概率第一章(1)

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1、 1 确定性现象在一定条件下必然发生的某种确定性现象。概率统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科。二 概率统计的起源与发展三 概率论的广泛应用一 概率论与数理统计研究的对象2 随机现象在一定的条件下进行观察和试验，其结果不能事先确定的现象。 （偶然性、规律性）序 论第一章 事件与概率本章主线提示：先由随机试验引出样本空间，并 给出概率的描述性定义，然后介绍古典概型与几何 概型中概率的求法。在对概率有了一些直观了解的 基础上，引出了事件的域，进而给出了概率的公理 化定义，并由此定义导出概率的基本性质。11 随机事件与样本空间一个试验如果满足下列条件则称为随机试验。（可重复性）（全部可知性）（随

2、机性）二 随机事件1 基本事件（样本点）试验中的每一个基本的结果称为基本事件（样本点）。2 样本空间全体样本点构成的集合。一 随机试验用 表示用 表示（1）试验可以在相同的条件下重复进行。（3）每次试验只能出现一个结果，并且事先不能确定。（2）试验的所有结果明确可知，并且不止一个。例1 写出下列试验的样本空间1） 抛掷一枚均匀的硬币，观察出现正反面的情况。2）连续投两枚硬币，观察出现正反面的情况。3）对某一目标进行射击，直到击中为止。4）研究电视机的使用寿命。定义：样本空间中具有某种性质的样本点的集合。4三 事件的关系及运算2) 相等关系 3 随机事件1 关系及运算1）包含关系推广1：4 交推

3、广1： 3 并推广2：中至少有一个发生的事件。推广2：5 差 注：差运算不满足交换律6 互不相容（互斥）7 对立事件（逆事件）例2 设 是 中的随机事件，试用事件间的运算关系表示下列事件：（1） 中至少有一个发生（2） 中至少有两个发生（3）事件 与 发生 而 不发生（4） 中恰好有两个发生（5） 中至多有一个发生1）交换律： 2）结合律： 2 运算规律3）分配律： 4）对偶律：( D.Morgan律 ) 5）幂等律： 12 概率和频率实验者 投掷次数 出正面次数 出正面频率De.organ 2048 1061 0.518Buffon 4040 2048 0.5069K.Person 1200

4、0 6019 0.5016K.Person 24000 12012 0.5005投币实验表一 概率的直观意义二 频率随机事件发生可能性大小的度量称为概率。-频数1 非负性：三 概率的统计定义定义 频率的稳定值（中心）称为概率。记为：概率的性质：2 规范性：3 有限可加性：频率的 性质：1） 基本计算原理可重复排列：2 ） 排列1 排列与组合公式1.3 古典概率乘法原理： 加法原理：选排列：不重复组合：可重复组合：多组组合： 将n个不同的元素分成 s组，使第一组有 个元素，第二组 有个元素，第s组有 个元素 ，且有，则 分法总数为：3） 组合二 古典概型则称此试验为古典概型。（1）3 概率的古典

5、定义1 定义： 若随机试验具有下列性质1 具有有限个样本点2 每个样本点出现的机会均等4 性质：2 概率计算：将 称为事件A发生的概率。 -古典定义 例1 在自然数1，2，120中任取一数，求此数能被3整除的概率。 解： 设 A=“此数能被3整除” 由古典概型的计算公式：例2 100只同批生产的外形完全一样同型号的三极管中按电流放大系数分类，有40只属于甲类，60只属于乙类。在按 1）有放回抽样 2）不放回抽样下，求下列事件的概率A= “从100只中任取3只，3只都是乙类”B=“从100只中任取3只，其中有2只是甲类，1只是乙类”例3 设有n个人定了n张票，其中有k张甲级票，现让这n个人各抽一

6、张，在未抽完之前先抽者不准宣布结果。试证明：每个人抽的甲级票的概率相等皆为k/n，而与取的先后顺序无关。例4 从1，2，9共9个数字中任取一个，然后放回 ，先后取出5个数字，求下列事件的概率（1）A：最后取出的数字是奇数（2）B：五个数字全不相同（3）C：1恰好出项两次（4）D：1至少出现两次（5）E：恰好出现两对不同的数字例5 9个国籍不同的乒乓球队，内有3个亚洲国家队，抽签分成3组进行预赛，（每组3队），试求：（1）3个组各有1个亚洲国家队的概率。（2）3个亚洲国家队集中在第一组的概率。（3）3个亚洲国家队集中在某一组的概率。例6（分房问题 分球入盒问题）将n个不同的球以同样的概率分到N（

