计算——第三种科学方法

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1、计算第三种科学方法祝家麟 计算已成为第三种科学方法“实验、理论、计算已成为科学方法上 相辅相成的而又相对独立，可以相互补 充替代而又彼此不可缺少的三个主要环 节”冯康1846年海王星的发现马克斯威尔发现电磁波计算是指依赖于电子计算机这种计算工具来解决科学和 工程中的问题的一种手段。涉及到对计算方法、数值分 析、程序设计的研究。其基础学科是计算数学。计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、工程计算伽利略系统创立科学实验方法牛顿奠定了力学、物理学的理论基础阿伦.图灵，克劳德.商农，约翰.冯.诺依曼 Alan Turing， Claude Shannon， John Von Neumann二十世纪

2、四十年代一群数学家在宾夕法尼亚大学摩尔电子工程 学院研制了地一台电子计算机器 ENIAC。一。数学中的计算不等同于计算数学 局限于从数学基本原理的计算或数学中的计算还不能称 为计算数学。计算数学是指研究用电子计算机计算所涉 及的计算方法及数学分析的学科。例1： n个根其中满足方程由此得到注意到在的一阶导数为因此常数可事先算出并存储起来这样，可建立并行求值的如下算法：1。 并行计算2。 并行计算3。 并行计算4。 计算5。 计算以上算法计算没有用任何乘法，只需花费2次除法和 log n+2 次加法的时间比串行算法加速 O（n /log n）例2： 计算圆周率3 6 12 192 2.59803.

3、00003.10533.141042采用外推算法圆周率 = 3.141592653589793例3: 全国天文大地三角网首次平差16万个未知数，31万个方程式的矛盾方程组例4： 由于计算机字长的限制，有舍入误差对 k 位字长的计算机例5： 多重积分的计算用累次积分法，例如将梯形公式用于每个变量，得近似值个点上取值，可以证明其误差 不小于在 当 s 增大时，误差 增长很快若 s=5，要求则有若以每秒运算百万次的计算机计算，至少需要10年。 华罗庚-王元 创立求解高维积分的 华-王方法 。科学与工程问题 经济问题数学模型数学模型计算模型计算模型计算软件应用数学计算数学程序设计理论 实验计算二。 计

4、算是知识经济和信息时代的要求n信息时代的信息是变成数字的信息比尔盖茨： 未来之路Bill. Gates 王选： 我一生中的八个重要选择李未：海量存储，关于信念集的修正演算系统n核武器和核电站的研制核反应和核爆炸的数值模拟n飞行器的设计我国启动17亿元的飞机数字化设计项目研究、数值风洞n油气资源的勘察与开采人工地震波，求解地震波方程的反演问题n社会、经济系统人口发展趋势预测国家宏观经济最优控制模型精算博弈论2002年著名数学家纳什在北京国际数学家大会作题为通过代理来研究博弈 中的合作的公众报告。纳什在21岁时就提出了纳什均衡理论，后来成为 博弈论的两大基础之一。电影美丽心灵就是根据纳什的传奇经历

5、改编 的。 诺贝尔经济学奖1969年首届获奖者 弗瑞希和丁伯根计量经济学的创始人 1970年获奖者 萨缪尔森1937年写出到1947 年发表的成名作经济分析基础 1972年获奖者 希克斯和阿罗（1951年获数学博士，创立数理经济学分支：公共选择、社会选择，其中的奠基性定理 阿罗不可能定理完全是一条数学定理 1973年获奖者 列昂节夫成为经济学常识的投入产出方法是一种数学方法 1975年获奖者 康托洛维奇（前苏联的大数学家）和库普曼（美籍荷兰人）运用数学规划理论来研究资源的最优利用和经济的最优增长绝大多数获奖者获奖的情况都是在经济学和数学以一种极高的水平的联系下获得的。 “在制定政治经济学原理时

