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1、第二章等额年金（上）主要内容v年金的定义v年金的类型v年金的现值与终值v年金的利率问题、时间问题求解一、年金的定义v年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付 或收款。v等额年金：每次的支付额相等。二、年金的类型v确定性分类：确定型年金、不确定型年金。v每次的支付额分类：等额年金、变额年金。v支付时点分类：期初付年金、期末付年金。v支付期限分类：定期年金、永续年金。v连续性年金：离散型年金、连续型年金。三、年金的现值与终值v1、n年定期年金v1）期末付年金v现值 0 1 2 3 n1 1 1 1vv2vn。上式可写成：期初投资1元，每年末可获得利息i， 且第n年末可获得本金1元。年金终值v.0 1
2、 n-2 n-1 n1 1 1 11+i(1+i）2(1+i)n-1。每年末存入1元，第n年末可得证明：2）期初付年金v现值0 1 2 n-2 n-1 n1 1 1 1 1 vv2Vn-1。终值v。0 1 n-2 n-1 n1 1 1 1 1+i(1+i)2(1+i)n。期初付年金与期末付年金其他例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年 内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求： 1）每年末的还款额； 2）每年初的还款额。v解:2、延期m年的n年期年金v1）期末付延期年金v现值0 m m+1 m+n-1 m+n1 1 1Vm+1vm+n-1Vm+n。v或：终值或：2)期初付延期年金v
3、现值或：。v终值 或：例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相 同的数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债 额。 解：3、永续年金v1）期末付年金现值v2）期初付年金现值期初投资 元，则 每年可获得1元期初投资 元，则 每年可获得1元3）延期m年的永续年金4、其他时点上的年金v过期年金的终值0 1 - n n+1 n+m1 - 1同理：.v年金的当前值0 1 - m n1 - 1 1 1同理：例：某投资项目，前3年每年初投资5万元，后3年每 年末投资3万元，i=6%，试计算该项投资在10年末的 终值v解：前3年投资在10年末的终值为：v后3年投资在第10年末的终值为：v总的终值
4、为：37.43万元5、连续年金v现值例：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6%，假设企业每 年末向银行偿还20，000元，10年后还清，如果企业打算在5 年内一次还清，试求一次还清的额度。v解： 李明今年30岁，他计划每年初存300元，共存30年建 立个人养老金，这笔存款能使他从60岁退休开始每年 初得到固定金额的养老金，共能取20年，假设存款利 率在前30年为6%，后20年为12%，求每年得到的养 老金额。v解：例：某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定 的金额建立基金，用于10年末开始每年2，000元的永 续奖励支出，i=12%,求每年需存入的金额。解：例：设某期初付年金共支付20年
5、，其中：前6年的年金额为5元 ，中间9年的年金额为7元，后5年的年金额为10元，请写出年 金现值和终值的表达式。解：现值终值四、年金的利率、时间问题求解v1、利率问题v1）迭代法一v2）Newton-Raphson迭代法1）迭代法一v迭代公式步骤v第一步 ：确定i0，求i1；vA、i0 可由线性插值法确定；vB、泰勒级数前两项确定。第二步：由i1求i2，以此类推。 v可得i0、i1、i2-，直到it+1it为止。v确定迭代公式：得：。v得：缺点：收敛速度慢。即达到精确值的速度慢。2）Newton-Raphson迭代公式优点：速度快。推导N-R近似公式v。如果已知 ，则迭代公式其中：例、某人存入
6、银行8，000元，然后每年末从银行支取 1，000元，共取10年，求：iv解法一：线性插值法。试算得：f(0.040)=0.1109=f(i2)f(0.045)=-0.0873=f(i1)令：解二：迭代一：i(0)=0.045 i(1)=0.0448583 i(2)=0.0443989 i(6)=0.0433879 i(7)=0.0432567 i(8)=0.0431539 - i(42)=0.04277506 i(43)=0.0427750 i(44)=0.0427750由公式：解法三，N-R迭代法由N-R公式：得：i=0.0427752、时间问题v1）解析式2）小额支付v当n为非整数时，有
