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1、第二章等额年金(上)主要内容v年金的定义v年金的类型v年金的现值与终值v年金的利率问题、时间问题求解一、年金的定义v年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付 或收款。v等额年金:每次的支付额相等。二、年金的类型v确定性分类:确定型年金、不确定型年金。v每次的支付额分类:等额年金、变额年金。v支付时点分类:期初付年金、期末付年金。v支付期限分类:定期年金、永续年金。v连续性年金:离散型年金、连续型年金。三、年金的现值与终值v1、n年定期年金v1)期末付年金v现值 0 1 2 3 n1 1 1 1vv2vn。上式可写成:期初投资1元,每年末可获得利息i, 且第n年末可获得本金1元。年金终值v.0 1
2、 n-2 n-1 n1 1 1 11+i(1+i)2(1+i)n-1。每年末存入1元,第n年末可得证明:2)期初付年金v现值0 1 2 n-2 n-1 n1 1 1 1 1 vv2Vn-1。终值v。0 1 n-2 n-1 n1 1 1 1 1+i(1+i)2(1+i)n。期初付年金与期末付年金其他例:王平从银行贷款20,000元,他想在今后的10年 内等额还清贷款,贷款年利率为15%。求: 1)每年末的还款额; 2)每年初的还款额。v解:2、延期m年的n年期年金v1)期末付延期年金v现值0 m m+1 m+n-1 m+n1 1 1Vm+1vm+n-1Vm+n。v或:终值或:2)期初付延期年金v
3、现值或:。v终值 或:例:3,000元的债务从第5年初开始,每年初偿还相 同的数额,共分15次还清,年利率为8%,求年还债 额。 解:3、永续年金v1)期末付年金现值v2)期初付年金现值期初投资 元,则 每年可获得1元期初投资 元,则 每年可获得1元3)延期m年的永续年金4、其他时点上的年金v过期年金的终值0 1 - n n+1 n+m1 - 1同理:.v年金的当前值0 1 - m n1 - 1 1 1同理:例:某投资项目,前3年每年初投资5万元,后3年每 年末投资3万元,i=6%,试计算该项投资在10年末的 终值v解:前3年投资在10年末的终值为:v后3年投资在第10年末的终值为:v总的终值
4、为:37.43万元5、连续年金v现值例:某企业从银行获得一笔贷款,年利率为6%,假设企业每 年末向银行偿还20,000元,10年后还清,如果企业打算在5 年内一次还清,试求一次还清的额度。v解: 李明今年30岁,他计划每年初存300元,共存30年建 立个人养老金,这笔存款能使他从60岁退休开始每年 初得到固定金额的养老金,共能取20年,假设存款利 率在前30年为6%,后20年为12%,求每年得到的养 老金额。v解:例:某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定 的金额建立基金,用于10年末开始每年2,000元的永 续奖励支出,i=12%,求每年需存入的金额。解:例:设某期初付年金共支付20年
5、,其中:前6年的年金额为5元 ,中间9年的年金额为7元,后5年的年金额为10元,请写出年 金现值和终值的表达式。解:现值终值四、年金的利率、时间问题求解v1、利率问题v1)迭代法一v2)Newton-Raphson迭代法1)迭代法一v迭代公式步骤v第一步 :确定i0,求i1;vA、i0 可由线性插值法确定;vB、泰勒级数前两项确定。第二步:由i1求i2,以此类推。 v可得i0、i1、i2-,直到it+1it为止。v确定迭代公式:得:。v得:缺点:收敛速度慢。即达到精确值的速度慢。2)Newton-Raphson迭代公式优点:速度快。推导N-R近似公式v。如果已知 ,则迭代公式其中:例、某人存入
6、银行8,000元,然后每年末从银行支取 1,000元,共取10年,求:iv解法一:线性插值法。试算得:f(0.040)=0.1109=f(i2)f(0.045)=-0.0873=f(i1)令:解二:迭代一:i(0)=0.045 i(1)=0.0448583 i(2)=0.0443989 i(6)=0.0433879 i(7)=0.0432567 i(8)=0.0431539 - i(42)=0.04277506 i(43)=0.0427750 i(44)=0.0427750由公式:解法三,N-R迭代法由N-R公式:得:i=0.0427752、时间问题v1)解析式2)小额支付v当n为非整数时,有