6、，计算的错误大大地阻碍了我，失望 之余，我只好重新坐下来把代数迅速地温习一遍，算术我一向 很差，不过间接地用代数方法，我很快又会正确计算的”马克思致恩格斯的信马克思恩格斯全集第29卷第247页，人民出版社n气象预报传统方法：观察、对比资料、分析归纳、作出定性描述。数值方法：确定初始和边界条件，求解大气运动方程。进行定量和定性分析。n水坝、桥梁、建筑等工程设计有限元方法n机器证明、人工智能以知识库(专家规则库)为基础，以顺序离散符号推理为特征吴文俊获2000年首届国家最高科技奖n计算智能(Computational intelligence)计算的方式上溶入或模仿人的智能，让信息处理系统具有综合

7、、优化、联想、 辨别、学习能力，是人工智能的深化和发展。 以模型（数学模型、计算模型）为基础，以分布、并行计算为特征。智能结构模拟：人工神经网络智能行为模拟：模糊逻辑、模糊推理例 仿生过程算法（SEC）：从智能生成过程的观点模拟进化计算 （Simulated Evolutionary Computation） 1。目标函数没有明确的表达式（如非数值优化）。 2。目标函数虽有表达式，但无法计算，不能恰当估值。 3。目标函数有极多峰值（如DNA计算、组合优化计算） 4。目标函数是向量函数，即多目标（Multiobjective）目标函数不连续、不可微、高度非线性 或无法解析表达已用于人工网络训练、

8、程序自动生成、专家系统知识库维护 大分子计算、蛋白质结构预测、基因比对。 计算生物学n前沿生物学处于基因组时代生命个体的遗传信息都保存在载体DNA上生物基因的演化形成了物种的变化基因的协同变异的进化过程的树结构用计算手段来研究基因组到蛋白组的结构“计算生物学方法在基因组和蛋白组学中的应用” 课题得到国家自然科学基金和英国文化委员会的支持高性能科学计算研究并行自适应方法 保结构算法并行自适应 支撑软件框架 及核心应用程序千万自由度三维多介质 大变形流体力学数值模拟千万自由度 完整气候系统模式的算法处理几百上千个原子 的实空间第一原理计算方法材料多物理多尺度耦合模型 及其计算方法共性问题n科学的计

9、算机化人类的计算能力是计算工具的性能与计算 方法效率的总和1955-1975 硬件IBM650 CRAY1的运算速度提 高数千倍，同一时期求解一特定规模的椭圆型方 程计算方法的效率提高一百万倍。不能低估人的计算能力。 例：RAS密码系统计算方法的研究对于提高计算能力的贡献 是与新一代计算机的研制同样重要Rivest Shamir Adleman密码系统编码相当于两个大素数相乘 译码相当于把这个乘积进行因子分解1192720903=249310081一个计算机在瞬间制造这样一个密钥很容易,但要打开却很困难.例如250位字长的质数的分解超级计算对计算机和计算方法都提出挑战银河III 100亿次计算

10、机(1997)曙光4000A 10万亿次 高效并行(多处理器,多核)联想研制30万亿次计算机。美国劳伦斯-利弗摩尔 蓝色基因/L 280.6万亿次/秒-360万亿次/秒日本NEC 地球模拟器(Earth Simulator) 35.86万亿次/秒中科院计算所联合曙光公司研制出的百万亿次超级计算机曙光50002010年推出千万亿次超级计算机， 科学计算的要求是无限的,，计算机硬件的 能力是有限的。当硬件的技术水平受限时, 应当充分依赖智力，用软件的优势来弥补 硬件的不足。IBM为美国核安全管理局（NNSA） 洛斯阿拉莫斯 国家实验室提供的混合超级计算机在日前公布的超级 计算机500强名录中，以巨

