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1、2.3 离散维纳滤波器的z域解n本节要解决的主要问题及方法n白化滤波器n非因果IIR维纳滤波器的Z域解n因果IIR维纳滤波器的Z域解1、本节要解决的主要问题及方法n待解决的问题:当h(n)是物理可实现的因果序 列时,所得到的Wiener-Hopf方程 将存在k0的约 束,不能直接转到Z域求解。这使得在要求满足物 理可实现条件下,求解维纳-霍夫方程成为一个十 分困难的问题。 n解决方法:采用将观测序列x(n)白化的方法,求 解Wiener-Hopf方程的Z域解。n 若不考虑滤波器的因果性,维纳霍夫方程可以改写为 设定d(n)=s(n),对上式两边做Z变换,得到 Sxs (z)=Hopt(z)Sx
2、x(z) x(n)=s(n)+v(n) 假设信号和噪声不相关,即rsv(m)=0,则 Sxs (z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) n 对于因果IIR维纳滤波器,其维纳霍夫方程为 k=0, 1, 2, 因为存在k0的约束,使得上式不能直接转到Z域求解。如 有可能将其转化为非因果问题,则求解会大大简化。 如果滤波器的输入是白噪声,即x(n)= w(n),w(n)是方差为的白噪声,由于则因果IIR维纳滤波器的维纳霍夫方程变为:k=0, 1, 2, k=0, 1, 2, 由此可见,只要将输入信号转化为白噪声,就可以解得因果 IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。为了充分理解这种方
3、法的思想 ,将首现采用信号白化的方法针对非因果IIR维纳滤波器的求单 位脉冲相响应。2、白化滤波器n任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成 是由一白色噪声w(n)激励某个物理网络所形成。x(n)的时间序列信号模型 一般把信号转化为白噪声的过程称为白化,对应的滤波器称为 白化滤波器。 x(n)的白化滤波器 如果B(z)是一个最小相移网络函数,那么1/B(z)显然也是一个 物理可实现的最小相移网络,因此可以利用上式白化x(n)。利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程 n 利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程: 于是,在最小均方误误差准则则下,求最佳Hopt(z)的问题问题 就归结归结 为
4、为求最佳G(z)的问题问题 了。G(z)当然也需分因果性或非因果性的 约约束情况加以讨论讨论 。 如果已知信号的Pxx(z),即可由下式求得B(z) 。 n 计算Hopt (z): 3、 非因果IIR维纳滤波器的求解(2.3.9) 求满满足最小均方误误差条件下的g(k):为求得相对于g(k)的最小均方误差值,令-k -k Z变换后 非因果IIR维纳滤波器的最佳解: s(n)=s(n)*(n),x(n)=w(n)*b(n)rxs(m)=rws(m)*b(-m) Sxs (z)=Sws(z)B(z-1) 非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解的一般表达式 假定信号与噪声不相关,即当Es(n)v(n)
5、=0时可以得到: Sxs(z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) 信号和噪声不相关时,非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解和频率响应分别为 n由上式可知:当噪声为0时,Hopt=1,信号全部通过;当信号为0时, Hopt=0,噪声全部被抑制掉;当即有信号又有噪声时, Hopt1,大小随Pvv的增加而减小,从而达到降低噪声影响的目的。Pss(ej)0, Pvv(ej)=0 Pss(ej)0, Pvv(ej) 0 Pss(ej)=0, Pvv(ej) 0 图 2.3.6 非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性 n 计算最小均方误差E|e(n)|2min: 第一项根据围线积分法求
