概率第一章(2)

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1、 15 条件概率 全概公式 Bayes公式例1 有100件产品，其中10件次品，有40件按新工艺制造，其中有两件次品。现从100件产品中任取一件，问：1）此产品是次品的概率 2）已知此产品是新工艺生产的， 它是次品的概率。一 条件概率解： 设 A=“任取一件为次品” B=“此产品由新工艺生产”定义1： 设（ F P）是概率空间，A ， B F ,且 P（B）0. 称为已知事件B发生的条件下， 事件A发生的概率.例2 一个家庭中有两个孩子. 已知其中有一个是女孩，问另一个也是女孩的概率为多大?(假定一个小孩是男女等可能)解：（1） =(男,男) (男,女) (女,男) (女,女)B=另一个也是女

2、孩=(女,女)A=已知有一个女孩=(男,女) (女,男) (女,女)于是所求概率: 满足概率的三个公理.因而是个概率,满足注：1 2 解： （2） （男，女） （女，男）（女，女） （女，女）于是，所求概率 定理1：(1) 非负性 ： (3) 可列可加性： (2)规范性： 二 乘法公式推广： 设（2）例3（Polya）模型 罐中有b 个黑球，r 个红球。从中随机取出一球，然后放回，并加进同色球c个和异色球d个，然后再进行第二次抽取，这样下去共取n 次，求（1）前三次取出的球为“红黑红”的概率。（2）前 次出现红球，后 次出现黑球的概率。解： 设例4 一批产品共100件，对产品进行不放回抽样检查

3、，整批产品合格的条件是：在被检查的5件产品中至少有 一件废品。如果在该批产品中有5%是废品，求该批产品被拒绝的概率。（2） 解： 设例5 盒中装有5个乒乓球，3新2旧，比赛时从中任取一球， 用后不放回，求第二次取出新球的概率。AB 定理2：设全概公式三 全概率公式是一列互不相容的事件，且则 对任意事件 F 有：注：定理中的事件 称为完备事件组。解：2白 1黑甲1白 2黑乙任取一球取一球P（白）=？设 A=“最后取出的求为白球”B=“从甲袋中取出的是白球”例6 设甲袋中有2个白球，1个黑球，乙袋中装有1个白球，2个黑球。今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率。由全概

4、率公式：例7 某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线和产量分别占总产量的15% ， 20% ，30%， 35% 。 又这四条流水线的不合率依次为0.05 0.04 0.03 及0.02 , 现从出厂的产品中任取一件, 问 ：(1)恰好抽到不合格品的概率是多少?（2)若在出厂产品中任取一件,结果为不合格品, 问厂方应作如何 处理比较合理?解:（1） 设 A=“任取一件为不合格品”任取一件恰由第i条流水线生产 i=1，2，3，4（2） 由此公式算得：由全概公式：则对任意事件A， 有：Bayes公式四 Bayes公式定理3 设是一列互不相容的事件，且例8 一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病

5、。在患有此种疾病的人群中。通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应。某地区此种病的患者仅占人口的0.5%。若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？ 例9 一道考题有m个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择 出来。某考生知道正确答案的概率为p，而乱猜的概率为1-p，在乱猜时，m个答案都有机会被他选择，如果他答对了，问确实知道正确答案的概率是多少？解： 设 A=“ 考生答对” B=“ 考生知道正确答案”由全概公式： 又由Bayes公式：例10 （遗传风险）在人类遗传学中，某中坏的基因会引起夭折。设a是这样的一个基因，基因型aa将不能长大成人,基因型

6、Aa的人为带菌者,（a具有隐性性状）。假定在一般总体中（不论性别如何）带菌者的概率为p。现考察下述问题 ：（1） 已知某人（成人）有一个哥哥或姐姐在童年死去（原于aa）求该人为带菌者的概率。解： 首先，由他的家庭有一个有关“历史”可知，他的双 亲都必是带菌者（为什么？），因此他们孩子的基因型的 分布为基因型pAA Aa aa1/4 1/2 1/4于是，所求概率为：（2）若该人跟一位不知是否具有那种“历史”的女人结婚，问：其子一带基因型的分布如何？解：参见下表父本 母本 结合的概率 产生AA的概率 Aa 的概率 aa的概率AA AA AA Aa Aa AA Aa Aa 1 0 000由全概公式：

7、由此可知，在这种背景下，就子一代而言，一个成人是带菌者的 概率为 补充练习1 假设有三张形状完全相同的卡片，第一张两面全是红色，第二章两面全是黑色，第三张一面红色一面黑色，将这三张卡片随机地选出一张，并抛在桌面上，发现这张卡片朝上的一面为红色，求其另一面是黑色的概率。补充练习2 伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊,山里有狼出没。第一天，他在山上喊：“狼来了，狼来了！”山下的村民闻声便去打狼，可到山上，发现狼并没来，第二天，仍是如此；第三天狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他。现在请你用Bayes公式来分析此寓言中村民对小孩的可信程度是如何下降的。16 事件的独立性一 两