7、 ）个盒子中去，试求下列事件的概率。（1）指定的n个盒子各有一个球。（2）恰好有n个盒子各有一个球。例7 在例7中假定n个球是不可分辨的，求 （1）（2）两个事件的概率。补充习题 (彩票问题)一种福利彩票称为幸福35选7,即从01,02,35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码,中各等奖的规则如下,试求各等奖的中奖概率幸 福 35 选 7 的 中 奖 规 则中奖级别中奖规则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖7个基本号码全中中6个基本号码及特殊号码中6个基本号码中5个基本号码及特殊号码中5个基本号码中4个基本号码及特殊号码中4个基本号码或三个基本号码及特殊号码1.4 概率的公理化定义

8、及概率的性质引例1 某汽车站每隔5分钟有一辆汽车到站，乘客到达车站的时刻是随机的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。 引例2 如果在一个5平方公里的海域里有表面达40平方公里的大陆架蕴藏着石油，假设在这海域里随意任取一点钻探，问钻到石油的概率是多少？ 引例3 在400ml的自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2ml水，放在显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率是多少？ 定义：性质： 1 非负性 2 规范性 3 可加性一、 几何概型计算公式：若随机试验满足以下条件，则称其为几何概型。1 有无限个样本点，且样本空间是几何空间中的一个有限区域。2 样本点落在有限区域的概率与区域的度量大小成正比而与

9、区域的位置形状无关。例1 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到站，乘客到达汽车站的时刻是随机的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。例2 （会面问题）两人相约某天5点至6点在某地点会面，先到者等 候另一人20分钟 ，过时离去。试求这两个人能会面的概率。例3 从（0，1）内任意取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率。例4（Buffon投针问题）平面上画着一些平行线，它们之间的距离为a，向此平面内任投一长度为L（La）的针，求此针与某一 行线相交的概率。 则称 F为-代数（-域）2. -代数 设事件集合F 满足：则称 F 为布尔代数.3. 事件域 若F由样本空间的一些子集构成一个域，则称它为事

10、件域。 F中的元素称为事件。 1. 布尔代数二 、事件域设是集合， F是由 的一些子集组成的集合族,如果满足： （P.1）非负性：（P.2）规范性：（P.3）可列可加性： 若设 -样本空间 F事件域 P概率称三元总体（ ， F ， ）为概率空间。三、概率的公理化定义2） 概率是定义在事件域上非负 规范 可列可加的集合函数。四、 概率空间1） 定义在事件域F上的集合函数P称为概率，如果满足：五 概率的性质（1）（2）5 对任意两个事件A，B 有：推广：推论：6 概率的连续性定义： 对于 F上集合函数P，若对于F中的任一单调不减(增）的事件序列 均成立: 则称函数为下 （上）连续的.性质：若P是F

11、上的非负、规范的集函数，则P具有可列可加性的充要条件是 1)P是有限可加的；2）P在F上是下连续的.六、应用概率性质计算概率例1则A,B,C中至少发生一个的概率是多少？ A,B,C都不发生的概率是多少？例2 生日问题1）500个人中至少有一人的生日在7月1日的概率是多少？2）n个人中至少有两个人生日相同的概率是多少？10 15 20 23 50 55 0.12 0.25 0.41 0.51 0.97 0.99np在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，假设每个人带的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的礼物中随机地抽取一件，问1）至少有一个人抽到自己的礼物的概率是多少？2）恰好有r个人

12、拿到自己礼物的概率是多少？例5（配对问题）例3 从1-9这9个数字中有放回地抽取n个数字，求:这n个数字的乘积能被10整除的概率.例4 从一副扑克牌（52张）中任取10张，求下列事件的概率：习题课 概率定义及性质一 随机事件及运算1 随机试验 2 样本点 3 样本空间 4 随机事件5 基本事件 6 必然事件 7 不可能事件5） 概率的公理化定义 2 概率的性质 （加法公式）1） 古典概率 2） 几何概率 二 事件的概率及性质 1 定义3）统计概率概率空间 三 概率模型例题分析例1 同时掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3 的概率。解 （1）设 表示 出现的点数之和为i 错误解法解 2）掷

13、两枚骰子可能出现的点数为 （1，1）（1，2）（1，6）（2，1）（2，2）（2，6）（6，1）（6，6）所以 n=36 k=2由古典概型概率计算公式：例2 n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求甲、乙两人坐在一起的概率。甲、乙、丙坐在一起的概率。例3 任取一个正整数，求下列事件的概率1）该数的平方的末位数字是12）该数的四次方的末位数字是13）该数的立方最后两位数字都是1例4 袋中有编号为1，2，3，4的4个球，现从袋中不放回地取4次，每次取一个球，求没有一个球的号码数与抽取顺序相同的概率。例5 将长度为a 线段任意折成三段，试求此三段能构成三角形的概率。补充习题2 、一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗 骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的。你认为如 何？3、 一间宿舍内有6位同学，求他们之中至少有2人的生日 在同一月份的概率。