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1、高高 等等 几几 何何1课 程 概 论 u高等几何是师范类数学专业重要的基础课 之一，它跟初等几何、解析几何、高等代 数等课程有紧密的联系；对未来中学数学 教师在几何方面基础的培养、观点的提高 、思维的灵活、方法的多样起着重要作用 ，有助于中学数学教学质量的提高和科研 能力的培养。 u本书的主要内容是介绍射影几何学，但为 了比较起见，也引进了仿射几何学与欧氏 几何学。射影几何学范围大，可以包含许 多其他的几何学，例如欧氏几何学、非欧 氏几何学、仿射几何学等。2课 程 概 论u射影几何学的起源是由于绘图和建筑上的需要。 当一个画家要把一个实像描绘在一块布幕上时， 他用他的眼睛当做是投影中心，把实
2、像投影到布 幕上去。他的眼睛好比灯光，把实像的影子映射 到布幕上去，然后再描绘出来。在建筑上我们需 要把设计的实物画在一个面上，平面上的图像就 是实物的平面投影。 （透视图） u这种投影技术在纯理论方面的发展，就成为射影 几何学。 u在实用方面的发展就成为工科院校的一门基础课- -画法几何学。3课课 程程 概概 论论一、高等几何的内容欧氏几何仿射几何射影几何十九世纪名言一切几何学都是射影几何4欧氏几何欧氏几何( (初等几何初等几何) )研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)搬动正交变换对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射的结果欧氏几何研究图形在正交
3、变换下不变性 质的科学5仿射几何仿射几何平行射影仿射变换仿射几何研究图形在仿射变换下不 变性质的科学透视仿射对应有限次平行射影的结果仿射不变性比如平行性、两平行 线段的比等等 6射影几何射影几何中心射影射影变换射影几何研究图形在射影变换下不 变性质的科学透视对应有限次中心射影的结果射影不变性比如几条直线共点、 几个点共线等等射影变换将彻底改变我们原有的几何 空间观念！7课课 程程 概概 论论一、高等几何的内容二、高等几何的方法综合法给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容解析法数形结合，利用代数、分析的 方法研究问题本课程兼用综合法与解析法8课课 程程 概概 论
4、论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法三、开课目的学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想。训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。9主 要 内 容第二章：射影平面 包括：中心射影，齐次坐标，对偶原理，复元素 第三章：射影变换与射影坐标 包括：交比，调和共轭，透视对应，一维射影变换， 二维射影变换、射影坐标 第四章：变换群与几何学 克莱因（F.Klein)的变换群观点 第五章：二次曲线的射影理论 包括：二次曲线的射影定义，帕斯卡和布利安桑定理 ，极点，极线，配极原
5、则，二次曲线的射影分类第六章：二次曲线的仿射性质和度量性质 包括：二次曲线的中心，直径，共轭直径，渐近线，二次曲线 的仿射分类，主轴，焦点，准线，二次曲线的度量分类，射 影 几 何 第一章：仿射坐标与仿射变换 包括：透视仿射对应，仿射对应，仿射变换和性质，仿射坐标本 教 材 基 本 框 架 10第一章：仿射坐标与仿射变换定义：设A,B,C为共线三点，这三点的单比（ABC ）定义为以下有向线段的比：11透视仿射对应透视仿射对应 一.单比u当点 C 在线段 AB 上时，(ABC)0称A、B为基点，C为分点u当点 C 在线段 AB或 BA的延长线上时， (ABC)0 u当点 C 与点A重合时，(AB
6、C)=0 u当点 C 与点B重合时，(ABC)不存在 u当点 C 为线段 AB的中点时，(ABC)= -1注：与定比分点中定比（分割比） 相差一个符号。11二二. .两直线间透视仿射对应、仿射对应与仿射变换两直线间透视仿射对应、仿射对应与仿射变换1两直线间的透视仿射对应ABCD若直线且 , ，, 点A,B,C,D,过点A,B,C,D作直线 的平行线交 于 ，则可得直线到直线的一个映射 。称为透视仿射对应，记为 T12ABCD原象点： A,B,C,D 直线a上的点平行射影的方向：直线透视仿射对应与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射 对应O点 O 为自对应点( 同一平面上两相交直线的公共点
7、)映象点： 直线上的点记透视仿射对应T： 132.两直线间的仿射对应仿射对应是透视仿射对应链或平行射影链表示透视仿射链，T表示仿射对应 （如图 ） 14如图所示：第一章、仿射坐标与仿射变换15注 ：（1）.仿射对应是有限次的透视仿射对应组成的 （2）.判断仿射对应是否是透视仿射对应的方法：对应点的 连线是否平行 （3）.书写的顺序与透视仿射对应的顺序是相反的二 . 两平面的透视仿射对应、仿射对应与仿射变换 ：1.透视仿射对应：如图 点A,B,C共线a，则 共线gABCal两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴3.两直线间的仿射变换与 重合的仿射对应称为仿射变换。16如图第一章、仿射坐标与仿射