7、小额支付问题。0 1 k-1 k s k+11 1 1 w n=k+s s1最后一次支付额w1W的计算W的提前支付vW在第k+1年初的现值。v最后一次取款额为W的延时支付vW在第k+1年末的终值。例：投资者将其20，000元存入某基金，希望 在每年末领取1，000，i=4.5%，求：v1）领取的时间及取款的次数；v2）最后一次的取款额；v3）最后一次取款额在当年的现值和终值。解：v1）求n取款次数为53次2）设小额支付为w3）如果w在53年初支付，则其现值为：如果w在53年末支付，则其终值为：五、可变利率年金v假设每年的实际利率分别为i1、i2、-in。v1、期末付年金0 i1 1 i2 2
8、n-2 in-1 n-1 in n1 1 1 1 1现值终值v。 2、期初付年金 现值终值3、如果支付时，以当年利率为标准。例：某人每年初存入银行1，000元，前4年的年利率 为6%，后6年的年利率为10%，试求该年金的终值和 现值。v解：终值：现值：例：在每年初投资1，000元，为期5年。如果前2年的 投资按年实际利率5%计算，后3年的投资按年实际利 率6%计算，试计算该项投资在第5年末的价值。v解：前2年的投资在第5年末的价值为：v后3年的投资在第5年末的价值为：v总价值为：第2章练习题v。1、某人想用分期付款方式购买一辆现价为10万元的 汽车，如果首期支付一笔款项后，在今后的5年内每 月
9、末付款2，000元即可付清车款，假设每月结转一次 利息的年名义利率为8%，试计算首期付款的金额为多 少？v2、某人将在10年后退休，他打算从现在开始每年 初向一种基金存入2，000元，如果每年的收益率为 6%，试计算他在退休时可以积存多少退休金？v3、某人从2000年3月1日起，每月可以领取200元 ，直到2010年6月1日。如果每月结转一次利息的年 名义利率为6%，试计算：1）年金的现值；2)年金 的终值；3)年金在2005年12月31日的值。4、某人在今后的20年内，每年初向一基金存入10， 000元，从第30年开始，每年末可以领取一笔退休金 。该基金的收益率为6%。1）如果限期领取20年
10、，每 次可以领取多少？2）如果无限期的领下去（继承人 可以领取）每次可领取多少?v5、某人留下了10万元的遗产，遗嘱规定，该 笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二 个5年的利息由其次子领取，从第11年开始， 剩余遗产全部归第三个儿子。如果实际利率 为8%，试计算第三个儿子在该笔遗产中分别 占多大份额。6、某人将一笔遗产（每年可以领取的永续年金）捐 赠给了A、B、C、D四家慈善机构。在前n年，每次 领取的款项由A、B、C三家平均分享，n年后，剩余 部分均由D领取。试确定当(1+i)n为多少时，A、B、C 、D四家在该遗产中享有的现值相等。v7、假设一笔10，000元的贷款，计划从第5 年开始
11、在每年末偿还1，000元，直到还清为 止。如果年实际利率为5%，并要求将不足1 ，000元的一次非正规付款提前在前一年末支 付，试计算最后一次付款的时间和金额。8、如果年利率为i，那么一笔在36年内每年末支付4，000元的 年金，与另一笔在18年内每年末支付5，000元的年金将有相等 的现值。试计算1，000元的投资在年实际利率为i时，经过多 长时间可以翻番。v9、借款人原计划在每月末偿还1，000元， 用5年的时间还清贷款。每月结转一次利息的 年名义利率为12%。如果他希望一次性支付 60，000元还清贷款，应该在何时偿还？v10、投资者每月初向一基金存入一笔款项，5 年后可以积存到60，0
12、00元。如果前2年每次 存入1，000元，后3年每次存入500元，试计 算每月结转一次利息的名义利率。11、投资者每年末向一年金存入2，000元。如果在前 2年的投资按6%的年实际利率计算，在后2年的投资 按5%的年实际利率计算，投资者在第四年末可以积存 多少价值。v12、投资者每年末向一基金存入2，000元。 如果基金在前2年收益率为6%，在后2年的年 收益率为5%，投资者在第四年可以积存多少 价值。题1。题2。v。题3题4题5题6。第1章练习题1）投资1在利息强度为 的情况下，经过 27.72年将增加到2，在每2年计息一次的年名 义利率 的情况下，经过n年增加到7.04，求n 。解：2）基金以每月计息一次的年名义利率12%积累，基 金B以利息强度t/6积累，在时刻t=0.两笔基金存入的 款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。v解：3）投资1000元在15年末的积累之为3，000元，试确定每月计息一次的年名义利率。v解：4)基金x中的投资以利息强度 积累，基金y以年利率i积累，两基金期初值都 为1，在第20年末，他们的积累之相等，求在 第3年末基金y的积累值。解：.v5
