数学建模大学课件1

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1、数学建模主讲 张曙光 副教授孙中品 讲 师第一讲 数学建模概论一 数学建模与数学建模竞赛 二 数学建模与我们的生活 三 数学建模概论一 数学建模与数学建模竞赛 数学建模课程 数学建模竞赛二 数学建模与我们的生活 1.椅子放稳问题 2.手机套餐选择 3.步长问题 雨中行走问题 4.最短线路问题 5.贮存(进货)模型 化工车间排气模型 决策模型-年金分配 6.公平席位分配 7.传染病模型 减肥模型 赝品的鉴定 8.循环比赛的名次 9.田忌赛马 10.渡河问题 数学建模示例1. 椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模 型 假 设通常 三只脚着地放稳 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连

2、线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADC ODC B A 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地距离是的函数 四个距离( 四只脚)A,C 两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和 g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD 绕O点旋转正方形 对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f() , g()是连续函数对任意, f(), g() 至少一个为0数学 问题已知： f() , g()是

3、连续函数 ;对任意， f() g()=0 ;且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗造的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0) (1)其解为： (2)此式称为EOQ公式，Q*称为最佳定货批量，它是(1)的唯一最小值点。然而，对于大多数实际问题，都要求批量Q为正整数，而EOQ公式的计算结果一般不一定是正整 数。通常教科书介绍的做法是通过比较Q*左

4、右两旁的整数点对应的函数值，选择较小者确定的整数 最优解。现在我们希望能导出其规律性，使能直接从Q*的值确定出(1)式的整数最优解，在应用上更加方 便。模型(1)的问题可化简为如下的函数来研究(3) 以下假定ba，记n=x0，考察定理 若 ，则n为(3)式的整数最优解；若 ，则n+1为(3)式的整数最优解。 在大多数情况下，可直接利用定理2确定出(3)式的整数最优解，只有当 时，才需 要用定理1确定(3)式的整数最优解。由此可从(2)式十分简便地获得模型(1)的整数最佳订货批量。10. 商人们怎样安全过河问题(智力游戏) 3名商人 3名随从随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人

5、多, 就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定 .商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk , yk)过程的状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许状态集合uk第k次渡船上的商人数vk第k次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策D=(u , v) u+v=1, 2 允

6、许决策集合uk, vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk +(-1)k状态转移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).多步决策 问题模型求解xy3322110 穷举法 编程上机 图解法 状态s=(x,y) 16个格点 10个 点允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3;x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2三 数学建模概论 1.

7、数学模型与数学建模数学模型与数学建模 2.2. 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 3.3. 数学模型的分类数学模型的分类 4.4. 数学建模与能力的培养数学建模与能力的培养 5.5. 一些简单实例一些简单实例 6.6.怎样学习数学建模 数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客 观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一 现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程 。1.1 数学模

8、型与数学建模数学模型与数学建模 例（万有引力定律的发现 ） 十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时间 的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分 方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。1.行星轨道是一 个椭圆，太 太阳位于此椭圆的一个焦 点上。 2.行星在单位时间内 扫过的面积不变。 3.行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方 ，比例系数不随行星而 改变（绝对常数）开普勒三大定律

9、这其中必 定是某一 力学 规律 的反映，哼哼，我 要找出它。 如图，有椭圆方程 :矢径所扫过的面 积A的微分为:由开普勒第二定 律:常数立即得出 :即:椭圆面积由此得出常数简单推导如下：行星 r太阳我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点， 沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：进而有 加速度以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向 量分别是因此得出由于 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因

10、素，经必 要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即 建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。 在难以得出解析解时，也 应当借助 计算机 求出数值 解。 1.21.2 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤实体信 息(数据)假设建模求解验证应用1.31.3 数学模型的分类数学模型的分类分类标准分类标准具体类别具体类别对某个实际问题 了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特 征连续连续 型模型、离散型模型或确定性 模型、随机型模型等 建模中所用的数 学方法初等模型、微分方程模

11、型、差分方 程模型、优优化模型等 研究课题的实际 范畴人口模型、生 态态系统统模型 、交通 流模型、经经 济济模型、 基因模型等数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点 创新的能力。这种能

12、力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 1.41.4 数学建模与能力的培养数学建模与能力的培养开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 题的本领。最近几年，我国大学 生参加数学建模竞赛 空前踊跃.学生在参加 了半年多的学习和实 践后，就能在全国大 学生数学建模竞赛中 交出非常出色的研究 论文，夺得特等奖一 等奖、二等奖的好成 绩。我们的目标就是 参与并取得好成绩例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子

13、，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？ 1.51.5 一些简单实例一些简单实例似乎条件不够哦 。换一种想法，问题就迎刃而 解了。假如他的妻子遇到他后仍 载着他开往会合地点，那么这一 天他就不会提前回家了。提前的 十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到 会合点，又从会合点返回相遇点这一 段路的缘故，故由相遇点到会合点需 开5分钟。而此人提前了三十分钟到 达会合点，故相遇时他已步行了二十 五分钟。 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下 ，可以保

14、证途中至少存在一地，此人在两 天中的同一时间到达该地。分析分析 本题多少本题多少 有点象有点象 数学中数学中 解的存在解的存在 性条件性条件 及证明，当及证明，当然然 ，这里的情况要简单得多。，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证明） 例3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有 一个过渡状态亮一段时间的黄灯 。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看 出，黄灯起的是警告的作

15、用，意思是 马上要转红灯了，假如你能停住，请 立即停车。停车是需要时间的，在这 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 离 L。这就是说，在离街口距离为 L处 存在着一条停车线（尽管它没被画在 地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时 已过线的车辆，则应当保证它们仍能 穿过马路。 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L 的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹 车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动后 车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司 机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长 将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是 交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大， 可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2 既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定 律计算出来 （ 留作习题）。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 一步，先计算出