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1、第二章 矩阵矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算及理论贯 穿线性代数的始终，对矩阵的理解与掌握要扎实深入.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩 阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律， 了解方阵的幂与方阵乘积的行列式.正确理解逆矩阵的概 念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件， 理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.掌握矩阵 的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，正 确理解矩阵的秩的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩 和逆矩阵的方法.了解分块矩阵及其运算.必须会解矩阵 方程.1概 念特 殊 矩
2、 阵mn个数aij (i = 1,2,m ; j =1,2,n)构成的数表.单位距阵:主对角线元素都是1,其余 元素都是零的n阶方阵.对角矩阵:主对角元素是 其余元素都是零的n阶方阵.对称矩阵:一、矩阵主要知识网络图AT = A.反对称矩阵: AT = A.矩 阵2运 算A+B = ( aij + bij)kA= ( kaij ).AB = C 其中A与B同型.的第i行是A的第i列.|A|= detA ,A必须是方阵.伴 随 矩 阵n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子 式构成的矩阵.AT: AT注意：矩阵加法与行 列式分解的区别注意：数乘与行列式提取 公因子的区别3逆 矩 阵概 念求 法证
3、 法如果AB=BA=E,则A可逆， B是A的逆矩阵.用定义. 用伴随矩阵分块对 角矩阵 |A| 0 , A可逆 .|A| = 0 , A不可逆 .AB = E , A与B互逆.反证法.初等变换法:（AE）初等行变换(EA-1)4二、重要定理1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A|B|.2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一.3、n阶矩阵A可逆 |A| 0; R(A) = n; A为满秩矩阵.4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 .6、若A为对称矩阵，则AT A .7、若A为反对称矩阵，则ATA .5三、重要公式、法则1、矩阵的加法与数乘(1) A + B = B + A
4、;(2) (A + B ) + C = A + ( B + C );(3) A + O = O + A = A;(4) A + (-A) = O;(5) k(lA) = (kl)A ;(6) (k+l)A = kA+ lA ;(7) k( A + B )= kA + kB ;(8) 1A = A, 0A = O. 2、矩阵的乘法 (1)(AB)C = A ( BC ) ; (2) A ( B + C ) = AB + AC;( A + B ) C = AC + BC; (3) (kA)(lB) = (kl)AB; (4) AO = OA = O.6注意：矩阵的乘积问：何时能交换？何时能消去？7
5、3、矩阵的转置 (1)(AT)T = A; (2) (A+B)T = AT+BT; (3)(kA)T =kAT; (4) (AB)T = BTAT.4、矩阵的逆 (1)(A-1)-1 = A ; (2) (kA)-1 = k-1A-1 ; (3) (AB)-1 = B-1A-1; (4) (AT)-1 = (A-1)T .5、伴随矩阵 (1) AA* = A*A = |A|E ; (2) (kA)* =kn-1A* ; (3) (A*)-1 = (A-1)*= |A|-1A; (4) (AT)* = (A*)T .6、n阶方阵的行列式 (1)|AT| = |A|; (2) |kA| = kn|
6、A| ; (3) |AB| = |A|B| ; (4) |A-1| = |A|-1 ; (5) |A*| = |A|n-1 .8910 可逆证法，逆矩阵求法： 伴随矩阵法 定义法 分块对角阵（第30题），特殊四块矩阵（第29题） 初等变换法 方阵的幂及方阵多项式的求法： 归纳法 7，8题 P45-46, 第23-25题 伴随矩阵相关类型： AA* = A*A = |A|E 第16，17，18，22题) |A*| = |A|n-1，第18题 矩阵方程的解法： AX=C，XB=C，AXB=C，第12,13,19,22题 转置矩阵p40 例8 设列矩阵X(x1 x2 xn)T满足XTX1 E为n阶单
7、 位阵 HE2XXT 证明H是对称阵 且HHTE E4XXT4XXTE4XXT4X(XTX)XT(E-2 XXT) (E-2 XXT)HHT所以H是对称阵 HT证明 因为 HE2XXTE T2(XXT)T(E2XXT)T(E2XXT)2H2EEE4XXT4(XXT)( XXT)E2(XT)TXT解 APP1AnPnP1 P2P1A2PP1PP1 而例 已知AP=PB,其中求A及A9. 解 因为P|0,所以P可逆，从而A9=PBP-1 PBP-1 PBP-1= PB9P-1= A.13方阵的幂运算例 设A=(1,2,3), ,且C=AT B,求Cn.解 由于 故 Cn=ATBATBATBATB3
8、n-1C.14例 设A、B、C均为n阶方阵，若ABC=E，则下面 结论正确的是（ ）(A)ACB=E; (B)CBA=E; (C)BAC=E; (D)BCA=E.解 因为ABC=E，所以|A|B|C|=1可知A、B、C均可 逆，于是BC=A-1,两边右乘A，便得BCA=A-1A= E,故选(D).D15例 设A、 B、 A +B 、A-1+ B-1均为可逆矩阵，则 （ A-1+ B-1）-1为（ ）.(A)A+B; (B)A(A+B)-1B; (C)A-1+B-1; (D)(A+B)-1.解 由于A(A+B)-1B-1=B-1(A+B)A-1=B-1+A-1=A-1+B-1. 故选（B).B1
9、63、解矩阵方程例 设矩阵A、B满足A*BA=2BA8E，其中求B.解 由|A|0,所以A可逆，由A*BA=2BA8E，左乘A 右乘A-1得2 B2 AB8E，即(A+E)B=4E,故17例 设A的伴随矩阵且ABA-1=BA-1+3E，求矩阵B解 由|A*|=|A|n-1,有|A|3=8,得|A|=2在ABA-1=BA-1+3E 的两边左乘A*，右乘A得A* ABA-1 A = A* BA-1 A +3 A* A，即 2B=A*B+6E (2EA*)B=6E，显然， (2EA*) 可逆，于是B=6 (2EA*)1，18故19例 设A、 B都是n阶可逆的方阵，则(A) (-2)n|A|B|-1;
10、 (B) -2|AT|B|; (C) -2|A|B-1| ; (D) (-2)2n|A|n-1|B|-1.解 由于故选（D).D20例已知A、B为三阶相似矩阵，1= 1，2=2为A的两个特征值，|B|=2，则行列式.解 因为A、B为三阶相似矩阵，所以|A|=|B|=2，则A的 特征值为1，1，2，从而，A+E的特征值为2，2，3，所以 |A+E|=12，|2B*|=8|B|2=32，故21例设三阶方阵A、B满足A2B-A-B=E，且则|B|= .解 由A2B-A-B=E, (A2- E) B=A+E, (A+E)( A- E) B =A+E，显然A+E可逆，所以( A- E) B = E，取行列式的|B|=22例 设A为n阶方阵，且A3=2E，B=A2+A+E，则 R(B)=_解 在B=A2+A+E的两边左乘A，得AB=A3+A2+A, 将A3=2E，B=A2+A+E代入上式，得AB=2E+A2+A AB=B+E,即 (AE)B=E, 所以B可逆，故R(B)=n23例 设则必有 (A)AP1P2=B; (B) AP2P1=B; (C) P1P2A=B ; (D) P2P1A=B .解 B是由矩阵A第一行各元素加到第三行对应的元 素上，再将第一行与第三行对换，所以B是由A左乘P2，再 左乘P1而得到的故（C）入选C24
