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1、第二章 轨迹与方程主要内容： 2.1、平面曲线的方程 2.2、曲面的方程2.3、空间曲线的方程2.1 2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程解析几何解析几何Chapter 2Chapter 2第一节 平面曲线的方程一、曲线与方程： 定义2.1.1：当平面上取定了坐标系之后，如果一个方 程与一条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；（2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 曲线的方程常表示为： F(x,y)=0 或 y=f(x)二、曲线的向量式方程例1、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。 解：向量式方程
2、|OM|=R普通方程x2+y2=R2例2、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件|MA|-|MB|=4的动点的轨迹。化为普通方程为xy=2 (x+y2)故曲线为yxoxy=2解：向量式方程 |MA|-|MB|=41、向量函数当动点按某种规律运动时，与它对应的向径也随着 时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的向径 称为变向量，记为r(t)。如果变数t(atb)的每一个值 对应于变向量r的一个完全的值（模与方向）r(t)，则称 r是变数t的向量函数，记为r=r(t) (atb). 2、向量函数的分量表示设平面上取定的标架为O;e1,e2,则向量函数可 表示为 r(t)=x(t)e
3、1+y(t)e2 (atb). （1）其中x(t),y(t)是r(t)的分量，它们分别是变数t的函数。3、向量式参数方程若取(atb)的一切可能值，由（1）r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb).4、坐标式参数方程 曲线 的参数方程常可以写成下列形式：称为曲线的坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t)的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意 点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t的某 一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1） 为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。表示的向径r(t)例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一
4、点 P的轨迹。 解： 取直角坐标系，设 半径为 a的圆在x轴上滚 动，开始时点 P 恰在原 点， 经过一段时间的滚 动， 圆与直线的切点移 到 A 点，圆心的位置移 到C点，这时有r=OP=OA+AC+CP设=(CP,CA),于是向量CP对x轴所成的有向角为POraaxC yA则又因为|OA|=AP=a，所以OA=ai, AC=aj从而点P的向量式参数方程为 r=a(-sin)i+a(1-cos) （+）其坐标式参数方程为这种曲线称为旋轮线或摆线。xOy例4 已知大圆的半径为 ，小圆的半径为 , 若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚 动，求动圆上某一定点P的轨迹的方程。,称为内旋轮 形线(或称
5、内摆线) 解：设运动开始时动点P与大 圆周上的点A重合，取大圆中 心O为原点，OA为x轴，过O 点垂直于OA的直线为y轴， 经过某一过程之后，小圆与 大圆的接触点为B，并设小圆 中心为C，那么C一定在半径 OB上，有由于 ，所以特殊地，当 应用公式曲线方程化为例例5 5：把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切 线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线渐伸线或或切展线切展线（ involuteinv
6、olute）三 曲线的参数方程解：设圆的半径为解：设圆的半径为R R，线头，线头P P的最初位置是圆周上的的最初位置是圆周上的 点点A A，以圆心为原点，以圆心为原点，OAOA 为为x x轴，经过某一过程以轴，经过某一过程以 后，切点移至后，切点移至B B，PBPB为切为切线，那么线，那么设 那么且向量且向量 对对x x轴所成的有向轴所成的有向 角为角为 而而所以所以三 曲线的参数方程例6 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。法一法二设y=tx+b,代入原方程得解得 在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取从而在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为注：第二种解法中，设y=tx+
7、b，实际上是在椭圆上取 一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆 的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表 达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需 补上点(0,-b)，或把它看成当t时的交点。第一种参数方程以角度第一种参数方程以角度 为参数：为参数：第二种参数方程以斜率第二种参数方程以斜率 为参数：为参数：例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a0) 为参数方程。解：设y=tx，代入可得参数方程注1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程 表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注 意两种形式的方程的
8、等价性，即考虑参数的取值范围。一、曲线的方程 二、曲线的参数方程 三、常见曲线的参数方程CONTENTSCONTENTS求曲线方程一般需要下面的求曲线方程一般需要下面的5 5个步骤：个步骤：1 1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步 可省）；可省）；2 2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点 ； 3 3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出）根据曲线上的点所满足的几何条件写出 等式；等式；4 4）用点的坐标）用点的坐标x,y,zx,y,z的关系来表示这个等式，并化简得的关系来表示这个等式，并化简得 方程；方程
