第一章 数学建模简介数学建模与实验第一章 第四节、第五节、第六节第四节 数学建模实例第五节数学建模过程第六节数学建模论文写作要点例1. 地面上的方桌• 在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？• 假设：• 1.方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD1.4 数学建模实例2.地面的起伏是连续变化的• 模型：• 1. 如何用数学语言描述“桌子的四个脚同时着地”？• xA: A与地面的距离，xB、xC、xDxBADC OD´C ´B ´A ´正方形ABCD 绕O点旋转2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地 ？• 定位：中心O位于坐标原点• 移动：桌子围绕中心转动 θ ：AC与X轴 的夹角• θ0≦ θ ≦ θ0+ 900= θ1.• xA( θ ) 表示在位置θ时，桌脚A与地面的距 离• 同样 xB( θ ), xC( θ ), xD( θ ). • 令 f(θ)=xA(θ)+xC(θ),g(θ)=xB(θ)+xD(θ)• 则有 f(θ), g(θ)连续且 f(θ)g(θ)≡0.• 桌子在位置θ* 四脚落地,则有f（θ*)=0,g(θ*)=0.• 若 f(θ0)=0, g(θ0)>0, 则有f(θ1)>0,g(θ1)=0• 令 h(θ)=f(θ)-g(θ),则有h(θ)连续且 h(θ0) 0，则根据介值定理，必有θ’， 使得h(θ’)=0.得证。
思考问题：将例1 的假设1 改为“方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形”，试构造数学模型证实结论同样成立• 问题：用带子包扎管道，使带子全部 包住管道，而用料最省• 假设：• 1. 直圆管，粗细一致• 2. 带子等宽，无弹性• 3. 带宽小于圆管截面周长• 4. 为省工,包扎时不剪断带子.例2 管道包扎• 参量、变量：• W：带宽，C：截面周长，：倾斜角• 模型（倾斜角模型）• 讨论：• 1. 实用么？ 2. 深刻么？ • 模型（截口模型）讨论1. 实用性2. 深入分析例 题• 已知: 管长 L, 管粗 C, 带宽 W, 求带长 M？若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm 则有M= (30×0.5/0.3)+ 0.4 = 50.4(m)问题的深入分析• 若有带长M1=51m，缠绕包扎上面的管道 • 多余的 60 cm 带子不打算裁掉缠绕时 允许带子互相重叠一部分• 应该如何包扎这个管道？(计算结果精确 到0.001) 假 设• 1.单排教室，直走道，一个出口 • 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔均匀、匀 速地撤出。
• 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门 口的时间例 3：人员疏散• 建模分析意外事件发生时建筑物内的人 员疏散所用的时间参 数• 人数 nk,教室距离Lk,门宽D. • 速度v，间隔d，疏散时间Tk模型的建立• T1=((n1 -1 ) d+L1)/v• T2=((n2 -1 ) d+L1+L2+D )/v• T12=((n2 -1 ) d+L1+L2+D )/v, (L2+D)≥n1d • [(n1+ n2-1 )d+L1] /v, (L2+D)
• 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔均匀、匀速 地撤出 • 3.忽略列队的时间和第一个人到达教室门口 的时间 • 4. 人体厚度相同• 5. 速度与密度有关v=v（d）模 型• T=((n-1)d+L)/v(d), 其中• v=v(d)应满足• d↗, 则v↗; • 若d→∞,则 v=v*.• 若d=0, 则 v=0. • 这时存在唯一的间隔 d* 和相应的速度 v*, 使得疏散的时间最短. V=ad/(b+cd)=1.1984d/(9.1151+0.1746d)问 题• 在上面的讨论中，证明: • 如果疏散队伍的速度是队列间隔的增函数 ， • 则存在有唯一的间隔d* 和速度 v*， • 使得疏散的时间最短 • 如果有n=400，L=30m，w=0.2m, 求最优 疏散方案1.5 数学建模过程• 问题的叙述：原始、粗糙、不规范• 问题的假设：问题的研究手段• 问题的分析：正确的推理，对实际的理解• 问题的标准：接受实践的检验、与实际差异 不大• 问题的答案：不确定、不封闭人人都能做到：哥伦布与鸡蛋• 1492年，哥伦布从西班牙出发，历尽千辛万苦发现 了美洲新大陆1493年，他返回西班牙后，受到了群 众的欢迎和王室的优待，也招致一些贵族大臣的妒忌 。