8、个事件的独立性定义1：设（，F，)为一概率空间，事件A,B属于 F,若则称事件A,B是相互独立的。注：若事件A，B相互独立，有：.（2）定理1 : 若四对事件中有一对是则 另外三对也独立。独立的，例1 设甲、乙两人独立地向同一目标射击，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8，求在一次射击中，目标被击中的概率。定义2 : 称A B C 是相互独立的,如果有:（3）若只满足前三式，则称A ，B ， C两两独立。注：1 事件两两独立，未必相互独立2 （3）中的第4个式子成立，其余3个式子也未必成立。二 多个事件的独立性3 两两独立没有传递性。定义4: 称 是相互独立的,如果对任意自然数有：定理2 设

9、 相互独立，则将其中任意个换成其对立事件，则所得的n个事件也相互独立。例3 设某种型号的高射炮命中率为0.6,若干门炮同时发射(每炮射一发) 问: 欲以 99%以上的把握击中敌机,至少配备几门高炮? 三 独立性在计算概率中的应用解: 设至少需要n门炮例2 教材P51 1.26至少需配置六门炮才能以99%以上的把握击中敌机.由题意：故例3 一个人照看三台机床，在1小时内不需要照顾的概率分别为0.9、0.8、0.7，求在1小时内三台机床中最多有一台需要照顾的概率。例4 甲乙丙三人同时向一飞机射击，击中的概率分别为0.4，0.5， 0.7，如果只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2，如果有二 人击中

10、，飞机被击落的概率为0.6，如果三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。解：设 分别表示甲，乙，丙击中敌机分别表示有1，2，3人击中敌机=“敌机被击落”四 串联、并联系统可靠度的计算1 可靠性研究的内容1）可靠性寿命试验 2）可靠性维护策略 3）系统可靠度计算2 可靠度定义: 指一元件或系统在规定的时间内能正常工作的概率。3 可靠度的计算n 1 21 串联系统12n2 并联系统(独立)例5 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r,0r1,且各元件能否正常工作是相互独立的,试求下面两种系统的可靠性。1 2 nn n 211122nn图1图2注 n个事件并的概率:1.7 贝努里（Berno

11、ulli）概型1 定义： 如果试验E只有两种结果则称 E为 Bernoulli 试验。将E独立重复n次的试验称为n重Bernoulli试验。记为注：1 独立重复的含义：2 n重Bernoulli试验的样本空间问题：在n重Bernoulli试验中，事件A恰好发生k次的概率记 “n重Bernoulli试验中事件A出现k次”“第i 次试验中A发生”二项概率公式例1 电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000小时后，最多只有一个坏了的概率。解：设 A=“使用寿命大于1000小时” 则则 所求概率为：=0.096+0.008=0.104例2 P49 （例1.24）例3 甲乙

12、两名运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛可采用三局两胜制或五局三胜 制，问 在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？解：（1）若采用三局两胜制，则下列两种情况下甲获胜= “甲净胜两局”=“ 前两局各胜一局，第三局甲胜”则 P（甲胜）=0.648P（甲胜）= “ 甲净胜三局” =“前三局中甲胜两局，负一局，第四局甲胜”= “ 前四局中甲乙各胜两局，第五局甲胜”=0.682结论：（2）若采用五局三胜制，则下列三种情况下甲获胜“例4 某店内有四名售货员，据经验每名售货员平均在1小时内只用台秤15分钟，问该店配置几台秤较为合理？解：设 A= “ 售货员在1小时内使

13、用台秤” 则 售货员在1小时不使用台秤由题意：P（1小时内没有人使用台秤）=P（1小时内只有1名售货员使用台秤）P（1小时内有2名售货员使用台秤）=故 P（1小时内不超过2名售货员使用台秤）而 P（1小时内有3名售货员使用台秤）P（1小时内有4名售货员使用台秤）结论分析：习题课 条件概率 独立性一 内容总结1 条件概率的定义 性质 2 乘法公式 （ 独立）3 全概率公式 Bayes 公式若事件组 满足 则 对任意事件 A 有全概率公式Bayes 公式4 事件的独立性两个事件的独立性：多个事件的独立性：5 贝努里（Bernoulli）试验例题分析例1 （教材P54. 1.23）例2 （教材P54. 26）例3 M和N之间的电路如图所示：MN在时间T内不同元件出故障是相互独立的，其概率为元 件故障概率0.6 0.5 0.4 0.7 0.9求 在指定的时间内 （1）由于 或 发生故障而断电的概率；（2）由于 同时发生故障而断电的概率；（3）由于 或 或 同时发生故障而断电的概率；（4）电路通电的概率。例4 已知昆生k个卵的概率为 ,而每一个卵能孵化成昆虫的概率为P，且各卵的孵化是相互独立的，试求这昆虫的下一代有r