激光原理与应用讲 第三章

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1、上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录激光原理与应用上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性内容概要本章主要内容： 1. 光学谐振腔的衍射理论2. 对称共焦腔内外的光场分布3. 高斯光束传播特性4. 稳定球面腔的光束传播特性5. 激光器的输出功率6. 激光器的线宽极限7. 激光光束质量的品质因子M2上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式1.惠更斯菲涅耳原

2、理图3-1 惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳引入了干涉的概念，补充了惠更斯原理，认为子波源所发出的波 应该是相干的，空间光场是各子波干涉叠加的结果。 为描述波的传播过程惠更斯提出了关于子波 的概念，认为波面上每一点可看作次球面子波的 波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络 面所决定。上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式2. 菲涅尔基尔霍夫衍射公式设波阵面上任一源点 的光场复振幅为 ，则空间任一观察点P的 光场复振幅 由下列积分式计算： 图3-1 惠更斯-菲涅耳原理式中 为源点 与观察点

3、 之间的距离； 为源点 处的波面法线 与 的夹角； 为光波矢的大小， 为光波长； 为源点 处的面元。 基尔霍夫进一步用格林函数的方法求解了 波动方程，于是得到了惠更斯菲涅耳原理的 数学表达式。上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程1. 自再现模概念 图3-2 镜面上场分布的计算示意图 实验和数值模拟都可证明，当光波在光学谐振腔内多次传播后，光场分布在 腔内往返传播一次后能够“再现”出来，只是强度发生变化。上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器

4、的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程2. 自再现模积分方程图3-2 镜面上场分布的计算示意图 图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面 和 上分别建立了坐标轴两两相互平行的坐标 和 。利用上式由镜面 上的光场分布可以计算出 镜 上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。 假设 为经过q次渡越后在某一镜面上 所形成的场分布， 表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则与 之间应满足如下的迭代关系： 上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论图3-2 镜面上场

5、分布的计算示意图 考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念， 除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子 以外， 应能够将 再现出来，两者之间应有 关系： 综合上两式可得： 上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论 对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都远大于反射镜 的线度a，而a又远大于光波长 。对上式做两点近似可得到自再现模所满足的积分方程： 其中 ，称为积分方程的核 。umn 和mn 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解， 这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。 um

6、n代表了自再现模的光场分布，mn代表了光场分布的强度变化和相位移动情况。上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程3. 积分方程解的物理意义 本征函数 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面 上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就 是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。(1)本征函数 和激光横模 图3-3 横模光斑示意图上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的

7、衍射理论3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程3. 积分方程解的物理意义(2)本征值 和单程衍射损耗、单程相移 本征值 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗，包括 衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用 表示：上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论 本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。 自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为： 自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何 相移，它们的关系为：上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回

8、末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模1. 谐振条件、驻波和激光纵模(1) 光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足谐振条件 (2) 每个q值对应一个驻波，称之为：纵模，q为纵模序数。(3)图(3-4) 腔中允许的纵模数上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模2. 纵模频率间隔腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔：图(3-4) 腔中允许的纵模数上一页上一页回首页回首页下一

9、页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模10cm腔长的He-Ne激光器可能 出现的纵模数量？30cm腔长的He-Ne激光器可能 出现的纵模数量？图(3-4) 腔中允许的纵模数激光谐振腔的谐振频率公式：纵模频率间隔公式： 应用举例： He-Ne激光器荧光谱的中心频率04.74l014Hz，荧光线宽 F1.5l09 Hz ，设=1，求：上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.1 光学谐振腔的衍射理论小结：本征函数 和本征值 所代表的含义：激光谐振腔的谐振频率公式：

10、（1）本征函数 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅 角则代表镜面上光场的相位分布。（2）本征值 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗，幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。 上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.2 对称共焦腔内外的光场分布3.2.1 共焦腔镜面上的场分布1.方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解 (1)设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为，并把x，y坐标的原点 选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方程有 本征函数近似解析解： 本征值近似解：Hm(X

11、)和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.2 对称共焦腔内外的光场分布3.2.1 共焦腔镜面上的场分布2. 镜面上自再现模场的特征 (1)振幅分布:令 ,则有图(3-5)画出了m = 0，1，2和n = 0，1的 的变化曲线，同 时还画出了相应的光振动的镜面光强分布： 图(3-5) 的变化曲线及相应的光强分布 基横模TEM00场分布为高斯 线型： 基横模TEM00光斑有效截面 半径：上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.2 对称共焦腔内外的光场分布(2)

12、位相分布：本征函数 为实函数，镜面本身构成光场的一个等相位面。(3)单程衍射损耗：一般忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑 单程衍射损耗 （4.1节） 。(4)单程相移与谐振频率：图(3-6) 方形镜共焦腔的振荡频谱3.2.1 共焦腔镜面上的场分布上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.2 对称共焦腔内外的光场分布图3-7 计算腔内外光场分布的示意图1.腔内的光场可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在腔内造成的 行波求得。腔外的光场则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。即行 波函数乘以镜面的透射率t。 3.2.2

13、 共焦腔中的行波场与腔内外的光场分布 2.如图3-7所示，将镜面场分布代入基尔霍夫衍射公式可得：其中 为无量纲参量。其中 。上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.2 对称共焦腔内外的光场分布小结：基横模（TEM00）的光强分布是高斯线型。上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.3 高斯光束传播特性3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布1. 由3-29式可知，基横模TEM00的场振幅U00和强度I00分布分别为：2. 同样由3-29式可知，当场振幅为轴上( )的值的e-1倍，即强度为轴上 的值的e

14、-2倍时，所对应的横向距离 即z 处截面内基模的有效截面半径为； 于是在共焦腔中心(z0)的截面内的光斑有极小值，称为高斯光束的束腰半径： 上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.3 高斯光束传播特性3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化3. 于是可得到基模光斑半径 随 z 的规律变化，如图(3-8)。 上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.3 高斯光束传播特性3.3.2 高斯光束的相位分布忽略由于z变化引起的 的微小变化，用 代替 ，则在腔轴附近

15、有： 1. 由3-29式可知， 随坐标而变化：且与腔的轴线相交于 点的等相位面的方程为： 于是有： 上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.3 高斯光束传播特性3.3.2 高斯光束的相位分布2. 令 ，则有： 上式表明等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面。ABR0上一页上一页回首页回首页下一页下一页回末页回末页 回目录回目录第三章 激光器的输出特性3.3 高斯光束传播特性3.3.2 高斯光束的相位分布 当z00时，z-z00；而当z00时, z-z00 3. 由式子 可知： 当 当 共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面 图(3-9) 共焦腔中等位相面的分布 在等相位面插