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1、第4章 信息率失真函数 *1信息率失真函数n主要内容：n限失真信源编码定理n信息率失真函数n保真度准则下的信源编码定理n教学基本要求：n掌握率失真函数的定义、性质、计算n掌握保真度准则下的信源编码定理n重点和难点：n率失真函数(离散信源，连续信源)的计算n保真度准则下的信源编码定理Date2本章主要内容n4.1 基本概念 n4.2 离散无记忆信源R(D)的计算 n4.3 连续无记忆信源的R(D)的计算 Date3n理论上“消息完全无失真传送”的可实现性n信道编码定理：无论何种信道，只要H(X)=C则传输必失真。n实际上“消息完全无失真传送”的不可实现性n要做到无失真信源编码，要求H(X)RC；
2、实际的信源常常 是连续信源，连续信源的绝对熵无穷大,要求信息率R也无限 大，要无失真传送，也就要求信道容量C必须为无穷大。n而实际信道带宽是有限的，所以信道容量受限制。因此无法 满足无失真传输的条件，因此传输质量必然受影响。Date4n有些失真没有必要完全消除（限失真信源编码）n实际生活中，人们一般并不要求获得完全无失真的消息，通 常只要求近似地再现原始消息，即允许一定的失真存在。n打电话，即使语音信号有一些失真，接电话的人也能听懂 。n放电影：理论上需要无穷多幅静态画面，由于人眼的视觉 暂留性，实际上只需要每秒放映24幅静态画面。n信息率失真理论信息率失真函数n香农定义了信息率失真函数R(D
3、)n定理指出：在允许一定失真度D的情况下，信源输出的信息率可以压缩到 R(D).Date5信息率失真函数极小值问题nI(X;Y)是P（X）和P（Y/X）的二元函数。n在讨论信道容量时：n固定P（Y/X）, I(X;Y)是P（X）的函数。离散情况 下， I(X;Y)是 的上凸函数，因此必有I(X;Y)的 极大值。n在讨论信息速率时：n固定 ,I(X;Y)是 的下凸函数，因此必有 I(X;Y)的极小值。n但是若X和Y统计独立，即这样极小值就变成0，此时 极小值就没有意义了。n引入一个失真函数R(D)，计算在失真度D一定的情 况下，信息率R的极小值Date6信息率与失真的关系n信道中固有的噪声和不可
4、避免的干扰，使信源的 消息通过信道传输后造成误差和失真。n误差或失真越大，接收者收到消息后对信源存在 的不确定性就越大，获得的信息量就越少，信道 传输消息所需的信息率也越小。n描述失真度大小和信息速率关系的定理称为：保 真度准则下的信源编码定理，也叫信息率失真理 论。n信息率失真理论的应用：n信息率失真理论是量化、数模转换、频带压缩和数 据压缩的理论基础。Date74.1 主要内容n失真函数 n平均失真 n信息率失真函数 n信息率失真函数的基本性质 Date8失真函数n由于信息率与失真有关，为了定量地描述信息率和 失真的关系，必须先规定失真的测度标准。即失真 函数，失真函数n用来表示信源接收到
5、的消息和发送的消息之间的误差。n具体地：每一对 ，指定一个非负函数 称为单个符号的失真度（失真函数），它表示信源 发出一个符号 ，在接收端收到 所引起的误差或 失真。distortionDate9失真函数n失真函数n其它表示收发误差的失真函数：n平方误差失真函数或均方失真函数n绝对失真函数n相对失真函数Date10单符号离散信源的失真函数n设离散无记忆信源为n信源通过转移概率矩阵P（Y/X） 的信道传输的接收端Yn接收端YDate11失真矩阵n要描述离散信源的所有失真情况，必须用矩阵来表 示：即失真矩阵，记作Dn若一个信源没有正确的传输，所有符号的错误传输大 小都为，则可写作对角线上为0，其余
