《高考数学专题辅导与训练配套课件：6.2圆锥曲线的概念与性质和存在性问题与曲线中的证明(湖北专供-数学文)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学专题辅导与训练配套课件：6.2圆锥曲线的概念与性质和存在性问题与曲线中的证明(湖北专供-数学文)（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 圆锥曲线的概念与性质和存在性问题与曲线中的证明【考情快报】高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：(1)以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题. (2)以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现.该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大.【核心自查】一、主干构建1.椭圆的定义平面内，到两定点F1，F2
2、距离之和_定长(大于两定点之距)的点的轨迹叫做椭圆.2.双曲线的定义平面内，到两定点F1，F2距离之差的_等于定长(小于两定点之距)的点的轨迹叫做双曲线.提醒：椭圆、双曲线定义中定长大于、等于、小于两定点之距，其轨迹是不同的，此处容易出错.等于绝对值二、概念理解3.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_的点的轨迹叫做抛物线.三、重要公式1.椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 _(ab0)；(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 _(ab0).提醒：当a0,b0时，方程 不一定表示椭圆.相等2.双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 _(
3、a0，b0)；(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 _(a0，b0).3.椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：_；离心率为_；(2)在双曲线中：_；离心率为_.a2=b2+c2c2=b2+a24.双曲线中的渐近线方程(1)双曲线 的渐近线方程为_；(2)双曲线 的渐近线方程为_.提醒：双曲线的渐近线方程中一定要注意其斜率是 还是 .5.抛物线的标准方程、焦点坐标以及准线方程(1)抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为_,准线方程为_.(2)抛物线y2=-2px(p0)的焦点坐标为_，准线方程为_.(3)抛物线x2=2py(p0)的焦点坐标为_,准线方程为_.(4)抛物线x2=-
4、2py(p0)的焦点坐标为_，准线方程为_. 热点考向 一 圆锥曲线的方程与性质【典例】1.(2012新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E： 的左、右焦点，P为直线 上一点，F1PF2是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为( )(A) (B) (C) (D)2.(2012哈尔滨模拟)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，则y0的取值范围是( )(A)(0,2) (B)0,2(C)(2,+) (D)2,+)3.(2012嘉兴模拟)设双曲线 的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中
5、一个交点为P，设O为坐标原点，若且 则该双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)【解题指导】1.设直线 与x轴交于点M，用a,c表示出PF2和F2M，寻求a，c所满足的数量关系，求得离心率.2.先求出F点的坐标，再利用直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，即可求出y0的取值范围.3.可先求出A，B两点的坐标，再利用 得出a，b，c的关系，进而求出离心率.【解析】1.选C.设直线 与x轴交于点M，则PF2M=60,在RtPF2M中，PF2=F1F2=2c， ，故cos 60= ,解得 故离心率2.选C.依题意得：F(0,2)，准线方程为y=-2,又以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线
6、的准线相交，且|FM|=|y0+2|,|FM|4，即|y0+2|4，又y00,y02.3.选C.依题意令 代入 得 代入双曲线方程，得4e2mn=1，即可得【拓展提升】1.圆锥曲线定义的应用(1)灵活应用抛物线的定义，注意抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的相互转化；(2)椭圆、双曲线的定义中的定长是求解问题的关键.2圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键.(2)求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系,然后把b用a，c代换,求 的值；在双曲线中由于 故双曲线的渐近线与离心率密切相关.热点考向 二 圆锥曲线的存在性问题【
