《线性代数居余马第3章 线性方程组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数居余马第3章 线性方程组（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3章 线性方程组3.1 n 维向量及其线性相关性3.1 n 维向量及其线性相关性如果 ai (i=1,2,n )是实(复)数叫做实(复)向量。行向量是 1n 矩阵,记作 (a1,a2,an)； 列向量是 n1 矩阵,记作 (a1,a2,an)T。 如果 n 个分量全为零，叫做零向量，用 0 表示。 全体 n 元实向量组成的集合记作 Rn 。常用 , , 等表示 n 元向量。1n元向量的概念 定义3.1 由 n 个数 a1,a2,an 组成的有序数组称为 n 元向量, 记作 (a1,a2,an)，其中 ai 称为第 i 个分量。2向量的线性运算 (2) 与 之和 : + = (a1+b1, a
2、2+b2, an+bn)。k= 1时， = ( a1, a2, an) = +( ) 加法满足4条运算律：(1) + = + ；(2) ( + )+ = +( + )； (3) 有+0n = ；(4) 有( ) ,使 + ( ) =0n。定义3.2 设 = (a1, a2, an) Fn, = (b1, b2, bn) Fn, F。(3) 数 与 之乘积: = (a1,a2,an) ，简称数乘。向量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规律与矩阵的相同(1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,n。F为数域 = 11 + 22 + + m m, Fn, , F有：1=；数乘满足4条
3、运算律：其他: (1) 有 0=0n ; k0n = 0n。()=()；(+)=+；(2) 若 k =0n，则 = 0n 或 k=0。 (3) 向量方程 +x= 有唯一解: x= 定义3.3 数域 F上的全体 n 元向量，在其中定义了上述的加法和 数乘运算 , 称为数域 F上的n维向量空间，记作 Fn (Rn为实空间)。称为向量1, 2 , , m的线性组合，或 可用1, 2 , ,m线性表示。矩阵A=1, 2 , , m，x= 1, 2 , , nT。定义3.4 设i Fn , iF (i = 1, 2, , m), 则向量 = 1 1 + 2 2 + + m m (1) (1)式可表示为：
4、A x =，此时， 1, 2 , , m , 为列向量，(+)=+。例如，在 R3中，任一向量 = (a1, a2, a3) 可由基本向量e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) 线性表示为 = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3在R3中，如果三个向量 1, 2, 3共面，则至少有一个向量可以由另两个向量线性表示，如图，即存在不全为 0 的 k1 ， k2 ，k3 使k1 1 + k2 2 + k33 =0如果三个向量 1, 2, 3不共面，则任意一个向量都不能由其余两个向量线性表示，如1= a1 e1 ，2= a2 e2 ， 3 = a3 e3
5、3 = k1 1+ k2 2231 k22k11定义3.5 设 1, 2, , m Rn , 如果存在不全为零的 1, 2,m R ,使成立，则称1, 2, , m线性相关，否则，线性无关。“否则”是指：不线性相关就是线性无关，“仅当1, 2,m全为零时，才使(*)式成立”。 这等价于 “如果(*)式成立，则1, 2,m必须全为零”。11 + 2 2 + + m m = 0 （*）1 1 + 2 2 + + m m = 0定理3.1 向量组 1, 2, , m(m 2) 线性相关的充要条 件是 1, 2, , m中至少有一个向量可由其余向量线性表示。证 必要性：设1, 2, , m线性相关，则
6、存在不全为零的 数1, 2,m, 使得不妨设 1 0 , 于是1= 112 2 11m m3向量的线性相关性 其中1, j1,1, j+1, , m不全为零，充分性得证。例1 Rn中的 e1, e2, , en 是线性无关的。 其中 ei = (0, 0, 1, 0,0) 是第 i 个分量为 1 (i=1,2, , , n）其余分量全为零的向量。解：因为，由 1e1 + 2e2 + + mem = 0 即 (1, 2, , n) = (0, 0, , 0) 必有 1 = 2 = = n = 0.定理3.1 的等价命题： 1, 2, , m(m 2)线性无关的充要条件是其中任一个向量都不能由其余
