有限元课件2-单元位移模式与形函数n

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1、 课程名称：计算结构力学及有限元第一篇有限元基础参考教材：曾攀编有限元基础教程 高等教育出版社出版参考教材：徐芝纶编弹性力学简明教程（第三版）高等教育出版社出版 任课教师：张晓志1第第1 1章章 绪绪 论论1.1 有限元方法概念及相关问题 1.2 弹性平面应力或应变问题21.1 有限元方法概念及相关问题 1. 有限元方法概念 2. 有限元方法的分析步骤 3. 有限元方法的优点与应用 4. 有限元基础课程的主要教学内容31.有限元方法概念 结构力学中的位移法，是杆系结构有限单元法的基础 计算结构力学中的矩阵位移法，就是杆系结构有限单元法 弹性力学有限单元法离散连续介质（或广义离散结构） 的矩阵位

2、移法 有限元法，简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学 问题。即首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结 构力学方法进行求解的一种数值方法。 仅限于讨论弹性力学平面问题的（位移）有限单元法位移法，力法，混合法42. 有限元法分析流程或步骤解综合方程K= P 求结构节点位移 计算结构内力和应力系统分析 (把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵K 形成等价节点荷载P )离散（剖分）结构 为若干单元单元分析 (建立单元刚度矩阵ke 形成单元等价节点力)5把连续体变换成为离散化结构举例。弹性悬臂板 的剖分与集合。划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能 力来确定。12345678910P5764563

3、45678 单元、节点需编号6 3.有限元法主要优点与应用（1）物理概念清晰，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数学分析） （2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等问题；动与静；线性与非线性） （3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。（4）无需建立和求解偏微分方程。有限单元法与有限差分法的对比？74. 有限元基础课程的主要教学内容A、有限元分析方法 B、有限元程序设计 C、有限元程序应用81.2 弹性平面问题1. 弹性力学基本假定 2. 两种弹性力学平面问题 3. 弹性平面问题基本量及方程的矩阵表示 4. 边界（或支撑）条件 5

4、. 弹性平面问题的经典解法91. 弹性力学基本假定 连续性 完全弹性 均匀性 各向同性 以上四条合称为理想弹性体假定 小变形假定（线性叠加原理适用）102. 两类弹性力学平面问题 平面应力问题 平面应变问题11 平面应力问题有限元分析的目的 A、获得单元位移场 B、获得单元应变场 C、获得单元应力场12两种平面问题都是空间问题的近似弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说， 任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空 间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须 考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状， 并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题 简化

5、为近似的平面问题，只考虑部分的位移 分量、应变分量和应力分量即可。13平面 应力 问题厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的 面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面 上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分 量，即 ，所以称为平面应力问题。14平面应力问题三维应力问题可以简化为：15平面应力问题的应变对应的剪应变：由物理方程中的第三式可见：不独立，在分析

6、问题时不必考虑。于 是应变矩阵简化为：16平面应力问题的物理方程物理方程简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：17平面应力问题矩阵物理方程矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵D 为：18平面应力问题的几何方程只有 三个应变分量需要考虑，所以三维几何方程简化为：19平面应力问题弹性体的虚功方程简化为20平面应变问题一纵向(即Z向)很长，且沿横截 面不变的物体，受有平行于横截面 而且不沿长度变化的面力和体力， 如图1-11所示。由于物体的纵向很长(在力学上 可近似地作为无限长考虑)，截面尺 寸与外力又不沿长度变化；当以任 一横截面为xy面，任一纵线为Z轴时 ，则所有一切应力分量、应变分量

7、 和位移分量都不沿Z方向变化，它们 都只是x和y的函数。此外，在这一 情况下，由于对称(任一横截面都可 以看作对称面)，所有各点都只会有 x和y方向的位移而不会有Z方向的位 移，即 w = 0因此，这种问题称为平面位移问 题，但习惯上常称为平面应变问题 。 21平面应变问题的几何方程既然w = 0，且u及v又只是x和y的函数，由空间问题几何方程可得 。于是矩阵几何方程简化为方程22平面应变问题的物理方程因为由空间物理方程可得又由物理方程1中的第三式可得：在平面应变问题中，虽然 ， 但 一般并不等于零，不过它可以由及 求得，在分析问题时不必考 虑，于是也就只有三个应力分量需要考虑。23平面应变问

8、题的物理方程物理方程可以简化为：24平面应变问题物理方程的矩阵表示将(1-25)式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵D则为：25平面应变问题的适用条件需要说明一下，工程中有许多问题很接近于平面应变问 题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的 沿Z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应 变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这 类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距 离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部 位，却有较大的出入，往往需要加以处理。26平面应力与应变问题的弹性矩阵平面应力情况下的弹性矩阵平面应变情况下的弹性矩阵二

