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1、第一节 集合 完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！内 容 要 求 ABC 集合及其表示 子 集 交集、并集、补补集 三年4考 高考指数:确定性 互异性 无序性 (3)常见集合的符号NN*或N+ZQR自然数集正整数集整数集有理数集实数集(4)集合的表示方法_ _ _列举法描述法Venn图法【即时应用】(1)判断下列结论是否正确(在后面的括号内填“”或“”)：Z=全体整数( )R=实数集=R(
2、)(1，2)=1，2( )1，2=2，1( )(2)若集合A=1，a2，则实数a不能取的值为_.【解析】(1)不正确，正确写法为Z=整数;不正确，正确写法为R=实数；而R表示以实数集为元素的集合；不正确，集合(1，2)表示元素为点(1，2)的点的集合，而1，2则表示元素为数1，2的数的集合，它们是不相等的；正确，根据集合中元素的无序性可知1，2=2，1.(2)由a21,得a1.答案：(1) (2)12.集合间的基本关系A B或B A文字语语言符号语语言相等子集真子集空集 空集是任何集合的子 集，是任何非空集合 的真子集A中任意一个元素均为B中 的元素,且B中至少有一个 元素不是A中的元素A中任
3、意一个元素均为B 中的元素集合A与集合B中的所有 元素相同A B(B )关系 表示A B且B A A=BA B或B A【即时应用】(1)满足1，2，3M1，2，3，4，5，6的集合M的个数是_.(2)若A=x|x2或x0,B=x| ,则AB=_.(3)已知全集U=R,集合A=x|-2x3,B=x|x-1或x4,那么集合 等于_. 【解析】(1)由题意知M=2,3或M=1，2，3,共2个.(2)A=x|x2,B=x|x3,AB=R.(3) =x|-1x4,A( )=x|-1x3.答案：(1)2 (2)R(3)x|-1x3例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。【方法
4、点睛】推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！集合的基本概念【方法点睛】1.注意集合中元素的互异性对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.2.常见集合代表元素的意义集合 x|f(x)=0 x|f(x)0x|y=f(x) y|y=f(x)(x,y)|y=f(x)集合的意义义方程f(x)=0的解集不等式f(x)0的解集函数 y=f(x) 的定义义域函数y=f(x)的值值域函数y=f(x)图图象上的点
5、集【提醒】研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.【例1】(1)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=a+b|aP,bQ,若P=0,2,5,Q=1,2,6,则P+Q中有_个元素.(2)已知-3A=a-2,2a2+5a,12,则a=_.(3)由x，x2-x，x3-3x组成的集合能表示一个有三个元素的集合吗？如果能表示，说明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能表示一个有三个元素的集合.【解题指南】(1)从P+Q的定义入手，可列表求出a+b的值.(2)-3是A中的元素，说明A中的三个元素有一个等于-3，可分类讨
6、论.(3)只有三个元素互异时，才能表示一个有三个元素的集合.【规范解答】(1)a+b的值列表如下：由集合中元素的互异性知P+Q中有8个元素.答案：80251136 2247 66811aa+b b(2)-3A,a-2=-3或2a2+5a=-3,a=-1或当a=-1时，a-2=2a2+5a=-3，不合题意；当 时，A= -3,12，符合题意，故答案：(3)它不一定能表示一个有三个元素的集合，因为x、x2-x、x3-3x有可能相等，因而不一定满足集合元素的互异性.由x=x2-x得x=0或x=2；由x=x3-3x得x=0或x=2.由x2-x=x3-3x得x=0或x=2或x=-1.故只需添加条件x0且
7、x-1且x2且x-2，则x，x2-x，x3-3x就表示一个有三个元素的集合.【互动探究】本例(2)中，若a2a-2,2a2+5a,12,求由a组成的集合.【解析】若a2=a-2,此时a无解.若a2=2a2+5a,解得a=0或a=-5,经检验，符合题意.若a2=12,则a= 符合题意.综上，a=0,-5, 由a组成的集合为0,-5, .【反思感悟】解答本例时，元素的互异性起到了至关重要的作用，求解本例易出现的错误就是求出答案后，不进行检验，忽视了元素的互异性.【变式备选】已知集合A是由方程ax2-3x+2=0的所有实根组成的集合,若A是空集,求实数a的取值范围.【解析】因为A是空集,所以方程ax
