随机过程一般描述

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1、2.2 随机过程一般描述 2.3 平稳随机过程 2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱 2.5高斯过程 2.6窄带随机过程 2.7正弦波加窄带高斯噪声 2. 8随机过程通过线性系统第 2 章 随机信号分析 2.2 随机过程一般描述确定性信号是时间的确定函数，随机信 号是时间的不确定函数。通信中干扰是随机信号，通信中的有用 信号也是随机信号。描述随机信号的数学工具是随机过程， 基本的思想是把概率论中的随机变量的 概念推广到时间函数。随机过程的数学定义：设随机试验E的可能结果为(t)，试验的样 本空间S为x1(t), x2(t)， , xn(t),， xi(t) 是第i次试验的样本函数或实现，每次试

2、验 得到一个样本函数，所有可能出现的结果 的总体就构成一随机过程，记作(t)。两层含义：l随机过程(t)在任一时刻都是随机变量 ；l随机过程(t)是大量样本函数的集合。随机过程举例：随机过程基本特征其一，它是一个时间函数； 其二，在固定的某一观察时刻t1，(t1)是随 机变量。随机过程具有随机变量和时间函数的特点 。l随机过程(t)在任一时刻都是随机变量 ；l随机过程(t)是大量样本函数的集合。随机过程的统计描述设(t)表示随机过程，在任意给定的时刻 t1T， (t1)是一个一维随机变量。一维分布函数：随机变量(t1)小于或等于 某一数值x1的概率，即F1(x1,t1)=P(t1)x1 一维概

3、率密度函数n维分布函数：Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xnn维概率密度函数随机过程的一维数字特征数学期望方差随机过程的二维数字特征自协方差函数B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2)自相关函数R(t1,t2)=E(t1)(t2)设(t)和(t)分别表示两个随机过程，互 相关函数R(t1, t2)=E(t1)(t2) 2. 3平稳随机过程统计特性不随时间的推移而变化的随机过 程称为平稳随机过程。设随机过程(t), 若对于任意n和任意选定t1 t2tn, tkT， k=1, 2, , n，以及为 任意值，且x1, x2, ,

4、 xnR，有fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=fn(x1, x2, , xn; t1+ , t2+ , , tn+ )则称(t)是平稳随机过程。平稳随机过程的定义说明：当取样点在时 间轴上作任意平移时，随机过程的所有有 限维分布函数是不变的。推论：一维分布与时间t无关， 二维分布 只与时间间隔有关。从而有R(t1, t2)=E(t1)(t1+)=R(t1, t1+)=R()广义平稳随机过程平稳随机过程的定义对于一切n都需成立 ， 这在实际应用上很复杂。由平稳随机 过程的均值是常数， 自相关函数是的函 数还可以引入另一种平稳随机过程的定 义：若随机过程(t)的均值为常

5、数，自相 关函数仅是的函数， 则称它为宽平稳随 机过程或广义平稳随机过程。平稳随机过程在满足一定条件下有一个 有趣而又非常有用的特性， 称为“各态 历经性”。若平稳随机过程的数字特征（均为统计 平均）完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征（均为时间平均）来替代， 则称平稳随机过程具有“各态历经性”。各态历经性各态历经随机过程“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都 经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们 无需获得大量用来计算统计平均的样本函数， 而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可 获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均” 化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大 为简化。2.

6、4 平稳过程的相关函数与功率谱自相关函数的意义：l平稳随机过程的统计特性，如数字特 征等， 可通过自相关函数来描述l自相关函数与平稳随机过程的谱特性 有着内在的联系。因此，我们有必要了 解平稳随机过程自相关函数的性质。自相关函数定义： R()=E(t)(t+)自相关函数主要性质：lR(0)=E2(t)=S-(t)的平均功率lR()= R(-) -偶函数l|R()| R(0) -上界lR()=E2(t) -(t)的直流功率lR(0)-R()=2 -(t)的交流功率。(t)的任一样本函数的功率谱密度为式中，FT()是fT(t)的频谱函数；fT(t)是f(t)的 短截函数；f(t)是(t)的任一实现

7、。由于(t)是无穷多个实现的集合，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的 功率谱密度。过程的功率谱密度应看做 是任一实现的功率谱的统计平均，即 (t)的平均功率S可表示成由(t)功率谱密度的定义，很难直接计算 功率谱。确知信号的自相关函数与其功 率谱密度是傅氏变换对。对于平稳随机 过程，也有类似的关系，即利用二重积分换元法，则上式可化简成：于是简记为 R() P()。上称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的 理论和应用中是一个非常重要的工具。它 是联系频域和时域的基本关系式。 例2-1随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中 A和c均为常数，是在(0,2)内均匀分布的随 机变量。求(t)