9、；5 5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定义）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定义. . 作业作业P P77-78 77-78 2 , 3, 82 , 3, 82.2 曲面的方程曲面的方程一. 定义2.2.1: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如下 关系: (1) S上任一点的坐标满 足方程F (x, y, z) =0;(2) 满足方程F (x, y, z) =0 的(x,y,z) 在曲面S上那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S 叫做方程F (x, y, z) =0的图形.F (x, y, z) = 0Sxyzo例1
10、、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分 面的方程。 解：垂直平分面可以看成到两定点A和B等距离的动点 M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为 |AM|=|BM|用两点间的距离公式代入并化简可得：2x-6y+2z-7=0例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是 |y|=|x|即x+y=0 与 x-y=0(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 (1)称方程(1)为球面的标准方程.特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时,
11、球面方程: x2 + y2 + z2 = R2 例3、求球心为M0(x0, y0,z0), 半径为R的球面的方程. 解：对于球面上任一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即M0MR解根据题意有所求方程为解: 原方程可改写为(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 的球面.例5: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎样的曲面?例6 方程 的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底解二、曲面的参数方程1、双参数向量函数在两个变数u,v的变动区域内定义的函数r=r(u,v) 或 r(u,v
12、)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2)称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变 向量r(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数。当u,v取遍变动区域的一切 值时，径矢 OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v) 所画的轨迹一般为一张曲面。MozxyS2、曲面的向量式参数方程定义2.2.2：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2） 表示的向径r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在 这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的向径， 而这向径可由
13、u,v的值 (aub,cvd)通过（2）完全决 定，则称（2）式为曲面的向量式参数方程，其中u,v为 参数。因为向径r(u,v)的分量为x(u,v),y(u,v)z(u,v),所以曲面 的参数方程也常写成表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程。例6 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。MRxyzPQ解：设M(x,y,z)是球面上任一点， M在xOy 坐标面上的射影为P，而 P在x轴上的射影为Q，又设在坐标 面上的有向角(i,OP)=,Oz轴与 OM的交角zOM=，则r=OM=OQ+QP+PM 且 PM=(rcos)k所以 r=(rsincos )i +(rsinsin )j+ (rcos)k
14、 (4)此即为中心在原点，半径为r的球面的向量式参数方程。QP=(|OP|sin)j=(rsinsin )j OQ=(|OP|cos )i=(rsincos )i中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为（4），（5）中的，为参数，其取值范围分别是 0与-。例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。 解：如图,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i, QP(Rsin )j, PM=uk所以 r=(Rcos)i+ (Rsin )j +uk （6）此即为圆柱面的向量式参数方程。其坐标式参数方程为（6）（7）式中的，u为参数，其取值范围是 -，-u+ 一般按
15、下列三个步骤进行：一般按下列三个步骤进行：二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程三.球坐标系与柱坐标系就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为 球面半平面 锥面1.球坐标系2. 柱坐标系就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 CONTENTSCONTENTS一、曲面的方程一、曲面的方程二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程三、球坐标系与柱坐标系三、球坐标系与柱坐标系作业P8788 2（4） ， 3（3），4（3）2.3 2.3 空间曲线的方程空间曲线的方程解析几何解析几何Chapter Chapter 2 2ContentsContents 一、空间曲线的方程一、空间曲线的方程 二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程空间曲线的一般方程曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.因 此方程组（2.31）表示 一条空间曲线 的方程，空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程注：空间曲线可以用不同形式的方程组来表达注：空间曲线可以用不同形式的方程组来表达. .我们把它叫做空间曲线的一般方程.例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点的 圆的方程。解：例