7、小额支付问题。0 1 k-1 k s k+11 1 1 w n=k+s s1最后一次支付额w1W的计算W的提前支付vW在第k+1年初的现值。v最后一次取款额为W的延时支付vW在第k+1年末的终值。例:投资者将其20,000元存入某基金,希望 在每年末领取1,000,i=4.5%,求:v1)领取的时间及取款的次数;v2)最后一次的取款额;v3)最后一次取款额在当年的现值和终值。解:v1)求n取款次数为53次2)设小额支付为w3)如果w在53年初支付,则其现值为:如果w在53年末支付,则其终值为:五、可变利率年金v假设每年的实际利率分别为i1、i2、-in。v1、期末付年金0 i1 1 i2 2
8、n-2 in-1 n-1 in n1 1 1 1 1现值终值v。 2、期初付年金 现值终值3、如果支付时,以当年利率为标准。例:某人每年初存入银行1,000元,前4年的年利率 为6%,后6年的年利率为10%,试求该年金的终值和 现值。v解:终值:现值:例:在每年初投资1,000元,为期5年。如果前2年的 投资按年实际利率5%计算,后3年的投资按年实际利 率6%计算,试计算该项投资在第5年末的价值。v解:前2年的投资在第5年末的价值为:v后3年的投资在第5年末的价值为:v总价值为:第2章练习题v。1、某人想用分期付款方式购买一辆现价为10万元的 汽车,如果首期支付一笔款项后,在今后的5年内每 月
9、末付款2,000元即可付清车款,假设每月结转一次 利息的年名义利率为8%,试计算首期付款的金额为多 少?v2、某人将在10年后退休,他打算从现在开始每年 初向一种基金存入2,000元,如果每年的收益率为 6%,试计算他在退休时可以积存多少退休金?v3、某人从2000年3月1日起,每月可以领取200元 ,直到2010年6月1日。如果每月结转一次利息的年 名义利率为6%,试计算:1)年金的现值;2)年金 的终值;3)年金在2005年12月31日的值。4、某人在今后的20年内,每年初向一基金存入10, 000元,从第30年开始,每年末可以领取一笔退休金 。该基金的收益率为6%。1)如果限期领取20年
10、,每 次可以领取多少?2)如果无限期的领下去(继承人 可以领取)每次可领取多少?v5、某人留下了10万元的遗产,遗嘱规定,该 笔遗产前5年的利息收入由其长子领取,第二 个5年的利息由其次子领取,从第11年开始, 剩余遗产全部归第三个儿子。如果实际利率 为8%,试计算第三个儿子在该笔遗产中分别 占多大份额。6、某人将一笔遗产(每年可以领取的永续年金)捐 赠给了A、B、C、D四家慈善机构。在前n年,每次 领取的款项由A、B、C三家平均分享,n年后,剩余 部分均由D领取。试确定当(1+i)n为多少时,A、B、C 、D四家在该遗产中享有的现值相等。v7、假设一笔10,000元的贷款,计划从第5 年开始
11、在每年末偿还1,000元,直到还清为 止。如果年实际利率为5%,并要求将不足1 ,000元的一次非正规付款提前在前一年末支 付,试计算最后一次付款的时间和金额。8、如果年利率为i,那么一笔在36年内每年末支付4,000元的 年金,与另一笔在18年内每年末支付5,000元的年金将有相等 的现值。试计算1,000元的投资在年实际利率为i时,经过多 长时间可以翻番。v9、借款人原计划在每月末偿还1,000元, 用5年的时间还清贷款。每月结转一次利息的 年名义利率为12%。如果他希望一次性支付 60,000元还清贷款,应该在何时偿还?v10、投资者每月初向一基金存入一笔款项,5 年后可以积存到60,0
12、00元。如果前2年每次 存入1,000元,后3年每次存入500元,试计 算每月结转一次利息的名义利率。11、投资者每年末向一年金存入2,000元。如果在前 2年的投资按6%的年实际利率计算,在后2年的投资 按5%的年实际利率计算,投资者在第四年末可以积存 多少价值。v12、投资者每年末向一基金存入2,000元。 如果基金在前2年收益率为6%,在后2年的年 收益率为5%,投资者在第四年可以积存多少 价值。题1。题2。v。题3题4题5题6。第1章练习题1)投资1在利息强度为 的情况下,经过 27.72年将增加到2,在每2年计息一次的年名 义利率 的情况下,经过n年增加到7.04,求n 。解:2)基金以每月计息一次的年名义利率12%积累,基 金B以利息强度t/6积累,在时刻t=0.两笔基金存入的 款项相同,试确定两基金金额相等的下一时刻。v解:3)投资1000元在15年末的积累之为3,000元,试确定每月计息一次的年名义利率。v解:4)基金x中的投资以利息强度 积累,基金y以年利率i积累,两基金期初值都 为1,在第20年末,他们的积累之相等,求在 第3年末基金y的积累值。解:.v5