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1、1无穷小(infinitely small)无穷大(infinitely great)小结 思考题 作业 无穷小与无穷大的关系2.3 无穷小与无穷大第2章 极限与连续21. 定义极限为零的变量称为 无穷小量, 简称如,无穷小是指函数变化的趋势.无穷小.一、无穷小在某个过程中皆非无穷小.极限问题可归结为无穷小问题. 极限方法的 重要部分是无穷小分析.2.3 无穷小与无穷大定义2.83记作注“无限制变小的量”(1) 无穷小是变量, “无穷小量”并不是表达量的大小, 化状态的.(2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.使得当不能与很小很小的数混淆;而是表达它的变恒有2.3 无穷小与无穷大定义2.8恒有4
2、2. 无穷小与函数极限的关系证定理2.12恒有也即恒有2.3 无穷小与无穷大5于是恒有即类似可证明 的情形.其中A是常数,恒有2.3 无穷小与无穷大 定理2.126二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.如,是无穷大;是无穷大.2.3 无穷小与无穷大7定义2.9记作特殊情形: 正无穷大, 负无穷大.定义使得当恒有2.3 无穷小与无穷大8无穷大一定是无界函数,注(3) 无穷大与无界函数的区别:它们是两个不同的概念.某个过程的无穷大.但是无界函数未必是比如数列是无界的, 时的无穷大.(1) 无穷大是变量, 不能与很大的数混淆;绝对值无限增大的变量称为无穷大.但不是2.3 无穷小与无穷大9如是无界
3、函数, 但不是无穷大.因为取而取所以 f (x)不是无穷大!当n充分大时,f (xn)可以大于一预先给定的正数M;绝对值无限增大的变量称为无穷大.2.3 无穷小与无穷大10证例的图形的 铅直渐近线(vertical asymptote).结论所以则直线x = x0是函数y = f (x)使得当恒有2.3 无穷小与无穷大11证定理2.13恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.三、无穷小与无穷大的关系此时对使得当所以因为在同一过程中, 无穷大的倒数为即使得当恒有2.3 无穷小与无穷大无穷小;12意义 无穷小的讨论.都可归结为关于恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.此时对使得当定理2.13 在同一过程中,无穷
4、大的倒数为无穷小;所以所以关于无穷大的讨论,从而 使得当2.3 无穷小与无穷大13 两个正 无穷大之和仍为正 无穷大; 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之积容易证明例解但须注意, 无穷大.仍为无穷大, 有限个无穷大的乘积也是无穷大; 有界量与无穷大的乘积不见得是(负)(负)2.3 无穷小与无穷大14无穷小的概念;无穷小的运算;无穷小与函数极限的关系;无穷大的概念;无穷小与无穷大的关系.四、小结2.3 无穷小与无穷大15思考题考研数学三, 3分A. 无穷小量B. 无穷大量C. 有界量非无穷小量D. 无界但非无穷大量D2.3 无穷小与无穷大16作业习题2.3(第30页) 2.3 无穷小与无穷大