7、向量线性表示。充分性：若1, 2, , m中的一个向量可由其余向量线性表示，如j = 1 1 + j1 j1 + j+1 j+1 + m m则1 1 + j1 1 j + j+1 j+1 + m m = 0注意: (1) 单个向量 线性相关的充分必要条件是： 为零向量因为 0 使 = 0 成立的充要条件是 = 0； (2) 两个非零向量 ， 线性相关的充分必要条件是：， 成比例即存在 k 或 l 。(3) R3中三个向量 ， 线性相 关的充分必要条件是， 共面例2 含零向量的任何向量组0, 1, 2 , , m都线性相关。 因为1 0 + 0 1 + 0 2 + + 0 n = 0从而有不全为
8、零的 1 , 2 , k , 0, ,0 使 例如， 1 = (1, 2, 1)T, 2 =(2, 4, 2)T , 3 =(1,1,3)T。因为1, 2 线性相关（成比例），所以， 1, 2, 3 线性相关。例3 的等价命题是：线性无关向量组的任一子集 （任一部分 向量）都线性无关。总之：向量组部分线性相关，则整体线性相关；整体线性无关，则任一部分都线性无关。 例3 如果向量组 1, 2, , m中有一部分向量线性相关，则 整个向量组也线性相关。 证：不妨设1, 2, , k线性相关, 于是有不全为零的 1 , 2 , ,k , 使 1 1 + 2 2 + + k k = 0 成立，1 1
9、+ 2 2 + + k k + 0 k+1 + 0 k+2 + + 0 m = 0成立，所以1, 2, , m线性相关。则 1, 2, ,s线性相关的充要条件是 s 元线性齐次方程组 Ax=0 有非零解,其中定理3.2 设 1, 2, ,s Fn, 其中1 = (a11 , a21 , , an1)T, 2 = (a12 , a22 , , an2)T, , s = (a1s , a2s , ans)T,此定理的等价命题是： 1, 2, , s线性无关的充要条件是 Ax=0 只有零解。因为 s 个未知量, n个方程的齐次线性方程组必有非零解， 即 sn 时 Ansx=0 必有非零解。定理3.3
10、 若向量组1, 2, , r 线性无关 , 而向量组, 1, 2, , r 线性相关 , 则 可由1, 2, , r 线性表示，且表示法唯一。证： 由于向量组, 1, 2, , r 线性相关，所以存在不全为零的数 , 1 , 2 , ,r 使得 + 11 + 2 2 + + r r = 0其中 必不等于零(如果 = 0, 则由1, 2, ，r 线性无关 又得 1 , 2 , , r 全为零，与题设矛盾), 于是 = 1 1 1 1 2 2 1 r r则 可由 1, 2, , r 线性表示。推论. 任意 s 个 n 维向量，当 sn 时都线性相关。故n+1个n维向量必线性相关。于是，( b1 c
11、1 )1 + ( b2 c2) 2 +( br cr) r = 0则 Rn 中任一个向量 可由 1, 2 , , n 线性表示，且表示法 唯一。这是因为 Rn 中任何 n+1个向量都线性相关。故 1, 2, , n线性相关，由 定理3.3，向量 可由 1, 2, , n 线性表示，且表示法 唯一。再证表示法唯一。设有两种表示法： = b11 + b22 + +br r = c11 + c22 + +cr r而 1, 2, , r线性无关，所以 bi = ci ( i = 1, 2, r ), 故 由 1, 2, , r 表示是唯一的。推论 如果1, 2, , n是 Rn 中线性无关的 n 个向
12、量,例4 (1) a 取何值时，1 = (1, 3, 6, 2)T , 2 =(2, 1, 2, 1)T , 3 =(1, 1, a, 2)T 线性无关？解 (1)设x1 1x2 2x3 30(*)(2) a = 2时，3可否由1, 2 线性表示？若可以，求表示式。解 (2)设3 x1 1x2 2(*) 得 x2=4/5x1=3/5 所以，例5 若问：解是否线性无关？思考：由定理3.2， 若向量组 1, 2, , r线性无关 , 对每 一个i 各增加 m个分量得到的向量组1, 2, , r 也线性 无关。其逆否命题是什么？ 3.2 向量组的秩及其极大线性无关组定义3.6 向量组1, 2 , s
13、中存在 r 个线性无关的向量： i1, i2 , ir且任意一个向量均可由它们线性表示,则称向量组的秩为 r，记 作 秩1, 2 , sr 或 r1, 2 , sr并称 i1, i2 , ir是一个极大线性无关组。注意：一个向量组的秩是唯一确定的，但它的极大线性无关组不是唯一的。例如1(1, 0); 2(0, 1); 3(1, 2); 4(2, 1)秩1, 2 , 3, 42其中任意两个i, j (i, j =1,2,3,4且 ij ) 都线性无关，都是 1, 2 , 3, 4的一个极大线性无关组。定义3.7 若向量组 1, 2 , k 中每个向量均可由向量 组1, 2 , s线性表示，则称 1, 2 , k可由向量组1, 2 , s线性表示。如果它们可以互相线性表示，则称它们等价，记作 1, 2 , s1, 2 , k 定理3.4 设向量 1, 2 , s可由另一向量组 1, 2 , r 线性表示。如果 sr, 则 1, 2 , s 线性相关。在R3中的几何背景是：如果1, 2线性无关, 1, 2, 3可
