《高数上册第一章第二节数列的极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数上册第一章第二节数列的极限（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 1第二节 数列的极限一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、数列极限的性质五、小结 思考题1机动 目录 上页 下页 返回 结束 2单击任意点开始观察1.【割圆术】观察完毕“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”刘徽【引例】一、概念的引入机动 目录 上页 下页 返回 结束 3正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 42.【截丈问题】“一尺之棰，日取其半，万世不竭”公元前300年左右，中国 古代思想家墨子语：机动 目录 上页 下页 返回 结束 5二、数列的定义【例如】机动 目录 上
2、页 下页 返回 结束 6【注意】1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取2.数列是整标函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 7单击任意点开始观察三、数列的极限观察结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 8【问题1】当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定?【问题2】 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它，描述它。通过上面演示实验的观察:【直观定义】当n无限增大时，xn无限接近于一个确 定的常数a，称a是数列xn的极限.“距离任意 小”机动 目录 上页 下页 返回 结束 9机动 目录 上页 下页 返回 结束 10【发散】如果数列没有极限,就
3、说数列是发散的.【说明】发散有 不存在；-；+；。1.【精确定义】设xn为一数列, 若存在常数a , 对任给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数N , 使得当n N 时 ，不等式 | xn -a |N时，有无穷多个点落在(a-,a+)内 ”是等价解释，正确吗？机动 目录 上页 下页 返回 结束 13数列极限的定义未给出求极限的方法.【例1】【证】所以 ,【注意】机动 目录 上页 下页 返回 结束 14【例2】【证】【练习】证明常数列的极限等于它本身.（公式）所以 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 15【例3】【证】【小结】 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 寻找N,但不必要求最
4、小的N.公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 16【补例4】【证】放大不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 17【注意】(1)即 ，通过不等式的放大等措施求出正整数N，再定出n的 范围，从而保证 成立.(2) N与是相对应的，但N不是唯一的;N有无 穷多个，则“nN”允许为“nN”.(3)同理，因任意，则2， 等也任意，则允许为机动 目录 上页 下页 返回 结束 18四、数列极限的性质1.唯一性【定理1】每个收敛的数列只有一个极限.【证】注意以下证明都是已知极限存在时，利用的 给定性来论证的用反证法机动 目录 上页 下页 返回 结束 19【例5】【证】由定义,区间长度为1.矛盾 【证完】
5、机动 目录 上页 下页 返回 结束 202.有界性【例如】有界无界不可能同时位于长度为1的区间内.机动 目录 上页 下页 返回 结束 21(2)【定理2】收敛的数列必定有界.【证】由定义,【注意】逆否命题必成立：无界数列必定发散.逆命题不成立；有界列不一定收敛.数列有界是收敛的必要条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 223.保号性【定理3 】 【证明】由数列极限定义，有从而【证完】机动 目录 上页 下页 返回 结束 23【推论】【证明】 以下用反证法由定理3知【证完】机动 目录 上页 下页 返回 结束 244.【子数列的收敛性】（收敛列与其子列的关系）【注意】例如（1）【定义】机动 目录
6、 上页 下页 返回 结束 25（2）【定理4】收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同【证】【分析】 欲证机动 目录 上页 下页 返回 结束 26【证毕】（寻找到K）机动 目录 上页 下页 返回 结束 27【注意】a .常用此关系判断一个数列极限不存在方法：若数列有两个子列收敛于不同的极限，则原数列发散. 如数列方法：若数列有一个子列发散,则原数列发散.如b.上例说明了发散数列也可能有收敛的子列.机动 目录 上页 下页 返回 结束 28五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义 ;收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的 收敛性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 29【思考题】【错证】可以证明因为解新的不等式故当时必有证完机动 目录 上页 下页 返回 结束 30【思考题解答】 【分析】错误：极限是1 明显是不对的，应为0.错误：推导过程中又将不适当的放大，致使不等式：不能对任何 0成立.例如取= 1/2时，找不到 n 满足该不等式.【结论】 极限的分析定义严格描述了极限过程，如 果随心所欲地放大不等式，就会导致荒谬 的结果.切记证明中应适当放大，且最终必 须是无穷小（即极限为0），否则无法保证 小于任给的0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 31【正确证法】因为解不等式故取则当nN 时，必有故证完