8、的自相关函数与功率谱密度。 解：(1) 先考察(t)是否广义平稳。(t)的数学 期望为(t)的自相关函数为：令t1=t, t2=t+,经过推导得：因为cosc (-c)+(+c) 所以，P()= (- c)+(+ c)仅与有关。由此看出， (t)是宽平稳随机 过程。它的功率谱密度为：定义若随机过程(t)的任意n维（n=1, 2, ）分布都是正态分布，则称它为高 斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率 密度函数表示如下：fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn) 2.5 高斯过程式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|为归 一化协方差矩阵的行列式，即1 b12 b1n2B21

9、 1 b2n3Bn1 bn2 1|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子， bjk为归一化协方差函数：高斯过程的特点：l高斯过程的n维分布完全由n个随机变量 的数学期望、 方差和两两之间的归一化 协方差函数所决定。因此，对于高斯过 程，只要研究它的数字特征就可以了。l如果过程是宽平稳的，即其均值与时间 无关，协方差函数只与时间间隔有关， 而与时间起点无关，则它的M维分布也 与时间起点无关，故它也是严平稳的。l如果高斯过程在不同时刻的取值是不相 关的，则即对所有jk，有bjk=0，于是=f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn) 这就是说，如果高斯过程中的随机变量是互 不相关

10、的，则它们也是统计独立的。fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=常用的是高斯过程的一维分布。高斯过 程在任一时刻上的样值是一维高斯随机 变量，其概率密度函数可表示为概率密度函数的曲线为特点lf(x)对称于x=a这条直线。l ，l a表示分布中心，表示集中程度，f(x) 图形将随着的减小而变高和变窄。当 a=0，=1时，称f(x)为标准正态分布的 密度函数。正态分布函数这里的称为正态概率积分。 这个积分无法用闭合 形式计算，我们要设法把这个积分式和可 以在数学手册上查出积分值的特殊函数联 系起来，一般常用以下特殊函数： 误差函数互补误差函数几种函数的关系为高斯白噪声一类特

11、殊的高斯过程高斯白噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整个频率范 围内，即 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想 的宽带随机过程。 式中n0为一常数，单 位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数 可借助于下式求得，即随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度ffc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图2 - 4所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。2.6 窄带随机过程图2-4 窄带过程的频

12、谱及示意波形因此，窄带随机过程(t)可用下式表示:(t)=a(t) cosct+(t), a(t)0 (2.6 - 1)等价式为 (t)=c(t)cosct-s(t)sinct (2.6 - 2)其中c(t)=a(t)cos(t) (2.6 - 3)s(t)=a(t) sin(t) (2.6 - 4)式中, a(t)及(t)分别是(t)的包络函数和随机相位函数，c(t)及s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量。由式（2.6 - 1）至(2.6 - 4)看出，(t)的统计特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的统计特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性则可确定a(t),(t)以及c(

13、t)，s(t)的统计特性。 同相和正交分量的统计特性设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零,方差为2。下面将证明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方差。 1. 数学期望对式（2.6 - 2）求数学期望:E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct (2.6- 5)可得Ec(t)=0 Es(t)= 0 (2.6 - 6)2. 自相关函数R(t, t+)=E(t)(t+)=Ec(t)cosct-s(t) sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+)sinc(t+)=Rc(t,t+)cosctcosc(t+)-Rcs(t,t+

14、)cosctsinc(t+)-Rc(t, t+) sinctcosc(t+)Rs(t, t+) sinctsinc(t+) (2.6-7) =Rc(t,t+)cosctcosc(t+)- Rcs(t,t+)cosctsinc(t+)- Rc(t, t+) sinctcosc(t+) Rs(t, t+) sinctsinc(t+)式中Rc(t, t+)=Ec(t)c(t+)Rcs(t, t+)=Ec(t)s(t+)Rsc(t, t+)=Es(t)c(t+)Rs(t, t+)=Es(t)s(t+) 因为(t)是平稳的，故有 R(t, t+)=R () 这 就要求式（2.6 - 7）的右边也应该与t无关，而仅与 时间间隔有关。 若取使sinct=0 的所有t值，则式 （2.6 - 7）应变为 R()=Rc(t, t+) cosc-Rcs(t, t+)sinc (2.6 - 8)