11、大的领先优势荣获全球最强 大系统桂冠。该款超级计算机高达1.02 petaflops（每秒 运算1.021015次）的持续性能令其独占鳌头，速度比 超级计算机排名中其他领先对手快3倍多。 这一突破了千万亿次计算大关的系统由IBM为NNSA 制造，部署在洛斯阿拉莫斯国家实验室内， 这台NNSA超级计算机不但将用于保证美国核武器 储备的可靠性和安全性，还将为多种科学和商业领域 的未来研究奠定基础，包括生物科技、替代能源、气 候变化和物理学方面的研究。 1983年一个以美国著名数学家拉克斯为首包括不同学科 的专家委员会向美国政府提出报告，强调科学计算是关系到 国家安全、经济发展和科技进步的关键性环节

12、，是事关国家 命脉的大事。报告提请美国政府密切注意日本和欧洲的挑战 。报告特别指出计算能力的提高来自算法研究的进步与来自 计算机硬件技术的进步同等重要。呼吁美国政府对于科学计 算研究和高性能计算机研制在政策上给以重视和支持。美国 总统科学顾问基沃斯在国会作证时表示决心捍卫美国在超级 计算机和大型科学计算方面的历史性领先地位。很快美国政府就把科学工程计算、生物工程、和地球科 学一起列入美国国家科学基金三大重点优先支持领域。1986年我国科学家冯康院士等也给当时的李鹏副总理写 过“紧急建议”，建议把大型科学工程计算方法及应用软件的 研究纳入国家重点科技攻关项目，得到积极支持。三。计算数学是科学工程

13、计算的基础n1980s 中国数学: 五个二级学科n 基础数学，应用数学，计算数学，n 概率统计，运筹控制n 国外数学: 纯粹数学(pure)，n 应用数学 (applied) ，n 统计 (statistics)数学是各种计算学科联系的纽带和基 础n1990s 本科分三类:n 基础数学与应用数学，统计学，n 信息与计算n 研究生: 同上五个二级学科n n应用数学主要是数学模型(model) n计算数学主要是算法 (algorithm) n没有很好的模型就不可能有好的算法，一个模型 可以对应多个算法。n计算数学是各种计算学科联系的纽带和基础把数学模型离散化，设计计算方法研究算法的稳定性和收敛性设

14、计可靠、高效、使用方便的软件偏微分方程的数值解法数值代数方法数值逼近方法最优化计算方法概率统计计算方法反演问题的数值计算神经网络计算方法n有重大影响的计算方法求解：牛顿运动方程、欧拉方程、波动方程、热传导方程、Laplace方程对流扩散方程、弹性力学Navier方程、流体动力学Navier- Stokes方程、声波传播Helmholtz方程、电磁波Maxwell方程、Hamilton微分动力系统方程有限差分法 用差分或差商代替微分有限单元法 基于最小位能原理或虚功原理的变分方法边界元法 转化为积分方程求解多重网格法， 区域分解法，无网格法 n计算方法的研究促进了基础数学的发展计算数学的基本原理

15、：无限化为有限， 连续化为离散问题： 无限维 有限维过程： 无限步 有限步数字： 无限位 有限字长计数、丈量等计算 初等数学 机械、运动的计算高等数学 更复杂的计算 更抽象的数学数量关系和空间形式： 由现实到抽象欧几里得空间、非欧几何 （罗巴切夫斯基，黎曼），黎曼空间度量空间、拓扑空间、赋范线性空间、Banach空间、内积空间 、Hilbert空间、Sobolev空间以能量为长度的几何空间。n理工科学生应当具有运用计算这种科学方法的能力1989年8月18日中国数学会在北京人民大会堂召开数学教育与科研座谈会。 钱学森在会上讲到三个问题：一，数学科学的重要性。 二，理工科大学生要学什么样的数学课程。强调理工科大学生要会用计算机，不仅要会计算，而且要 能理解计算的结果。 三，电子计算机跟数学科学的关系。改革高等数学的教学内容；开设数值计算方法课程；把操作系 统、数