量子霍尔效应(试用版)

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1、童国平 浙江师范大学数理信息学院量子霍尔效应（试用版）量子霍尔效应（试用版）内容提要内容提要 引言 经典Hall效应 电子的Landau能级 磁通量子化 整数量子Hall效应(IQHE) 分数量子Hall效应(FQHE) 展望引言引言 (1985(1985年第一次诺贝奖年第一次诺贝奖) )1930年, Landau 证明量子力学下电 子对磁化率有贡献, 同时也指出动能的 量子化导致磁化率随磁场的倒数周期 变化.引言引言 1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍 尔电导, 1978年 Klaus von Klitzing 和Th. Englert 发现霍尔平台, 但直到 1980年, 才

2、注意到霍尔平台的量子化单位 1985年, Klaus von Klitzing 获诺贝尔物理 奖. 引言引言 19981998年第二次诺贝尔奖年第二次诺贝尔奖 1982年, 崔琦, H.L. Stomer 等发现具有分数 量子数的霍尔平台, 一年后, R.B.Laughlin给 出了一个波函数, 对分数量子霍尔效应给出 了很好的解释. 1998年诺贝尔物理奖授予Horst Stomer, 崔 琦和Robert Laughlin, 以表彰他们发现分数 量子霍尔效应及对这一新的量子液体的深 刻理解.量子霍尔效应量子霍尔效应 Stormer, Horst L. Email: horstphys.co

3、lumbia.edu Telephone: (212)854 -3279 量子霍尔效应量子霍尔效应 DANIEL C. TSUI, 崔琦 Professor Room B-426, Engineering Quadrangle Carol Agans, Administrative Assistant 609-258-3217 Connie Brown, Assistant 609-258-4641 609-258-6279 (f)量子霍尔效应量子霍尔效应 Prof. Robert B. Laughlin Department of Physics Stanford University, S

4、tanford, CA 94305 rbllarge.stanford.edu经典霍尔效应1879年,由Johns Hopkins 大学 的研究生Edwin Hall发现, 其导 师是Henry A. Rowland 教授.经典霍尔效应长条形导体:电流密度:横向电场:霍尔电阻率:电阻率与磁场成正比经典霍尔效应根据德鲁特电导理论, 金属中的电子在被杂质散射前的一 段时间t内在电场下加速, 散射后速度为零. 称为弛豫时间. 电子的平均迁移速度为电流密度为若存在外加静磁场, 则电导率和电阻率都变为张量此处 , 仍然成立.有磁场时, 加入罗仑兹力, 平面电子运动的 Langevin方程为稳态时, ,

5、假定磁场沿z方向, 在xy 平 面内其中 (回旋频率)(经典电导率) 由此易得电导率与电阻率的关系为如果 , 则当 时, 也为0. 另一方面由此, 当 时, , 为霍尔电导由量子力学, 电子处在磁场中的哈密顿量为这里选择矢量势 波函数为(因为H中不显含x, z)电子在均匀磁场中运动的Landau能级根据薛定谔方程可求得电子的能量为H的本征函数为在xy平面内单位面积态之数目为 其中 n = 0, 1, 2, 3, 4, 对于某一个Landau能级, 在y方向的平衡位置数目也由 决定, 故能级的简并度是 .或磁通量子化磁通量子化选标量函数仅依赖方位角作规范变换,并选取若波函数描述延展态,则方位 角

6、可以取任意值. 若满足周期性,则 单值性要求:其中 为磁通量子. 整数量子整数量子HallHall效应效应(IQHE)(IQHE) 二维电子系统目前, 二维电子气主 要以下面三个方式实现1, MOSFET(金属-氧化 物-半导体场效应管)硅中空穴向z方向运动 ,在SiO2和Si 的表面出现 负电荷.电子密度为:MOSFET 示意图 p-Si 空穴型MOSFET 的电子能级结构2, 超晶格 例: GaAs/AlGaAs 异质结的电子能级结构 电子密度: 3, 液氦表面液氦表面有一 个超过1eV的势垒, 阻止电子透射到液 氦中去,而镜象电 荷(+e)势又吸引电 子于表面.电子密 度:整数量子整数量