6、为,则该单 符号离散信源的失真矩阵可以写作。Date12失真矩阵n若=1，则失真函数称为汉明失真函数，失真矩阵称 为汉明失真矩阵，变为 Date13n例：已知单符号离散无记忆信源X=0,1，Y=0,1，2， 失真函数为d(0,0)= d(1,1)=0；d(0,1)= d(1,0)=1；d(0,2)= d(1,2)=0.5，求失真矩阵：n解： Date14n以上离散无记忆信源的N次扩展信源的失真函数：若发 送和接收的消息分别为：n则N次扩展信源的失真函数可定义为Date15连续信源的失真函数记作：d(x,y)n例：d(x,y)=(y-x)2Date16平均失真n 只能表示两个特定的具体符号 之间
7、的失 真。n平均失真：平均失真为失真函数的数学期望。可以表 示信道平均传输每个符号所引起的失真的大小，是从 总体上对整个系统失真情况的描述。n它是信源统计特性，信道统计特性和失真度的函数， 当以上三个量 给定后，平均失真 度就不再是一个随机量了，而变成一个确定的量。n人们所允许的失真都是平均意义上的失真。Date17平均失真n单符号离散无记忆信源的平均失真nN次扩展信源的平均失真 Date18n所以，N次扩展信源的平均失真为（前提为：无 记忆信源）n当 对于定义域内的i,j,k,则Date19n连续信源的平均失真因为离散信源：Date20信息率失真函数n定义：给定信源和失真函数，要使信源的平均
8、失真 (D为给定的失真上限)，则需找到某个信道（满足一定 的信道转移概率分布或转移概率密度函数），使在该 信道（称为试验信道）上传输的信息速率达到最小， 这个最小的信息速率称为信息率失真函数，记作R(D) 。n信息率失真函数示意图Date21n单符号离散无记忆信源的信息率失真函数 其 中Date22n单符号离散无记忆信源的N次扩展信源的信息率失真函 数Date23n信息率失真函数的基本性质 n率失真函数的定义域(0,Dmax)1、当平均失真D=0时，率失真函数R(D)=R(0)=H(X)证明：(1)对于离散信源当D=Dmin=0时，说明信源无失真的通过确定信道到达 接收端，此时信道传输的信息量
9、（平均互信息I）就 是信源熵R(D)=R(0)=I(X;Y)=H(X)-H(X/Y)=H(X)Date24n信息率失真函数的基本性质 n率失真函数的定义域(0,Dmax)(2)对于连续信源，因为绝对熵为无穷大，所以当D=0 时，相当于无噪信道，此时，R(D)=R(0)=H(X)=而实际信道传输容量有限，所以要实现连续信源的 无失真传送是不可能的，只有允许一定的失真，使 R(D)变为有限值，传送才有可能Date25n2、当D=Dmax时，R(Dmax)=0。分析：失真值D越大，R(D)越小 ，D大到一定程度 ，R(D)=0现在将所有满足R(D)=0中D的最小值，定义为R(D) 定义域的上限Dma
10、x。即故：R(D)的定义域为（0，Dmax）Date26相当于求Dj的最小数学期望若Ds是所有Dj中最小的一个，则取p(ys)=1，其它 p(yj)=0,此时Dj的数学期望必然最小Date27n例：已知二元信源n解：（1）求DmaxDate28Date29n（1）Date30n例：已知二元信源n解：（2）求DminDate31(2)已知：分析：达到Dmin时，即平均失真最小。需使每输入一个符号， 选取失真矩阵该行的最小失真元素，令该位置对应的输出概 率最大（取1），该行其它转移输出概率均为0，此时得到平 均失真才为最小。所以： R(Dmin)=R(0)=H(X)Date32nDmin的计算：代入： 达到Dmin时的信道转移概率分 布：Date33n二、R(D)是定义域(0,Dmax)上的严格单调递减连 续下凸函数Date34Thank You!*35