7、典例】(2012昆明模拟)已知抛物线P：y2=4x的焦点为F，经过点H(4，0)作直线与抛物线P相交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求y1y2的值；(2)是否存在常数a，当点M在抛物线P上运动时，直线x=a都与以MF为直径的圆相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由.【解题指导】(1)可依据A，H，B三点共线，得出关于x1,x2,y1,y2的等式，再依据A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上，消去即可得出结论；(2)先假设直线与圆相切，由相切的充要条件可得出关于a的等式，判断方程解的情况即可.【解析】(1)A(x1,y1),B(x2,y2),H(4,0
8、).A(x1,y1),B(x2,y2),H(4,0)在一条直线上，(x1-4)y2-(x2-4)y1=0.A(x1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线y2=4x上，即根据已知得y1y2.y1y2=-16.(2)存在.F是抛物线P的焦点，F(1，0)，设M(x,y)，且y2=4x,则MF的中点为直线x=a与以MF为直径的圆相切的充要条件是 到直线x=a的距离等于即对于抛物线P上的任意一点M，直线x=a都与以MF为直径的圆相切，关于x的方程ax=a2-a对任意的x0都要成立.解得a=0.存在常数a,并且仅有a=0满足：“当点M在抛物线P上运动时，直线x=a都与以MF为直径的圆相切”.【互动探究】在
9、题(2)中，若将相切改为相交，结论如何？【解析】假设直线x=a与以MF为直径的圆相交，则有即0ax+1对任意的x0恒成立，所以0a1. 【拓展提升】1.解决存在性问题的关注点求解存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. 2. 存在性问题的解题步骤热点考向 三 圆锥曲线中的证明问题【典例】(12分)(2012安徽高考)如图，F1(-c,0), F2(c,0)分别是椭圆 的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，过点 F2作直线PF2
10、的垂线交直线 于点Q；(1)若点Q的坐标为(4,4)，求椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.【解题指导】(1)求椭圆方程可转化为求a,b的值，再转化为寻找含有a,b的方程.由Q坐标得出一个.由PF2QF2得出一个，结合c2=a2-b2解出a,b，求出椭圆的方程；(2)该问题转化为证明直线PQ与椭圆C相切即可.【规范解答】(1)将点P(-c,y1)(y10)代入 得： 2分PF2QF2 即2b2 =ac(4-c) 又Q(4,4), c2=a2-b2(a,b,c0) 4分由得：a=2,c=1,b= 即椭圆C的方程为 6分(2)设 由(1)知8分10分过点P且与椭圆C相切的直线的
11、斜率k=y|x=-c =得：直线PQ与椭圆C只有一个交点. 12分 【拓展提升】1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y)得出方程Ax2+Bx+C=0；(2)对于方程Ax2+Bx+C=0，若A=0，则圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点；若A0，则当0时，直线与圆锥曲线有两个交点；当0时，直线与圆锥曲线有一个交点；当0时，直线与圆锥曲线没有交点.提醒：A=0这一情形易忽略.2.直线与圆锥曲线相切时，切线斜率的求法(1)可由直线方程与圆锥曲线方程联立，利用判别式等于零求解；(2)将圆锥曲线方程转化为函数，利用导函数值求斜率
12、. 【思想诠释】与圆锥曲线有关问题中的方程思想、转化与化归思想(1)本题中的方程思想、转化与化归思想主要体现在：求a,b,c的值,利用已知条件得出关于a,b,c的方程，解方程即可；求椭圆的方程转化为求a,b,c的值；证明直线与椭圆只有一个交点转化为证明直线与椭圆相切.(2)与圆锥曲线有关问题中的方程思想、转化与化归思想主要体现在：求a,b,c,e的值经常利用方程的思想，解方程即可求得；求圆锥曲线方程常常转化为求相关系数的值；证明垂直问题常常转化为证明斜率之积为-1；判断直线与圆锥曲线位置关系、交点的个数问题常常转化为方程解的个数问题；证明三点共线问题可以转化为斜率相等或求直线方程，将另一个点代
13、入.1.(定义新)由于方程17x2-16|x|y+17y2=225的曲线呈“心”的形状，因此，人们称之为“爱心方程式”.此“爱心方程式”所表示的曲线关于_对称( )(A)x轴 (B)y轴(C)直线y=x (D)原点【解析】选B.在方程17x2-16|x|y+17y2=225中，用-x代替x方程不变，该方程表示的曲线关于y轴对称.2.(背景新)已知直线y=k(x-3)与双曲线 有如下信息：联立方程组 消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0，分类讨论：(1)当A=0时，该方程恒有一解；(2)当A0时，=B2-4AC0恒成立.在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )(A)9,+) (B)(1,9(C)(1,2 (D)2,+)【解析】选D.由(1)知，m9,由(2)得 离心率3.(交汇新)已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为( )(D)x2+(y-1)2=1【解析】选C.抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，则a=1,b=0, 所以圆的方程为(x-1)2+y2=1.4.(交汇新)椭圆 上有n个不同的点P1，P2，Pn(nN*)，F是右焦点，PnF组成公差 的等差数列，则n的最大值为( )(A)99 (B)100 (C)199 (D)200【解析】选D.
