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1、 第一章 数学建模简介数学建模与实验第一章 第四节、第五节、第六节第四节 数学建模实例第五节数学建模过程第六节数学建模论文写作要点例1. 地面上的方桌 在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？ 假设： 1.方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。1.4 数学建模实例2.地面的起伏是连续变化的。 模型： 1. 如何用数学语言描述“桌子的四个脚同时着地”？ xA: A与地面的距离，xB、xC、xD。xBADC ODC B A 正方形ABCD 绕O点旋转2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地 ？ 定位：中心O位于坐标原点 移动：桌子围绕中心转动。 ：AC与X轴 的夹角。 0 0+
2、900= 1. xA( ) 表示在位置时，桌脚A与地面的距 离。 同样 xB( ), xC( ), xD( ). 令 f()=xA()+xC(),g()=xB()+xD() 则有 f(), g()连续且 f()g()0. 桌子在位置* 四脚落地,则有f（*)=0,g(*)=0. 若 f(0)=0, g(0)0, 则有f(1)0,g(1)=0 令 h()=f()-g(),则有h()连续且 h(0) 0，则根据介值定理，必有， 使得h()=0.得证。 思考问题：将例1 的假设1 改为“方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形”，试构造数学模型证实结论同样成立。 问题：用带子包扎管道，使带子全部 包住
3、管道，而用料最省。 假设： 1. 直圆管，粗细一致。 2. 带子等宽，无弹性。 3. 带宽小于圆管截面周长。 4. 为省工,包扎时不剪断带子.例2 管道包扎 参量、变量： W：带宽，C：截面周长，：倾斜角 模型（倾斜角模型） 讨论： 1. 实用么？ 2. 深刻么？ 模型（截口模型）讨论1. 实用性2. 深入分析例 题 已知: 管长 L, 管粗 C, 带宽 W, 求带长 M？若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm 则有M= (300.5/0.3)+ 0.4 = 50.4(m)问题的深入分析 若有带长M1=51m，缠绕包扎上面的管道 。 多余的 60 cm 带子不打算裁掉。缠绕
4、时 允许带子互相重叠一部分。 应该如何包扎这个管道？(计算结果精确 到0.001) 假 设 1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔均匀、匀 速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门 口的时间。例 3：人员疏散 建模分析意外事件发生时建筑物内的人 员疏散所用的时间。参 数 人数 nk,教室距离Lk,门宽D. 速度v，间隔d，疏散时间Tk模型的建立 T1=(n1 -1 ) d+L1)/v T2=(n2 -1 ) d+L1+L2+D )/v T12=(n2 -1 ) d+L1+L2+D )/v, (L2+D)n1d (n1+ n2-1 )d+L1 /v, (L
5、2+D)n1d 讨 论 1. 模型分析 ：T=(n-1)d+L)/v, v, 则T; d, 则 T. 2. 多行行进 3. d , 则T . 令d=0, 则有T=L/v。 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!修 改 假 设 1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间。 4. 人体厚度相同w继 续 讨 论 1. T=(n-1)d+L)/v, v, 则T; d, 则 T,(n人 ). 2. 多行行进 3.令d=0, 则有T=L/v, 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度! 4.考虑厚度的影
6、响 T=(n-1)d+nw+L)/v, 若vv*,d=0,则 T* = (nw+L)/v* 最短合理吗？继续修改假设 1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔均匀、匀速 地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口 的时间。 4. 人体厚度相同 5. 速度与密度有关v=v（d）模 型 T=(n-1)d+L)/v(d), 其中 v=v(d)应满足 d, 则v; 若d,则 v=v*. 若d=0, 则 v=0. 这时存在唯一的间隔 d* 和相应的速度 v*, 使得疏散的时间最短. V=ad/(b+cd)=1.1984d/(9.1151+0.1746d)问 题 在上面
7、的讨论中，证明: 如果疏散队伍的速度是队列间隔的增函数 ， 则存在有唯一的间隔d* 和速度 v*， 使得疏散的时间最短。 如果有n=400，L=30m，w=0.2m, 求最优 疏散方案。1.5 数学建模过程 问题的叙述：原始、粗糙、不规范。 问题的假设：问题的研究手段。 问题的分析：正确的推理，对实际的理解。 问题的标准：接受实践的检验、与实际差异 不大。 问题的答案：不确定、不封闭。人人都能做到：哥伦布与鸡蛋 1492年，哥伦布从西班牙出发，历尽千辛万苦发现 了美洲新大陆。1493年，他返回西班牙后，受到了群 众的欢迎和王室的优待，也招致一些贵族大臣的妒忌 。在一次宴会上，有人大声宣称：“到