7、子HallHall效应效应(IQHE)(IQHE) 实验条件1. 极低温(1.5K) 2.强磁场(18T) 3.比较纯的样品 实验装置示意图实验观测到的霍尔电阻3. 台阶高度为 , i 为整数, 对应于占满第 i 个Landau能级, 精度大约为5ppm.1. 霍尔电阻有台阶2. 台阶处纵向电阻为零.由于杂质的作用, Landau能级 的态密度将展宽(如下图). 两种状态: 扩展态 和 局域态只有扩展态可以传导霍尔电流 (0度下), 因此若扩展态的占据数不 变, 则霍尔电流不变. 当Fermi能级 位于能隙中时, 出现霍尔平台. Laughlin(1981) 和 Halperin(1982)基

8、于规范变换 证明, 只要第 i 个扩展态占满, 则霍尔电阻由下式精 确给出霍尔平台是怎样产生的?无序引起的金属绝缘体相变问题朗道的费米液体理论，实质上说的是库仑相互作 用仍保持动量空间中费米面的存在，或说金属金属 无相变，莫特现象反映了在窄能带的晶体场中，库仑 相互作用可能导致金属绝缘体的相变。那末在非晶体场中又怎样呢？1958年安得森指出 在一个强随机场中电子的波函数会局域化，即有金属 绝缘体的相变。这一工作在当时并未引起注意，因 为结论似乎是在意料之中的。 从紧束缚近似提供的能带图像不难理解， 在能带中心附近的态应该保持扩展态，至 少对不是非常强的无序系统来说应该成立 ；在能带边缘的那些态

9、是局域态。 1968年莫特对这种从局域态到扩展态的过 渡，提出了迁移率边缘的临界能量Ec的概 念。 莫特在1973年又进一步提出Ec处有一个电 导率的突变，即从局域态的min=0到扩展 态min0的突变.1974年沙勒斯(Thouless)等提出了局域化问题的标度 描述。1979年阿伯拉姆(Abraharms)等在沙勒斯等工作基础 上提出了局域化标度理论，结论是电导率应该是连续变 化而不是突变的。以后就有一系列用场论的重整化群方 法研究无序引起的金属-绝缘体相变。结论是D=l，2维在 无序的作用下应该是绝缘体，无相变。而在D=3时有金 属-绝缘体相变。但在有磁场存在时，上述结论并不成立 。 负

10、磁阻现象(D=2)表明，此时无序系统可能有扩展态。 事实上，量子霍尔效应正是在研究电子的局域化问题时 发现的。量子霍尔效应表明，在有磁场时，2维无序系 统应有扩展态，否则=0了。怎么来解释实验中 出现的平台呢？(见 上图)。平台的存在说明有电子的态仅对电子 密度n有贡献，但对 无贡献。这就表明有 局域态，为解释这一点必须考虑杂质的存在。 杂质使朗道能级变宽而成了能带，并且互相重 叠起来。理论计算表明大部分电子状态局域化 了，即被杂质所束缚，只有那些处在能带中心 的状态仍然是扩展态。改变电子浓度就改变了 费米能级。当费米能级处在局域态区时霍尔电 导取量子数值，而当费米能级跨过一个扩展态 时，霍尔

11、电导率就改变一个量子数。 然而，考虑了局域态后，又为什么霍尔电导 仍是量子化了的呢？对此，普拉格(Prange)认为 局域态的存在并不影响霍尔电流。当电子费米能 级位于局域态时，扩展态的电子会补偿应由局域 态贡献的霍尔电流。后来，劳甫林(Laughlin)又 提出了规范不变的观点。所谓规范不变实质即电 荷守恒。从这一点来说劳甫林的这一观点是普拉 格观点的另一种更实质化、一般化的说法。然而 作为物理的机理来说，哈伯林(Halperin)的“边 界流”观点是十分重要的。边界流是一种拓扑元 激发流。正是边界流的存在，才得以使量子化在 有局域态存在时仍成立。不过，对此也有人持反 对意见。应该说，即使在