8、变换17平面到平面的仿射对应是有限次透视仿射对应的 积组成的，是透视仿射对应链。三三. .透视仿射对应、仿射对应与仿射变换透视仿射对应、仿射对应与仿射变换性质： 1. 保持同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.2.保持点与直线的结合性2仿射对应 ：3.保持单比不变 （ABC)=(ABC)4.保持平行 ab 则ab3. 平面上的仿射变换与 重合的仿射对应称为仿射变换。但不保距离，不保角度！18 例1 下列图形在仿射变换下的对应图形是什么？平行四边形；梯形；等腰三角形；菱形；三角形的内心；三角形的垂心；角平分线；（二全等的矩形） 例2 仿射变换下，正方形有哪些性质不变
9、？其仿射象是什么图形？ 例3 “三角形重心”与“二互相垂直直线”的仿射象各是什么？ （仿射像是另一三角形重心和两相交直线）。19 3. 13. 1仿射坐标系仿射坐标系设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单位点（如图） 。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点 ， 仿射变换T由三对对应点唯一确定.设 的坐标为X轴上的单位点 的映象 的坐标为 y轴上的单位点 的映象 的坐标为 设 为P在坐标轴上 的正射影，且 ， 则T将平行四边形 及 分别变换为平行四边形 及 .由于T保留单比.则 3 3仿射坐标仿射坐标一、建立一、建立仿射坐标系仿射坐标系20xyOP(x,y)21平面上一定点 O 及二 不共线向
10、量 e1、e2 构成一个仿射标架，记 为 O；e1，e2 任意点 M 的向径的分解式为：OxyMEyExe2e1a则有序数对(x, y)称为点M关于标架 的仿射坐标OM xe1 ye2 (1)x, y也称为向量 OM 的坐标(或分量)22 显然，原点 O 的坐标是 (0, 0)；x 轴上的单位点为Ex(1, 0)； y 轴上的单位点为Ey(0, 1) 称标架 O；e1，e2为仿射坐标系，O 称为坐标原点， e1 和 e2 称为基本向量二、定理二、定理3.13.1 设在给定仿射坐标系下，A(xA, yA)，B(xB, yB)，C(xC, yC)，则证明：（ABC）=(AxBxCx) AxBxCx
11、xyABCOExEy23三、定理三、定理3.23.2 设在给定仿射坐标系下，过P1(x1, y1)， P2(x2, y2) 的直线方程为证明 ：P1P2 P即 即24推论：P1,P2,P3共线的充要条件是直线的一般方程仍为 ：25 一、定理一、定理3.33.3 平面上的仿射变换式为： 3.2 3.2 仿射变换的代数表示仿射变换的代数表示 证明 ：如图，设26故得仿射变换的表达式为：因为保单比，所以P在新坐标系下坐标为（x,y),即27其矩阵形式为： x/ a11 a12 x a13 y/ a21 a22 y a23，det(aij) 0 确定一个仿射变换的几何条件为：不共线 的三对对应点。 注
12、：逆变换式为 有6个独立参数28 用代数法可证：（1）共线点对应共线点； （2）保单比。 于是得仿射变换的几何定义：于是得仿射变换的几何定义： 平面内点之间的一一满足：（1）共线点对应共 线点；（2）保单比。则称为平面内的仿射变换 仿射变换的代数定义仿射变换的代数定义3.23.2：平面内点之间的一个线 性变换：称为仿射变换29例1求使点（0，0），（1，1），（1，-1）分别变为点（2，3） ,（2，5），（3，-7）的仿射变换。将点解:分别代入仿射变换的代数表示式得:30仿射变换式为:例2 求仿射变换 的不变直线。解:设所求的不变直线为:ax+by+c=0与直线ax+by+c=0是同一条直线
13、，所以对应系数成比例。31因为与矛盾不变直线为当时，方程组有非零解32求使直线x=0, y=0, x+2y-1=0分别变为直线x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0的仿射变换.练习:解:设所求的仿射变换为则有:33由以上(1),(2),(3)联立解得34 3. 33. 3几种特殊的几种特殊的仿射变换:一、正交变换即即A为正交阵即也可写为第一种正交变换 第二种正交变换35 二、位似变换Oxye1e2k为位似比几何定义：变换f满足（1）任意对应点连线PP过定点S（2）（PPS)=k 36三、相似变换 1.几何定义：f满足（相似比 ） 2.变换式异向相似变换同向相似变换也可 写为有4个独立参数a,
14、b,c1,c237四、压缩变换例将圆压缩为椭圆，所以 圆的仿射图形为椭圆。3822仿射性质仿射性质定义4.1仿射不变性与不变量：图形经过任何仿射变 换后都不变的性质（数量）称为图形的仿射 性质（仿射不变量）。定理4.1 ：两直线间的平行性是仿射不变性。推论1两相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线。.（反证法）假设由结合性与矛盾推论2共点直线经仿射变换后仍变成共点直线。39定理4.2：两平行线段之比是仿射不变量.要证 :ABCDE如图,作DE AC,=单比是仿射不变量 推论一直线上两线段之比是仿射不变量. 40任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明：在笛卡尔坐标系下，已知不共线的三点经过仿射变换后，对应点注：（x,y) 是第一个笛卡尔坐标系下的坐标 ，所以三角形的面积公式可以用定理4.3为常数41推论1 在仿射变换下，任何一对对应多边形 面积之比是仿射不变量。推论2在仿射变换下，任何两条封闭凸曲 线所围成的面积之比是仿射不变
