意义。掌握帕斯卡原理。了解标准 大气的压强分布，掌握绝对压强及计示压 强。 2、液柱式测压计（理解原理） 3、液体的相对平衡掌握水平直线等加速运动容器及等角速旋

11、 转容器中液体的相对平和规律要求 1、课后仔细理解书中的例题； 2、复习； 3、预习：第三章的剩余部分； 作业：3-3,3-4,3-5, 3-7 面积矩：平面图形对某一轴的面积矩S等于此图形中 各微面积与其到该轴距离的成绩的代数和，也等于 此图形的面积与此图形的形心到该轴距离的乘积。 合力矩定理：平面力系的合力对平面上任一点之矩 ，等于各分力对同一点之矩的代数和。 惯性矩：面积元素至y轴或z轴距离平方的乘积。 平行移轴定理：该截面对P轴的截面惯性矩等 于对与P轴平行的形心轴（x 轴）的截面惯性矩与其截面 面积和两轴（P轴和x轴）间 距离平方的乘积之和。水平壁面的总压力 图2-22中四容器底面总

12、压力相等（作用在容器底面的总压力不能与容 器所盛液体的重力相混淆）3.6 静止液体作用在平面上的总压力1 总压力的大小液深不同，静压强不同，但方 向均垂直指向平面A，组成一 平行力系。问题：平行力系的 合成问题。 微元面积上的压强：沿面积A积分平面A对 ox轴的 面积矩C为形心式中：Ix为平面A对Ox轴的惯性距。由惯性距性质进一步分析可知：压力中心D永远在形心c的下方 。 2 总压力的作用点D（总压力的作用线与平面的交点）合力矩定理惯性矩 根据惯性矩平行移轴定理代入（曲面上压力体的重力） 3.7 静止液体作用在曲面上的总压力 1 总压力的大小和方向水平分力垂直分力总压力大小：总压力与垂线间的夹

13、角： 2 作用点（如图2-26） 垂直分力通过压力体 重心指向受压面， 水平分力通过 压 力中心指向受压面 ，总压力作用线通 过两条线交点与垂 线成 角指向受压 面，与受压面交点 即为作用点。 3 压力体如图2-27，液体作用在曲面上的总压力的垂直分力 等于压力体的液体重力，但并非作用在曲面上的一 定是它上面压力体的液体重力。3.8 静止液体作用在潜体和浮体上的浮力完全浸没或部分浸没在液体中的物体，要受到液体 对它的作用力，其合力称之为浮力。表示为：其中，“-”表示dA上的压力与 相反。A为物体表面面 积， 为表面单位法线矢量，p为物体表面所受的压力 。 完全浸没物体的浮力对于一个完全浸没在液

14、体中的物体，物体体 积为V，表面积为A液体密度为，自由液体与大 气接触，大气压为p0，物体表面所受压力为：以坐标原点为参数点.则浮力为由于p0为常数，故有 根据奥-高公式有： 上式表明，物体所受到的浮力等于其所排开的液体 的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。部分浸没物体的浮力物体的浮力可写成：假定沿自由液面切割物体，物体切割面的 面积为A0，显然有于是A1，A0构成封闭面， 应用奥-高公式有：上式表明，部分浸没的物体受的浮力同样等于其 所排开的液体的重量，方向垂直向上。于是可将 液体中的物体受的浮力写成：(阿基米德原理) 液体作用在沉没物体上的 总压力的方向垂直向上， 大小等于沉没物体所排开

15、 液体的重力。 课本物体浮出水面平衡，潜体物体下沉例3-6：如图，一矩形闸门两面受到 水的压力，闸门宽度 试求作用在 闸门上的总压力及其作用点。解：例题以上作用点是分别以闸门两侧液面交点为基准，转为 以o点为基准的力矩平衡式为：例3-7：一柱形闸门如图， ， ，闸门宽 度 ，试求作用于曲面上的总压力。解：水平分力垂直分力总压力大小、方向例3-10：汽油容器底部有一 的圆阀，阀芯用拽绳系于 的柱形浮子上，浮子与阀芯的总质量 ，汽油密度 ，拽绳长度 ，试求开启圆阀的液面高度。解：浮力：向下的力： 两力相等得开阀液面高度：本章概念汇总 1、流体静力学：研究流体处于平衡的力学规律。 2、静止状态：流体相对于惯性系没有运动的状态。 3、相对静止状态：流体相对于惯性系有运动，而对某非 惯性系没有运动的状态。 4、静止状态的流体不呈现粘性，所以静力学的结论对理 想流体和粘性流体均适用。 5、流体静压强：流体中某点的静态压强。 6、作用于静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该点 的等压面，当质量力只有重力时，静止液体的等压面 一定是水平面。 7、在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体