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1、3.43.4基本不等式基本不等式: :20022002年第年第2424届国际数学家大会届国际数学家大会 在北京举行在北京举行欣欣 赏赏 体体 会会 丰丰 富富 自自 我我2002年国际数学家大会会标这是在北京召 开的第届 国际数学家大 会会标会标 根据中国古代 数学家赵爽的 弦图设计。 颜色的明暗使 它看上去象一 个风车，代表 中国人民热情 好客。国际数学家大会国际数学家大会（简称ICM） 是国际数学界四年一度的大集会 . 首次会议于1897年在瑞士苏黎世举 行. 每次国际数学家大会的开幕式 上，由国际数学联合会领导人宣布 该届菲尔兹奖获奖者名单，颁发金 质奖章和奖金，并由他人分别在大 会上报
2、告获奖者的工作。欣欣 赏赏 体体 会会 丰丰 富富 自自 我我数学家的最高荣誉菲尔兹奖奖章正面是阿基米德头像,并 用拉丁文写有：“超越人类 极限，做宇宙主人”的格言奖章的背面用拉丁文写着“全 世界的数学家们：为知识作 出新的贡献而自豪”欣欣 赏赏 体体 会会 丰丰 富富 自自 我我高斯奖奖章 欣欣 赏赏 体体 会会 丰丰 富富 自自 我我陈省身奖将 于2010年 在印度举行 的27届国际 数学家大会 上首次颁发 。“陈省身 奖”是国际 数学联盟第 一个以华人 命名的数学 大奖。欣欣 赏赏 体体 会会 丰丰 富富 自自 我我ADBC EFGH a b你能在图中找出一些面积的相等或 不等关系吗正方
3、形正方形ABCDABCD的面积为的面积为a a2 2b b2 24 4个直角三角形的面积和为个直角三角形的面积和为2ab2ab一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立 。当当EFGHEFGH缩为一点，即缩为一点，即a=ba=b时，有时，有a a2 2b b2 22ab2ab不等式： （当且仅当a=b时，等号成立）特别地，如果a0、b0,用 分别 代替a、b得：即：要特别注要特别注 意条件意条件写成：_要证只要证显然是成立的，当且仅当_时，等号成立下面证明不等式：证明：要证，只要证要证，只要证ABEDCab?由“半径不小于半弦”得：几何解释RtACDRtDCBCD2 = AC
4、 BCCD=即当且仅当C与圆心重合，即a=b时，等号成立基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立。注意：不等式的适用范围适用范围。的适用范围呢？a , bR1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定 理可以叙述为：两个正数的等差中项不小 于它们的等比中项. 2.在数学中， 我们称 为a、b的算术平均 数， 称 为a、b的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.注意：基本不等式：常用的不等式 ： 重要不等式：基本不等式的变形：其中恒成立的是 _利用基本不等式判断大小关系利用基本不等式判断大小关系例1：设0a1，给出下列不等
5、式(1)(1)应用举例应用举例解:一正二定三相等解:一正二定三相等其中恒成立的是 _例1：设0a1，给出下列不等式应用举例应用举例利用基本不等式判断大小关系利用基本不等式判断大小关系(1)(1)归纳小结：用基本不等式要注意其中恒成立的是 _例1：设0a1，给出下列不等式(1)应用举例应用举例利用基本不等式判断大小关系利用基本不等式判断大小关系（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否 能取“”，否则会出现错误例2：下列各式中，用基本不等式可以得到最小值 4 的是（ ）C C利用基本不等式求值域利用基
6、本不等式求值域应用举例应用举例1.(1)已知两个正数a,b的积等于36, 则当a=_,b=_时,它们的和 最小,最小值等于_？(2)已知两个正数a,b的和等于18,则当a=_,b=_时,它们的积最大,最大值等于_？巩固练习巩固练习81816 66 69 99 91212（1 1）两个正数的）两个正数的 积积 为定值，为定值，和和有最小值有最小值（2 2）两个正数的）两个正数的 和和 为定值，为定值，积积有最小值有最小值归纳小结归纳小结2.2.判断题判断题(1) ( )(1) ( )(2) ( )(2) ( )巩固练习巩固练习(3) ( )(3) ( )一正二定三相等实践创新实践创新一正二定三相
7、等感受总结感受总结基本不等式1. 1.应用基本不等式要注意的问题应用基本不等式要注意的问题2. 2.灵活对公式的正用、逆用、变形用灵活对公式的正用、逆用、变形用布置作业P100 A组 第1题 P101 B组 第1题选做题： 当x0时，求 的最大值 应用二：解决最大（小）值问题分析： （1）面积一定，求长与宽的和的最小值（2）_一定，求_的最大值长与宽的和长与宽的和长与宽的积联想：（左（左右）右） （左（左右）右）例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜 园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短。最短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为
8、多少时，菜园的面积最 大。最大面积是多少？应用举例应用举例例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜 园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短。最短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题解： (1)设长为xm,宽为ym,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m由可得 2（x+y）40当且仅当x=y即x=y=10时，等号成立答(略)一正二定三相等应用举例应用举例例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜 园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短。最短篱笆是多
9、少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题解： (2)设长xm,宽ym,则2(x+y) =36, x+y=18面积为xy m2由可得当且仅当x=y即x=y=9时，等号成立答(略)应用举例应用举例应用二：解决最大（小）值问题归纳小结：归纳小结：（1）两个正数的 积积 为定值，和和有最小值 （2）两个正数的 和和 为定值，积有最大值 应用要点：应用要点：例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜 园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短。最短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大。最大面积是多少？应用举例应用举例