12、今天，整数量子霍尔效 应(IQHE)的解释还是不完全清楚的。 整数量子霍尔效应的发现是在MOS器件 上作出的，这是一个2维有边界的现象。所 谓边界，就是系统的拓扑结构。在有一定 的拓扑结构下考虑无序(杂质)问题，这本 身就是一个新问题。在这一方面，一些形 式上拓扑问题的研究固然重要，但可能还 只是问题的第一步，真正的物理还在于考 虑无序后的局域态、扩展态和边界流等问 题。 应用:1. 1990年起, 国际电阻标准为:精度2. 精细结构常数 精度分数量子霍尔效应整数霍尔效应发现才2年，紧接着崔琦 (Taui，美籍华裔)、斯多麦(Stormer)和谷沙特 (Gossard)又发现了分数量子霍尔效应

13、(FQHE)， 这就提出了更深层的问题。他们在GaAs AlGaAs异质结上观察到，上述 的表示式中M 为分数，而不仅是整数。实验是在高度净化， 温度更低(1K)，磁场更强(约15特斯拉)的条 件下进行的。此后的大量实验却发现M=p/q，p 是奇数或偶数，而对最低朗道能级，q总是奇数 。1987年后又发现偶分母分数态M=5/2。如前所述整数量子霍尔效应(IQHE)可 以用单粒子近似很好地描述，其物理图像 已基本清楚。不过仍存在一些问题值得深 入研究。分数量子霍尔效应(FQHE)必须是 高迁移率的样品在更低的温度下才能观察 到。分数量子霍尔效应也是一个强磁场中 的电子强关联系统，因为要解释分数量

14、子 霍尔效应必须考虑电子相互作用。这从理 论上提出了一类全新的问题。分数效应崔琦, Stomer 等发现, 当Landau能级的占据数这里 p, m 为整数, m为奇数时, 有霍尔平台.分数量子霍尔效应不可能在单粒子图象下解释, 引入相互作用在超强磁场下, 电子位于第一Landau能级. 其单粒子波函数为这里 z =x+iy. 这一状态对应于电子在一由下式给出的面积 内运动. Laughlin 建议了如下形式的波函数这一状态的占据数为. Laughlin 计算了m=3, m=5时这一波函数的能量, 发 现比对应密度下CDW的能量要低. 这一状态称为分数量 子霍尔态, 或Laughlin态, 当

15、密度改变从而偏离占据数1/3, 1/5时, 对应于准粒子激发, 激发谱具有能隙, 准粒子的电 荷为分数(1/3, 1/5?). 因此Laughlin态是一个不可压缩的量 子液体状态.FQHE 态. 绿球代表被暂时冻结的电子, 蓝色为代表性 电子的电荷密度, 黑色箭头代表磁通线.同 IQHE一样, Fermi 能级处于能隙位置时, 出现FQHE 平 台. 不同之处在于IHQE的能隙来源于单粒子态在强磁场 中的量子化, 而FQHE的能隙来源于多体关联效应.Haldane 和 Halperin, 利用级联模型, 指出Laughlin 态的准 粒子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态, 如从 1/3 态出 发, 加入准粒子导致 2/5态, 加入空穴导致2/7态. 准粒子由 这些态激发出来并凝聚为下一级的态? . P 为偶数, 对应于 粒子型元激发对应于 空穴型元激发级联模型的特点: 1, 无法解释那一个子态是较强的态. 2, 几次级联后, 准粒子的数目将超过电子的数目.3, 系统在分数占据数之间没有定义