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1、2.3 离散维纳滤波器的z域解n本节要解决的主要问题及方法n白化滤波器n非因果IIR维纳滤波器的Z域解n因果IIR维纳滤波器的Z域解1、本节要解决的主要问题及方法n待解决的问题：当h(n)是物理可实现的因果序 列时，所得到的Wiener-Hopf方程 将存在k0的约 束，不能直接转到Z域求解。这使得在要求满足物 理可实现条件下，求解维纳-霍夫方程成为一个十 分困难的问题。 n解决方法：采用将观测序列x(n)白化的方法，求 解Wiener-Hopf方程的Z域解。n 若不考虑滤波器的因果性，维纳霍夫方程可以改写为 设定d(n)=s(n)，对上式两边做Z变换，得到 Sxs (z)=Hopt(z)Sx
2、x(z) x(n)=s(n)+v(n) 假设信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，则 Sxs (z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) n 对于因果IIR维纳滤波器，其维纳霍夫方程为 k=0, 1, 2, 因为存在k0的约束，使得上式不能直接转到Z域求解。如 有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。 如果滤波器的输入是白噪声，即x(n)= w(n)，w(n)是方差为的白噪声，由于则因果IIR维纳滤波器的维纳霍夫方程变为：k=0, 1, 2, k=0, 1, 2, 由此可见，只要将输入信号转化为白噪声，就可以解得因果 IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。为了充分理解这种方
3、法的思想 ，将首现采用信号白化的方法针对非因果IIR维纳滤波器的求单 位脉冲相响应。2、白化滤波器n任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成 是由一白色噪声w(n)激励某个物理网络所形成。x(n)的时间序列信号模型 一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为 白化滤波器。 x(n)的白化滤波器 如果B(z)是一个最小相移网络函数，那么1/B(z)显然也是一个 物理可实现的最小相移网络，因此可以利用上式白化x(n)。利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程 n 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程: 于是，在最小均方误误差准则则下，求最佳Hopt(z)的问题问题 就归结归结 为
4、为求最佳G(z)的问题问题 了。G(z)当然也需分因果性或非因果性的 约约束情况加以讨论讨论 。 如果已知信号的Pxx(z)，即可由下式求得B(z) 。 n 计算Hopt (z)： 3、 非因果IIR维纳滤波器的求解(2.3.9) 求满满足最小均方误误差条件下的g(k)：为求得相对于g(k)的最小均方误差值，令-k -k Z变换后 非因果IIR维纳滤波器的最佳解： s(n)=s(n)*(n)，x(n)=w(n)*b(n)rxs(m)=rws(m)*b(-m) Sxs (z)=Sws(z)B(z-1) 非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解的一般表达式 假定信号与噪声不相关，即当Es(n)v(n)
5、=0时可以得到： Sxs(z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) 信号和噪声不相关时，非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解和频率响应分别为 n由上式可知：当噪声为0时，Hopt=1，信号全部通过；当信号为0时， Hopt=0，噪声全部被抑制掉；当即有信号又有噪声时， Hopt1，大小随Pvv的增加而减小，从而达到降低噪声影响的目的。Pss(ej)0, Pvv(ej)=0 Pss(ej)0, Pvv(ej) 0 Pss(ej)=0, Pvv(ej) 0 图 2.3.6 非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性 n 计算最小均方误差E|e(n)|2min： 第一项根据围线积分法求
6、逆Z变换的公式, rss(m)用下式表示: 得出 第二项由帕塞伐尔定理：取y(n)=x(n), 有 因此 得到 假定信号与噪声不相关，Es(n)v(n)=0，又因为实信号 的自相关函数是偶函数，即rss(m)=rss(-m)，则Sxs(z)=Sss(z) ，Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)； Sss(z)=Sss(z-1) 4、 因果IIR维纳滤波器的求解n 若维纳滤波器是一个因果滤波器， 要求 g(n)=0 n0 则滤波器的输出信号 估计误差的均方值 E|e(n)|2=E|s(n)-y(n)|2 类似于（3.3.9）式的推导，得到 要使均方误差取得最小值， 当且仅当 令 因果维纳滤波
7、器的复频域最佳解为 维纳滤波的最小均方误差为 非因果情况时，滤波器的最小均方误差为 对于因果情况， 比较两式，可以看出非因果情况的E|e(n)|2min一定小于等于因果情况E|e(n)|2min。因果维纳滤波器设计的一般方法：(1) 根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应信号模型的传输函数，即采用谱分解的方法得到B(z)，Sxx(z)=2wB(z)B(z-1)。(2) 求的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即舍掉单位圆外的极点，得 (3) 积分曲线取单位圆，计算Hopt(z), E|e(n)|2min。 例 ： 已知 信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，噪声v(n)是零均值、单位功率的白噪
