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1、目标规划模型 制作人： 温罗生 时 间：2007年7月1多目标规划是最优化的一个分支，其研究的 问题是求解在一定约束条件下，几个目标函 数同时达到最大或最小，模型如下：其中x为一个n维向量，目标函数可以有多个，可以为 最大，也可以为最小。当然，约束条件可以为等式和 不等式约束。2不同于单目标规划问题，多目标规划的最 有解一般是不存在的，也就是说往往不能找到 一个解，同时使所有的目标同时达到最优。比 如，在证券投资组合中，往往同时达到收益最 大风险最小的投资方案使不存在的。解决多目标规划问题的方法主要有线性加 权和法，其基本思想就是通过对目标函数进行 加权求和，变成单目标函数在进行求解，当然 ，
2、权系数的确定是一个值得研究的问题。而本 讲的方法是另外的一个处理方法。3在实际问题中，经常是在一组约束条件 下，希望同时实现多个目标。例如，在 企业安排生产问题中，既希望利润高， 又要消耗低，还要考虑市场上产品的销 路等等。当然，这些目标之间往往是相 互矛盾的，要追求利润最大，通常消耗 便不可能最低。能否构造这样一个数学 模型，其结果，即使利润尽量地大，同 时使消耗尽量地低，销路尽量地好呢? 4例1 多目标生产计划问题某工厂计划用所拥有的三种资源生 产代号为A、B的两种产品，原材料资源 可供量为90吨，使用专用设备台时最多 为200台时，劳动力300个；生产单位产 品A需用原材料2.5吨，设备
3、台时4个和劳 动力3个，产品B则需用原料1.5吨，设备 台时5个和劳动力10个。扣除成本，每单 位产品A、B分别可获利7(百元)和12(百 元)，求一个生产计划，使获利最大。 5据题设，容易得到其线性规划基础模型为 ：6 其中x1，x2依次表示产品A 和B的生产量 。使用图解法可求出其绝对最优解为 x1=20，x2=24，最大利润值为428(百元) 。 7问题分析与模型假设 1. 上述结果并未考虑市场信息和资源的可塑 性条件，仅仅根据现有生产能力和固定不 变的产品价格求得的，因而是脱离实际的 “理想化”方案。依据市场调查和生产能 力，厂长认为上述利润指标不易达到，决 定降低为420(百元)，当
4、然力求超过。 2. 根据市场调查和预测，产品B开始出现滞 销现象，随着市场需求的改变，预测两种 产品的需求量比例大致为1:1，而目前的产 品比例失调，有待调整。 83根据原材料市场信息，这种原材料的市场价格下跌，而所生产的产品价格基本 稳定，故决策者希望尽量将原材料转化为产品，即希望原料要全部用掉。但按原生产计划看，原材料将有剩余(4吨) 。因此，尽可能将原材料全部转化为利润 成为一个重要的生产规划指标。 9这了叙述方便，先来考虑单利润指标情 况。 实现利润420是决策者的希望，但在计划 具体实施后，由于各方面因素的制约， 完全有可能达不到，也完全可能超过该 指标，换句话说，可能实现的利润指标
5、 和规定的利润指标完全可能不一致而产 生某一差距。我们称这个差距为偏差变 量，记以d。规定d0。 10从决策者的心理和要求来分析，使之绝 对满意可以做不到，但他总希望将来得 到的实际利润与规定的指标值之间偏差 量愈小愈好，这就“等价地”表出了他 希望利润值达420的目标。当然，他所希 望的是未达规定指标的实际值与规定值 的偏差量越小越好。我们引入下述符号 ：d+表示超出指标的偏差变量，称为 正偏差变量。 d表示未达指标的偏差变量，称为 负偏差变量。 11自然规定d+0，d0。显然，偏差变量 d+，d的取值有且仅有下述三种情形： i)超额完成指标时，d+0，d=0； ii)未能完成指标时，d0，
6、d+=0； iii)恰好完成指标时，d+=0，d=0。有了偏差变量的概念，上述利润指标就可 以比较灵活地进行表示了。事实上，决策 者的目标是利润达到或超过420。因此，他 所希望的自然是d+0。但实际中完全可能 d0，这是决策者所不希望出现的，而 一但出现d0，也希望d尽可能地小。 12因此，决策者最关心是d达到最小，故 此时的目标函数可表示为 ：这样，我们把目标函数写成了偏差变量 的函数。注意，例子中原来的目标函数 显然不再成为目标规划的目标函数。由 于它在目标规划中只是问题要达到的目 标之一，因而也成了一个约束条件。 13事实上，作为目标之一的利润值已被限 制(约束)在420百元，用偏差变
7、量很容易 将它表成为 它自然是约束条件，而且确切地表出了 目标利润应为420百元这一约束。事实上 ，当达不到420百元时，由于这一约束条 件是目标规划的目标之一的约束要求， 故又称为目标约束，其特点是带有偏差 变量的等式约束。 14凡非目标约束的约束条件统称为系统约 束或刚性约束。也相应地称目标约束为 柔性约束，这主要是因为这种约束较刚 性约束来的灵活。至此，我们可把上述单利润指标的规划 问题写成如下形式: 15称这种规划模式为目标规划模式。 其特点主要两条，其一是目标函数是各 目标的偏差变量的函数，其二是约束条 件中含有目标约束条件。 有了上面关于单指标目标规划的构 模原理，我们来讨论具有三
