《立体几何中的向量方法求夹角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何中的向量方法求夹角（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、ZPZ空间“角度”问题1.异面直线所成角lmlm若两直线 所成的角为 , 则复习引入1.两条异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线 a a, b b,则a , b 所夹的锐角或直角叫a与b所成 的角.(2)范围:(3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 ,其夹角为 ,则有(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的 方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时, 应取其补角作为两异面直线所成的角.空间三种角的向量求解方法例2解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以：所以 与 所成角的余弦值为 题后感悟 如何用坐标法求异面直线所成
2、的 角？ (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式 ； (3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向 量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线 所成的角 方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的 方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱） 的夹角。如图（2），设二面角 的大小为其中AB DC LBA2、二面角注意法向量的方向：同进同 出，二面角等于法向量夹角 的补角；一进一出，二面角 等于法向量夹角 L将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 如图，向量 ，则二面角 的大小 2、二面角若二面角 的大小为 , 则法向量法BDC A3.二面角
3、(1)范围:(2)二面角的向量求法:若AB、CD分别是二面角 的两 个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的 大小就是向量 与 的夹角(如图(1)设 是二面角 的两个面 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补 角)就是二面角的平面角的大小(如图(2)(1)(2)例2 正三棱柱 中，D是AC的 中点，当 时，求二面角 的余弦值。CADBC1B1 A1以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz在坐标平面yoz中 设面 的一个法向量为 同法一，可求 B(0,1,0)可取 (1,0,0)为面 的法向量 yxzCADBC1B1 A1由 得解得 所以，可取 二面角 的大小等于 cos = 即二面角 的余弦值为
4、方向朝面外， 方向朝面 内，属于“一进一出”的情况 ，二面角等于法向量夹角设平面 如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都 为2，D为CC1的中点，求二 面角AA1DB的余弦值 策略点睛 题后感悟 如何利用法向量求二面角的大小 ？ (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的 法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝 角； (5)确定出二面角的平面角的大小 ABn3. 线面角设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所 成的角为 ，向量 与n所成的角为 ，则n而利用 可求 ，从而再求出 3. 线面角l设直线l的方向
5、向量为 ，平面 的法向量为 ，且 直线 与平面 所成的角为 ( ),则2.直线与平面所成的角(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.(2)范围:(3)向量求法:设直线l的方向向量为 ,平面的法向量为 ,直线与平面所成的角为 , 与 的夹角为 ,则有N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体 中，例1：N又在长方体 中，例1：例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平 行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= .(1)求证 (2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz【典例剖析】 例3 如图图,在四棱锥锥PABCD中，底面A
6、BCD为为矩形， 侧侧棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线线段BC 上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为为 450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说说明理由。 【典例剖析】 DBACEPxzy解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分 别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系， 设BE=m，则2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影 的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1 ），那么这条斜线与平面所成的角是_ .3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)， 则两平面所成的钝二面角为_ .基础训练:1、已知 =(2,2,1)
7、, =(4,5,3),则平面 ABC的一个法向量是_ .6001350【巩固练习】 1 三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为为PC中点 ,则则PA与BE所成角 的余弦值为值为 _ .2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为值为 _ .3正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为为A1D1的中点, 则则二面角E-BC-A的大小是_用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）小结：小结：1.异面直线所成角学.科.网： 2.直线与平面所成角： 3.二面角：关键：观察二面角的范围