8、声（2v=1,mv=0)，求Hopt(z)和E|e(n)|2min。解 根据白噪声的特点得出Svv(z)=1, 由噪声和信号不相关， 得到rxx(m)=rss(m)+rvv(m)。考虑到B(z)必须是因果稳定的系统，得到 (1)、 首先分析物理可实现情况:因为 取其因果部分取单位圆为积分围线，上式等于单位圆内的极点 的留数之和，即 未经滤波器的均方误差 所以通过因果维纳滤波器后均方误差下降8/3(2.7)倍。 (2)、 对于非物理可实现情况有 令 单位圆内有两个极点0.8和0.5, 应用留数定理，有 结论：比较两种情况下的最小均方误差,可以看出非物理可实现情况的最小均方误差小于物理可实现情况的
9、均方误差。 维纳滤波部分的总结：n主要内容：FIR维纳滤波求解、非因果IIR维纳滤波求解 、因果IIR维纳滤波求解；n知识点：最小均方误差准则、正交性原理、维纳霍夫 方程、白化滤波器；n结论：在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均方误差值是 最小的，从这个意义上说它是最优的；与非最优滤波相比，最优滤波的优势在于能对滤波的 质量（逼近的好坏）做出评价；E|e(n)|2min与Sss(z)和Svv(z)重叠部分大小有关；最小均方误差比较：非因果IIR因果IIRFIR维纳滤波 的最小均方误差2.4 维 纳 预 测n本节讨论的主要问题及方法n预测的可能性n维纳预测的计算n纯预测n一步线性预测的时域解
10、1、本节讨论的主要问题及方法n讨论 的主要问题 ：本节将讨论维纳预测 器，以观测 到的全部过去数据来估计当前 或将来的值n解决方法：以均方误差最小为估计原则 图2.4.1(b) 维纳预测器图2.4.1(a) 维纳滤波器2、预测的可能性n信号可以预测是由于信号内部存在关联性。数据 间关联越密切，预测越准确；完全不关联，则无 法预测。输入：输出： x(n)在各不同时间点上的值的相关性是起因于 B(z)的惯性。 由观测到的x(n)的所有过去值和当前值来估计将 来值 时： 如果 ，则 仅由 B(z)的惯性决定， 如果 ，则 将由 B(z)的惯性和 共同决定；n随机信号预测的特点：以信号的统计特性作为预
11、测的主要依据；不可能作预测误差为零的绝对精确的预测 ；实际信号通常带有噪声干扰，使得预测和 滤波联系在一起，成为带滤波的预测。3、 维纳预测的计算 同理，要使预测误差的均方值为最小，须满足 其中，hk表示h(k)。 即 n 非因果维纳预测器的最佳解为 n 因果维纳预测器的最佳解为 维纳预测的最小均方误差为 维纳预测的求解和维纳滤波器的求解方法是一致的。 4、 纯预测n 假设x(n)=s(n)+v(n)，纯预测问题是在v(n)=0情况下对s(n+N), N0的预测，此时x(n)=s(n)。因果情况下，假设s(n)与v(n)不相关，纯预测情况下的输入信 号的功率谱及维纳预测器的最佳解分别为 纯预测
12、器的最小均方误差为 应用复卷积定理 取y(n)=x(n) 得到 可以看到，随着N增加，E|e(n+N)|2min也增加。这一点也容易理解，当预测的距离越远，预测的效果越差，偏差越大，因而E|e(n+N)|2min越大。 例： 已知 其中-1a1， 求:(1) 最小均方误差下的s(n+N)； (2) E|e(n+N)|2min。 解 （1）、求B(z)：首先对Sxx(z)进行功率谱分解。因为 所以 （2）、求H(z)：求出B(z)的Z反变换 对于因果维纳预测器有： 图 2.4.1 纯预测维纳滤波器 由Hopt(z)=aN，此时可以把纯预测的维纳滤波器看作是一个线性比例放大器（如图2.4.1所示）
13、。（3）、 求E|e(n+N)|2min结论：由上式可知，N越大，误差越大，如果N=0则没有误差。 5、 一步线性预测的时域解n 一步线性预测：采用p个最近的采样值来预测时 间序列下一时刻的值，包括前向预测和后向预测 两种。 前向预测：在噪声v(n)=0的情况下，已知x(n-1), x(n-2)， ,x(n-p), 预测当前时刻x(n)； 后向预测：在噪声v(n)=0的情况下，已知x(n)，x(n-1)， ，x(n-p+1)基础上，估计x(n-p)。 图 2.4.2 前后向预测数据之间的关系 （1）、前向预测n设定系统的单位脉冲响应为h(n)，其输出信号为令apk=-h(k)，则 n 前向预测
14、误差为 其中, ap0=1, 一步前向预测器结构图 n前向预测误差的均方值为： 或Ee (n)x* (n-l)=0 l=1, 2, , p 即 由于预测器的输出 是输入信号的线性组合，故预测误差与预测的信号值同样满足正交性原理：n 前向预测误差的最小均方值为： 将方程组写成矩阵形式 （Yule-Walker方程） 维纳霍夫方程 Yule-Walker方程（2）、后向预测n假设前、后向预测器具有相同的系数，即 n 后向预测误差为 n后向预测误差的均方值为： 或Eb (n)x* (n-p+l)=0 l=1, 2, , p 即 由于预测器的输出 是输入信号的线性组合，故预测误差与预测的信号值同样满足正交性原理：n 后向预测误差的最小均方值为： 同理，可以得到下面方程组： 将方程组写成Yule-Walker方程形式 Yule-Walker方程具有以下特点： (1) 除了第一个方程外，其余都是齐次方程;(2) 与维纳-霍夫方程相比，不需要知道rxs(m)。(3) 由方程组的p+1个方程，可以确定apk,k=1, 2, , p和Ee2(n)min，共计p+1个未知数。当p值较大时,可以用levenson-dubin算法,用递推的方法来求.