9、者关系：27 平面应力问题特定弹性体在特定荷载作用下，如果其应力状态满足条件：称该弹性体处于平面应力状态，称相应的问题为平面应力问题。此时，28 平面应变问题特定弹性体在特定荷载作用下，如果其应变状态满足条件：称该弹性体处于平面应变状态，称相应的问题为平面应变问题。此时，293. 弹性平面问题基本量及方程的矩阵表示30第二次课第6章 用有限单元法解平面问题63 位移模式与形函数（三结点三角形单元的单元分析）31回顾： 有限元法分析流程或步骤解综合方程K= P 求结构节点位移 计算结构内力和应力系统分析 (把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵K 形成等价节点荷载P )离散（剖分）结构 为若干单元单元

10、分析 (建立单元刚度矩阵ke 形成单元等价节点力)32单元分析的目的建立结点位移与结点力之间的转换关系结点位移结点力33单元分析取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的 就是要求出单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：34单元分析63 单元位移模式与形函数1、单元位移模式概念与相关问题2、形函数概念与性质3、位移模式与解答的收敛性351、单元位移模式概念与相关问题1）位移模式概念2）全局位移函数与局部（单元）位移函数3）位移模式与单元结点位移之间的关系361、单元位移模式概念与相关问题1）位移模式概念“位移模式”也称 “位移函数”，是单元

11、内部位移变化的数学表达式，是坐标的函数。371、单元位移模式概念与相关问题2）全局位移函数与局部（单元）位移函数 一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取全局位移 函数不是一件容易的事情。有限元方法的基本思想是 采用有限多个局部位移函数逼近全局位移函数。当单 元划分得足够小时，把单元位移函数设定为简单的多 项式就可以获得相当好的精度。这是有限单元法特有 的重要优势之一。38不同类型单元会有不同的位移函数。这里，以三结点三角形单元为例，说明设定位移函数的有关 问题。一个三节点三角形单元，其节 点i、j、m按逆时针方向排列。每个节点位移在单元平面内有 两个分量

12、：（6-1） 一个三角形单元有3个节点（以 i、j、m为 序） ，共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列阵为：ijmuiujumvivjvmxy3）位移模式与单元结点位移之间的关系39本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点 位移的关系）为简单多项式：(6-3）式中：a1、a2、a6待定常数，由单元位移的 6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、 a3 、 a5 、 a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是连续函数。(6-2）ijmuiujumvivjvmxyuv40待定系数的确定(6-4） 现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定 常数a1、a2、a6 。设节点i、j、

13、m的坐标分别为（ xi、yi）、（ xj、yj ）、（ xm、ym ），节点位移分别为 （ui、vi）、 （uj、vj） 、 （um、vm）。将它们代入 式（6-3），得式（6-4）(6-3）41从式(6-4）左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为 (6-5） 42式中A为三角形单元的面积，有 (6-6） 特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号的次序必须是逆时针转向，如图所示。至于将哪个节 点作为起始节点i，则没有关系。 将式(6-5）代入式(6-3）的第一式，整理后得同理ijmxy（2）（1）（7）43(6-7）式中 (6-8） ijm式中（i、j、m）意指：按i、j、m依次轮

14、换下标，可 得到aj、bj、cjam、bm、cm。后面出现类似情况时， 照此推理。式(6-8）表明： aj、bj、cjam、bm、cm是单元三个节点坐标的函数。442、形函数概念与性质1）形函数的概念2）形函数的确定3）位移函数与形函数的关系4）形函数的性质451）形函数的概念形函数是假定单元结点位移分量为（0，1）状态时所对应的单元位移函数。形函数是用单元节点位移分量来描述位移 函数的插值函数。46令 (6-9） 位移模式(6-7）可以简写为(6-10） 式(6-10）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学 上它反应了节点位移对单元内任一点位移

15、的插值，又 称插值函数。 47形函数的行列式表达 (6-9） (6-8） 48用形函数把式(6-10）写成矩阵，有缩写为(6-11）3）位移函数与形函数的关系49N为形函数矩阵，写成分块形式：(6-12）其中子矩阵(6-13）I是22的单位矩阵。50形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有 以下性质：性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0。对于本单元，有 4）形函数的性质51（i、j、m）性质2 在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对于本单元，有xyN （i，j，m）Ni =1 ijm52xyN （I，j，m）Ni =1 ijmNj =1ijmNm =1ijmNi =1 ijmNj =1Nm =1也可利用行列式代数余子式与某行或列元素 乘积的性质（等于行列式值或0）证明。53性质3 在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有 xxixjxyNi(xi， yi)j (xj，yj)m (xm，ym)Ni(x、y)1证54性质4 形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为 (6-14）式中 为 边的长度。 在三角形的形心， 1/3 在三角形的ij和im边的中点， 1/255(6-3）ijmuiujumv