8、那个地方去， 没有什么了不起，只要有船，谁都能去。”哥伦布随 手在餐桌上拿起一个熟鸡蛋说：“谁能把鸡蛋竖起来 ？”许多人试了又试，都说不可能。哥伦布将鸡蛋壳 在桌子上轻轻地敲破了一点，就竖了起来。于是又有 人说：“这谁不会？”哥伦布说：“在别人没有做之 前，谁都不知怎么做，一旦别人做了之后，却又认为 谁都可以做。” 人人都能做到：哥伦布与鸡蛋 这个故事有很深刻的寓意：如果你第一 次没有成功，那么 （1）仿效别人 （2）一次次尝试 （3）停下来思考建模过程流程人的体重W和身高L 可以确信，在相似的几何体中， 相应部位的面积与相应部位长度的平 方呈正比； 相应部位的体积与相应部位长度的立 方呈正比
9、； 相应部位的体积与相应部位面积的3/2 次方呈正比； Si = k1 Lj2，Vi = k2Lj3，Vi = k3Sj3/2 结合以上结论，可以有更多的量的比例关 系例4 雨滴问题 雨滴越大，打在身上越疼吗？ 雨滴打在人身上的速度与质量的关系。 模型准备： 雨的形成，水蒸汽在高空冷却形成 小液滴，组成云，多个小液滴形成 雨滴从云层下落。 经验中的毛毛细雨和倾盆大雨，一般雨 滴质量越大速度越大。 雨滴在空中主要受到两个作用力，重力 和空气阻力。根据物理学知识，在同样的 重力加速度条件下，重力正比于质量，而 空气阻力正比于物体的表面积和运动速度 的平方。 模型假设： （1）云层不动，无风，雨滴从
10、云层竖直 下落； （2）只受到重力和空气阻力的作用，空 气的阻力与表面积成正比，整个下落过程 中重力不变与质量成正比； （3）雨滴的形状类似； （4）雨滴的密度一样； （5）云层足够高。 模型构成： 设雨滴质量为m，则受到的重力Fg，空 气阻力Fd ，满足下列式子 m V（V表示体积） Fg m Fd Sv2（v表示体积） Fg=Fd（随着速度增大，总有成立的时候 ） 模型求解： 因为S V2/3，而且m V 代入到前面的式子，有Fd m2/3v2 ，则由Fg=Fd ，可得m m2/3v2 所以，速度v m1/6 因此，如果不计时间，则雨点的冲力F=mv m7/6 结果分析： 雨滴的质量越大，
11、空气中下落的极限速度越大，与质量的六分之一次方成正比。 若雨滴打在人身上的作用时间一样，则对人体的作用力与质量的六分之七次方成正比。 结论：雨滴越大，打人越疼。 例5. 一个农民有一头重量大约是200磅的猪， 在上一周猪每天增重约5磅。 五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65美分/磅， 饲养每天需花费45美分。 求出售猪的最佳时间 假设： 1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。 2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少。 3. 猪饲养的花费每天不变。 4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。 变量和参量： 猪的重量w（磅）， 猪的饲养时间 t（天）， t 天内饲养猪的花费C（美元）
12、， 猪的市场价格 p（美元/磅）， 售猪所获得的总收益R（美元）， 最终获得的净收益P（美元）。 猪的初始重量w0（磅）， 猪的日增重量 g（磅）， 出售价格（单价）的日减少量 r（美 元）， 每天饲养猪的花费 k（美元）。模型：重量 w = w0+g t , 单价 p = p0 r t , 总花费 C = k t , 总收益 R = p w 净收益的模型 P = R C=(p0-rt)(w0+gt)-kt 参数估计 w0=200, g=5, p0=0.65, r=0.01, k=0.445 P = R C = (0.65-0.01 t)(200 + 5 t)- 0.45t P(t) = 13
13、0 + 0.8t 0.05 t2. 问题：求出售时间使净收益最高 令 P/(t)=0 则有 0.8 - 20.05 t = 0 得 t = 8 P(8)=130+0.880.0582= 133.2 结论： 饲养8天后出售，收益最高为133.2美元 分析： 1. 结果对参数的敏感程度。 结论所依赖的参数 猪的初始重量w0， 猪的初始价格p0， 猪的饲养花费k， 猪重的增加速率g， 价格降低的速率r。 价格变化率 r 对售猪时间t 的影响. 价格 p(t)=0.65 r t, 净收益 P(t) = (0.65-rt)(200+5t)-0.45t 最大值点 t = (7-500r)/(25r) r
14、0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 t 15 11.1 8.0 5.5 3.3 增重率 g 对售猪时间 t 的影响. 重量 w(t)=200 + g t 净收益 P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t 最大值点 t = 5(13g49)/(2g) g 4 4.5 5 5.5 6 t 1.875 5.28 8 10.23 12.08 将敏感性数据表示成相对改变量，要比绝对改变量的形式更自然也更实用。 模型的参数灵敏度 如果r改变了r，则其相对改变量为r/r。 如果r改变了r，导致t有t的改变量， 则相对改变量的比值为 t / t 比上r / r 令r0，按照导数的定义，我们 有 称这个极限值为t对r的灵敏度，记为 S(t,r) 。 对于我们的问题，有 时间与价格的关系 t = (7-500r)/(25r) 在r=0.0
