线性二次型的最优控制

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1、第5章 线性二次型的最优控制 第5章 线性二次型的最优控制本章主要内容：q 5.1 线性二次型问题q 5.2 状态调节器q 5.3 输出调节器q 5.4 跟踪器线性二次型问题的特点（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化（2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）第5章 线性二次型的最优控制5.1 线性二次型问题线性二次性问题的提法：设线性时变系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为正定二次型 半正定二次型实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值0（=0)。加权矩阵总可化为对称形式。求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小

2、。第5章 线性二次型的最优控制性能指标的物理含义：加权矩阵的意义：（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量 的重要性灵活选取。（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。例如：Q(t)可开始取值小，而后取值大第5章 线性二次型的最优控制线性二次型问题的本质：用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。 线性二次型问题的三种重要情形： 第5章 线性二次型的最优控制5.2 状态调节器问题设线性时变系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使系统的二次型 性能指标取极小值。5.2.1 有限时间状态调节器问题物理意义：以较小的控

3、制能量为代价，使状态保持在零值附近。 第5章 线性二次型的最优控制解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式因控制不受约束，故沿最优轨线有：（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）规范方程组：写成矩阵形式：其解为：下面思路：确定 与 的关系，带入 （ 5-6）形成状态反 馈第5章 线性二次型的最优控制横截条件给出了终端时刻二者的关系：即为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：（5-13）-（5-12）*F 可得第5章 线性二次型的最优控制可实现最优 线性反馈控制下面思路：求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大第5章 线性二次型的最优控制（5-17）

4、对时间求导2.应用其性质求解p(t)（5-20）与（5-19）相等，可得黎卡提方程（Riccati)边界条件：第5章 线性二次型的最优控制还可进一步证明，最优性能指标为：黎卡提方程求解问题：（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。第5章 线性二次型的最优控制（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R3. 状态调节器的设计步骤（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)（4）求解最优轨线x*(t)（5）计算性能指标最优值第5章 线性二次型

5、的最优控制例5-1已知一阶系统的微分方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)为黎卡提方程的解最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）第5章 线性二次型的最优控制利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：dfun1.matfunction dy = dfun1(t,y)dy = zeros(1,1); % a column vectora=-1;q=1;r=1;dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)2-q;第5章 线性二次型的最优控制利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：cal_p.mat(主程序）options = odes

6、et(RelTol,1e-4,AbsTol,1e-4);f=0; %initial valuesol = ode45(dfun1,1 0,f,options);x = linspace(1,0,100);y = deval(sol,x);plot(x,y);disp(y(100); %p(t0)=y(100)第5章 线性二次型的最优控制利用matlab进行最优控制系统仿真第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制设线性定常系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使系统的二次型 性能指标取极小值。5.2.1

7、无限时间状态调节器问题说明：1）要求系统完全能控。2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应第5章 线性二次型的最优控制最优轨线满足下列线性定常齐次方程：性能指标最优值可以证明：P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。第5章 线性二次型的最优控制例5-2已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统能控性第5章 线性二次型的最优控制展开整理得到三个代数方程P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一解之利用矩阵P正

8、定的性质第5章 线性二次型的最优控制与给定条件 矛盾，故假设 不成立下面用反证法证明 不是所求的根最优控制为：利用矩阵P正定的性质第5章 线性二次型的最优控制最优状态调节器闭环系统结构图闭环系统传递函数闭环极点为a2,实根，过阻尼a2,复根，衰减震荡第5章 线性二次型的最优控制利用matlab计算和仿真A=0 1;0 0B=0;1a=2b=1Q=1 b;b aR=1K=lqr(A,B,Q,R,0)第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制5.3 输出调节器5.2.1 有限时间输出调节器问题设线性时变系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使下列二次型性能 指标最

9、小。物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题 第5章 线性二次型的最优控制将（5-29）代入（5-30） 若 是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：可以证明，如果系统完全可观测，则 是半正定的。第5章 线性二次型的最优控制有限时间最优输出调节器系统结构图。说明：（1）仍然是状态反馈，而不是输出反馈，说明构成最优控制系统需要 全部信息。（2）从工程上讲，x(t)是通过y(t)观测出来的，所以控制的先决条件 是，受控系统应是可观测的。第5章 线性二次型的最优控制5.2.2 无限时间输出调节器问题设线性定常系统的状态方程

10、为 假设控制向量 不受约束 ，求最优控制 ，使下列二次型性能 指标最小。与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为： 第5章 线性二次型的最优控制例5-3已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统能控性验证系统能观性第5章 线性二次型的最优控制展开整理得到三个代数方程P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控且完全能观，故最优控制为：解之利用矩阵P正定的性质第5章 线性二次型的最优控制闭环传递函数为：最优控制系统的结构图：说明：加权系数r的取值，只影响闭环系统的增益，阻尼系数不变第5章 线性二次型的最优控制利用matlab计算和仿真A

11、=0 1;0 0B=0;1C=1 0D=0sys=ss(A,B,C,D)Q=1R=1K=lqry(sys,Q,R,0)第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制5.4 跟踪器设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测） 假设控制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。5.4.1 线性时变系统的跟踪问题第5章 线性二次型的最优控制解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式规范方程组：写成矩阵形式：因控制不受约束，故沿最优轨线有：为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的

12、作用。第5章 线性二次型的最优控制横截条件给出了终端时刻二者的关系：将（5-42）代入（5-41），并化简整理，可得：其解为：第5章 线性二次型的最优控制（5-43）对时间求导2.应用系统特性求解p(t)，g(t)（5-45）与（5-46）相等，可得第5章 线性二次型的最优控制边界条件： 对所有 均成立，推出： 第5章 线性二次型的最优控制综上所述，跟踪问题的最优控制规律如下：q q 最优跟踪系统反馈结构与最优输出调节器反馈结构完全相同，与预期 输出无关。 第5章 线性二次型的最优控制q 最优跟踪系统与最优输出调节器系统的本质差异，反映在 上。互为负的转置关系（伴随矩阵）q 由（5-54）可知

13、，为了求得 ，必须在控制过程开始之前知道全部的信息。 与 有关，则最优控制的现时值也要依赖于预期输出 的全部未来值。关键在于掌握 变化规律的方法：预估，随机处理（平均最优）第5章 线性二次型的最优控制最优跟踪系统结构图伴随矩阵第5章 线性二次型的最优控制设线性定常系统的状态方程为（系统完全可观、可控） 控制向量 不受约束 ，用 表示期望输出，则误差向量为求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。5.4.2 线性定常系统的跟踪问题第5章 线性二次型的最优控制当 足够大且为有限值时，可得出如下近似结果：线性定常最优跟踪系统结构图第5章 线性二次型的最优控制例5-4已知一阶系统的状态方程：求使性能指标

14、为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)， g(t)为下列方程的解：第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制第5章 结束语q 研究对象：线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题。q 调节器问题：状态调节器、输出调节器q 跟踪问题q 与经典控制问题的关系q 线性二次型最优控制问题可看作是经典控制问题的延伸，是在 综合性能指标下的最优控制问题。q线性二次型最优控制问题的性能指标与经典控制中的性能指标， 如适度的超调量、高的环路增益、平坦的频率响应等是一致的。q 在实际工程中，如对控制分量加以限制，则最优解将不是线性的。本章要点：状态调节器、输出调节器和跟踪问题的控制规律本章作业：秦寿康 教材，P144 习题1，2，3，4（仿真研究），6，9