8、个指标情形 的例1该如何构模。 16模型建立 对利润指标已有 ，及相 应的目标约束 ,这里 将偏差变量给以下标1表示利润指标对应 的偏差变量。现考虑原材料要求的指标 。记 表示原材料偏差变量，则 表示 未用量， 表示超用量，由于希望90吨原 料全部用完，既不希望有余也不希望超 支，故目标函数应为 17相应的目标约束完全类似利润指标 情形，应为 又设d3表示产品比例指标偏差变量 。即以d3表示产品A和B之产量差距，则 由于要求两种产品的产量尽可能达到或 接近1:1，故有目标函数其对应的约束条件可写为18我们的目的是求这三个目标的统一 体的最优化方案，即从整体看，我们希 望各个指标的偏差总和达最小
9、，要把所 涉及指标都考虑到，只能按各目标的轻 重缓急分级考虑。事实上，各目标的重 要程度是不同的，可以因人，因地，因 时而异。比如产品的产量问题，对有的 企业来讲是第一位的，而对别的企业来 讲则是第二位的；同一企业此时此地产 量第一而彼时彼地可能产量就放在第二 位甚至于第三位，等等。19这就需要决策者或决策集团根据各目标 的重要程度，科学地予以排队。我们规 定p1表示第一位重要，p2表示第二位重 要，即满足 ,称pk为优先因 子。如第一位重要的目标是要求超额完 成利润指标，则赋予它优先因子p1，其 在整个问题的目标函数中表为 ，列 为第一优先级；其次目标是要求恰好用 完原材料，赋予优先因子p2
10、，列为第二优 先级表为 ;最后是要求产品产量 比例达1:1的目标，赋予优先因子p3，列 为第三优先 20级，在整体目标函数中表为 ,于是整个问题的目标函数表为从而三个目标的例1的目标规划模型便 是 21 例2 某工厂生产代号为、的两种产 品，这两种产品都要经甲、乙两个车间 加工，并经检验与销售两部门处理。已 知甲、乙两车间每月可用生产工时分别 为120小时和150小时，每小时费用分别 为80元和20元，其它数据如表44。工厂领导希望给出一个可行性生产 方案，使生产销售及检验等方面都能达 标。 22表44 23 问题分析与模型假设 与工厂总经理交谈，确定下列几个目标：p1：检验和销售费每月不超过
11、4600元； p2：每月售出产品I不少于50件； p3：两车间生产工时充分利用（重要性 权系数按两车间每小时费用比确定）； p4：甲车间加班不超过20小时； p5：每月售出产品不少于80件； p6：两车间加班总时数要有控制（对 权系数分配参照第三优先级）。24模型建立 设x1，x2分别为产品和的月产 量，依题设,有25设d1表检验销售费偏差，则希望 达 最小，有 相应的目标约束为 以 表示产品I售量偏差，则希望 达最小，有 相应的目标约束为以d3、d4表示两车间生产工时偏差， 则由于要求充分利用两车间生产工时， 故希望 都达最小，考虑到费用比例 为80：20=4：1，有 。 26相应的目标约束
12、应为 以d5表甲车间加班偏差，则有 ,相 应目标约束为 ,最后用 表 产品售量偏差，则希望 达最小，有 相应约束为 于是得到该问题的目标规划模型为2728对目标规划的小结线性目标规划的几个组成部分：1，偏差变量2，系统约束和目标约束3，目标规划的目标函数4，目标函数的优先级29一般线性目标规划的数学模型：30建立一个实际问题的目标规划模型 的一般步骤如下：第一步：由实际问题建立具有m个目标 的线性规划模型；第二步：将多目标线性规划模型转化为 目标规划模型：1，由实际问题对第i个目标给以适当的 期望值2，对第i个目标引进 ，建立目标约 束方程并将其列入原约束条件之中；313，若原约束条件中有互相
13、矛盾的方程 ，则对它们同样的引入 ；4，确定第k个目标的优先级别 及权系 数 ；5，建立目标函数minz。32线性目标规划的求解方法对线性目标规划的求解以下介绍线 性目标规划的序列法；线性目标规划的序列算法的基本思 想是依目标函数中的优先级别 ，顺序 将目标规划模型分解为一系列的单一的 线性规划模型，用传统的单纯型方法逐 一完成其求解过程。求解过程中要以不 影响较高级目标的目标值为前提选择较 标的目标值，如此反复迭代，直至进行 到最低级目标的达成函数达最优为止。 下面给出此算法的具体计算步骤：33第一步，令i=1(i表示正在考虑的优先级别 ，且设共有k个级别)，建立仅含 级目 标的线性规划模型
14、：34指的是仅考虑与 级目标有关的约 束条件， 是指仅考虑 级目标的有关目 标函数。第二步，用单纯形方式（或其它适合求 解的方法）求解此模型，得 的最优 值 ， 即为原目标规划中 级目标所能 达到的最优值。第三步，置 ，若 则转第六步，否 则转下一步。第四步，建立相应于下一个优先级别 的单目标（LP）模型： 35这里 是指在考虑下一级目标 的最优值时必须同时考虑上一级别目标 相应的约束条件，并且还需考虑增加约 束条件 ，这样可保证在优化较 低级目标时不会退化或破坏已得的较高 级目标的最优值 。36 第五步，转第二步。 第六步，最后一个单目标（LP）模型的 解是原目标规划模型的解，并且向量 反映了各目标实现的程度 亦称达成向量。37练习对文中的两个例子用Lingo编程实现。38