8、2-3x+2=0无实根,a0,=(-3)2-8a0,所以a ,所以a的取值范围是( ,+).集合间的基本关系【方法点睛】1.集合相等若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解,要注意挖掘题目中的隐含条件.2.判断两集合关系的方法(1)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；(2)用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.【提醒】题目中若有条件B A，则应分B=和B两种情况求解.【例2】(1)(2012盐城模拟)已知aR,bR,若a, ,1 =a2,a+b,0,则a2 013+b2 013=_.(2)已知集合A=x|-2x7,B=x|m+10,则A
9、=x| .(1)当a=0时，若A B，此种情况不存在.当a0时，若A B，如图，综上，知当A B时，a0时，若B A，如图，综上知，当B A时，(3)当且仅当A B且B A时A=B,由(1)(2)知a=2.xBA集合的基本运算【方法点睛】1.集合运算的常用方法在进行集合的运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.(1)当集合元素离散时一般用Venn图表示；(2)当集合元素连续时一般用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍.2.常用重要结论(1)若AB，BC，则AC；(2)AB=AAB;AB=AAB.【提醒】在解决有关AB=，AB=等集合问题时，一定先考虑是否成立，以防漏解，另外要注意
10、分类讨论和数形结合思想的应用.【例3】(1)(2011山东高考改编)设集合M=x|x2+x-61,则集合A( )=_.(3)(2011辽宁高考改编)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N =，则MN=_.【解题指南】(1)化简集合M，求解.(2)先求 再求并集.(3)借助于Venn图寻找集合M，N的关系.【规范解答】(1)M=x|-31=x|x1或x0,N=y|y=x2+1,则 =_.【解析】M=x|x2,N=y|y1， =x|0x2， =1，2.答案：1，2(2)已知A，B均为集合U=1，3，5，7，9的子集，且AB=3，( )A=9，则A=_.【解析】画出Venn图如图所示，
11、则A=3，9.答案：3，9 把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离的体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。【创新探究】以集合为背景的新定义题【典例】(2011广东高考改编)设S是整数集Z的非空子集，如果a,bS有abS，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，TV=Z且a,b,cT有abcT;x,y,zV ,有xyzV，则下
12、列结论恒成立的是_(只填序号).T,V中至少有一个关于乘法是封闭的T,V中至多有一个关于乘法是封闭的T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的 T,V中每一个关于乘法都是封闭的【解题指南】通过符合题目条件的特例对各结论进行分析.【规范解答】若T=偶数，V=奇数则T、V中每一个关于乘法都是封闭的，故不正确；若T=非负整数，V=负整数，则T关于乘法是封闭的，V关于乘法是不封闭的，故不正确；事实上，T、V必有一个含有1，由题目条件知含有1的这个集合一定关于乘法是封闭的.综合以上分析只有正确.答案：【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下的创新点拨和备考建议: 创新点拨 本题有以下创新点：(1)
13、本题为新定义问题，命题背景新颖，考查创新意识;(2)以元素与集合的关系、集合的运算为载体，通过对新定义的理解与应用来考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力，以及化归转化能力.备考建议 关于集合的新定义问题在备考时要关注以下几点：(1)认真阅读，准确提取信息，是解决此类问题的前提.(2)剥去新概念、新方法的外表，将新问题转化为熟悉的问题，是解决此类问题的关键.1.(2011北京高考改编)已知集合P=x|x21，M=a，若PM=P，则a的取值范围是_.【解析】P=-1，1.由PM=P，得M P，所以a-1，1.答案：-1，12.(2011江西高考改编)若集合A=x|-12x+13,B=x| 0,则AB=_.【解析】由题意得A=x|-12x+13=x|-1x1,B=x| 0=x|0x2,所以AB=x|-1x1x|0x2=x|0x1.答案：(0，13.(2011安徽高考改编)设集合A=1，2，3，4，5，6，B=4，5，6，7，8，则满足SA且SB的集合S的个数是_.【解析】S A的集合S的个数为26=64，S A且SB=的集合S的个数为238，所以满足题意的集合S的个数是64-8=56.答案：56