在一次宴会上，有人大声宣称：“到那个地方去， 没有什么了不起，只要有船，谁都能去哥伦布随 手在餐桌上拿起一个熟鸡蛋说：“谁能把鸡蛋竖起来 ？”许多人试了又试，都说不可能哥伦布将鸡蛋壳 在桌子上轻轻地敲破了一点，就竖了起来于是又有 人说：“这谁不会？”哥伦布说：“在别人没有做之 前，谁都不知怎么做，一旦别人做了之后，却又认为 谁都可以做 人人都能做到：哥伦布与鸡蛋• 这个故事有很深刻的寓意：如果你第一 次没有成功，那么• （1）仿效别人• （2）一次次尝试• （3）停下来思考建模过程流程人的体重W和身高L• • 可以确信，在相似的几何体中， • 相应部位的面积与相应部位长度的平 方呈正比； • 相应部位的体积与相应部位长度的立 方呈正比； • 相应部位的体积与相应部位面积的3/2 次方呈正比； • Si = k1 Lj2，Vi = k2Lj3，Vi = k3Sj3/2• 结合以上结论，可以有更多的量的比例关 系例4 雨滴问题• 雨滴越大，打在身上越疼吗？ • 雨滴打在人身上的速度与质量的关系• 模型准备： • 雨的形成，水蒸汽在高空冷却形成 • 小液滴，组成云，多个小液滴形成 • 雨滴从云层下落。
• 经验中的毛毛细雨和倾盆大雨，一般雨 滴质量越大速度越大 • 雨滴在空中主要受到两个作用力，重力 和空气阻力根据物理学知识，在同样的 重力加速度条件下，重力正比于质量，而 空气阻力正比于物体的表面积和运动速度 的平方• 模型假设： • （1）云层不动，无风，雨滴从云层竖直 下落； • （2）只受到重力和空气阻力的作用，空 气的阻力与表面积成正比，整个下落过程 中重力不变与质量成正比； • （3）雨滴的形状类似； • （4）雨滴的密度一样； • （5）云层足够高• 模型构成： • 设雨滴质量为m，则受到的重力Fg，空 气阻力Fd ，满足下列式子 • m ∝V（V表示体积） • Fg ∝m • Fd ∝Sv2（v表示体积） • Fg=Fd（随着速度增大，总有成立的时候 ）• 模型求解：• 因为S ∝V2/3，而且m ∝V• 代入到前面的式子，有Fd ∝m2/3v2 ，则由Fg=Fd ，可得m ∝m2/3v2• 所以，速度v ∝m1/6• 因此，如果不计时间，则雨点的冲力F=mv ∝m7/6• 结果分析：• 雨滴的质量越大，空气中下落的极限速度越大，与质量的六分之一次方成正比• 若雨滴打在人身上的作用时间一样，则对人体的作用力与质量的六分之七次方成正比。
• 结论：雨滴越大，打人越疼• 例5. 一个农民有一头重量大约是200磅的猪，• 在上一周猪每天增重约5磅• 五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65美分/磅， • 饲养每天需花费45美分• 求出售猪的最佳时间• 假设：• 1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长• 2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少• 3. 猪饲养的花费每天不变• 4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费• 变量和参量：• 猪的重量w（磅），• 猪的饲养时间 t（天），• t 天内饲养猪的花费C（美元），• 猪的市场价格 p（美元/磅）， • 售猪所获得的总收益R（美元）， • 最终获得的净收益P（美元） • 猪的初始重量w0（磅）， • 猪的日增重量 g（磅）， • 出售价格（单价）的日减少量 r（美 元）， • 每天饲养猪的花费 k（美元）模型：重量 w = w0+g t , • 单价 p = p0 – r t , • 总花费 C = k t , • 总收益 R = p w • 净收益的模型 • P = R – C=(p0-rt)(w0+gt)-kt• 参数估计• w0=200, g=5,• p0=0.65, r=0.01,• k=0.445• P = R – C = (0.65-0.01 t)(200 + 5 t)- 0.45t P(t) = 130 + 0.8t – 0.05 t2. • 问题：求出售时间使净收益最高 • 令 P/(t)=0 • 则有 0.8 - 2×0.05 t = 0 • 得 t = 8 • P(8)=130+0.8×8－0.05×82= 133.2 • 结论： • 饲养8天后出售，收益最高为133.2美元• 分析： • 1. 结果对参数的敏感程度。
• 结论所依赖的参数 • 猪的初始重量w0， • 猪的初始价格p0， • 猪的饲养花费k， • 猪重的增加速率g， • 价格降低的速率r• 价格变化率 r 对售猪时间t 的影响.• 价格 p(t)=0.65 – r t,• 净收益 P(t) = (0.65-rt)(200+5t)-0.45t• 最大值点 t = (7-500r)/(25r)• r 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012• t 15 11.1 8.0 5.5 3.3• 增重率 g 对售猪时间 t 的影响. • 重量 w(t)=200 + g t • 净收益 P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t • 最大值点 t = 5(13g–49)/(2g) • • g 4 4.5 5 5.5 6 • t 1.875 5.28 8 10.23 12.08• 将敏感性数据表示成相对改变量，要比绝对改变量的形式更自然也更实用。
• 模型的参数灵敏度• 如果r改变了△r，则其相对改变量为△r/r• 如果r改变了△r，导致t有△t的改变量，• 则相对改变量的比值为 △t / t 比上△r / r • 令△r→0，按照导数的定义，我们 有 • 称这个极限值为t对r的灵敏度，记为 S(t,r) • 对于我们的问题，有• 时间与价格的关系 t = (7-500r)/(25r)• 在r=0.0。