6、逆Z变换的公式, rss(m)用下式表示: 得出 第二项由帕塞伐尔定理:取y(n)=x(n), 有 因此 得到 假定信号与噪声不相关,Es(n)v(n)=0,又因为实信号 的自相关函数是偶函数,即rss(m)=rss(-m),则Sxs(z)=Sss(z) ,Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z); Sss(z)=Sss(z-1) 4、 因果IIR维纳滤波器的求解n 若维纳滤波器是一个因果滤波器, 要求 g(n)=0 n0 则滤波器的输出信号 估计误差的均方值 E|e(n)|2=E|s(n)-y(n)|2 类似于(3.3.9)式的推导,得到 要使均方误差取得最小值, 当且仅当 令 因果维纳滤波
7、器的复频域最佳解为 维纳滤波的最小均方误差为 非因果情况时,滤波器的最小均方误差为 对于因果情况, 比较两式,可以看出非因果情况的E|e(n)|2min一定小于等于因果情况E|e(n)|2min。因果维纳滤波器设计的一般方法:(1) 根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应信号模型的传输函数,即采用谱分解的方法得到B(z),Sxx(z)=2wB(z)B(z-1)。(2) 求的Z反变换,取其因果部分再做Z变换,即舍掉单位圆外的极点,得 (3) 积分曲线取单位圆,计算Hopt(z), E|e(n)|2min。 例 : 已知 信号和噪声不相关,即rsv(m)=0,噪声v(n)是零均值、单位功率的白噪
8、声(2v=1,mv=0),求Hopt(z)和E|e(n)|2min。解 根据白噪声的特点得出Svv(z)=1, 由噪声和信号不相关, 得到rxx(m)=rss(m)+rvv(m)。考虑到B(z)必须是因果稳定的系统,得到 (1)、 首先分析物理可实现情况:因为 取其因果部分取单位圆为积分围线,上式等于单位圆内的极点 的留数之和,即 未经滤波器的均方误差 所以通过因果维纳滤波器后均方误差下降8/3(2.7)倍。 (2)、 对于非物理可实现情况有 令 单位圆内有两个极点0.8和0.5, 应用留数定理,有 结论:比较两种情况下的最小均方误差,可以看出非物理可实现情况的最小均方误差小于物理可实现情况的
9、均方误差。 维纳滤波部分的总结:n主要内容:FIR维纳滤波求解、非因果IIR维纳滤波求解 、因果IIR维纳滤波求解;n知识点:最小均方误差准则、正交性原理、维纳霍夫 方程、白化滤波器;n结论:在所有N阶FIR滤波器中,最优滤波器的均方误差值是 最小的,从这个意义上说它是最优的;与非最优滤波相比,最优滤波的优势在于能对滤波的 质量(逼近的好坏)做出评价;E|e(n)|2min与Sss(z)和Svv(z)重叠部分大小有关;最小均方误差比较:非因果IIR因果IIRFIR维纳滤波 的最小均方误差2.4 维 纳 预 测n本节讨论的主要问题及方法n预测的可能性n维纳预测的计算n纯预测n一步线性预测的时域解
10、1、本节讨论的主要问题及方法n讨论 的主要问题 :本节将讨论维纳预测 器,以观测 到的全部过去数据来估计当前 或将来的值n解决方法:以均方误差最小为估计原则 图2.4.1(b) 维纳预测器图2.4.1(a) 维纳滤波器2、预测的可能性n信号可以预测是由于信号内部存在关联性。数据 间关联越密切,预测越准确;完全不关联,则无 法预测。输入:输出: x(n)在各不同时间点上的值的相关性是起因于 B(z)的惯性。 由观测到的x(n)的所有过去值和当前值来估计将 来值 时: 如果 ,则 仅由 B(z)的惯性决定, 如果 ,则 将由 B(z)的惯性和 共同决定;n随机信号预测的特点:以信号的统计特性作为预
11、测的主要依据;不可能作预测误差为零的绝对精确的预测 ;实际信号通常带有噪声干扰,使得预测和 滤波联系在一起,成为带滤波的预测。3、 维纳预测的计算 同理,要使预测误差的均方值为最小,须满足 其中,hk表示h(k)。 即 n 非因果维纳预测器的最佳解为 n 因果维纳预测器的最佳解为 维纳预测的最小均方误差为 维纳预测的求解和维纳滤波器的求解方法是一致的。 4、 纯预测n 假设x(n)=s(n)+v(n),纯预测问题是在v(n)=0情况下对s(n+N), N0的预测,此时x(n)=s(n)。因果情况下,假设s(n)与v(n)不相关,纯预测情况下的输入信 号的功率谱及维纳预测器的最佳解分别为 纯预测
12、器的最小均方误差为 应用复卷积定理 取y(n)=x(n) 得到 可以看到,随着N增加,E|e(n+N)|2min也增加。这一点也容易理解,当预测的距离越远,预测的效果越差,偏差越大,因而E|e(n+N)|2min越大。 例: 已知 其中-1a1, 求:(1) 最小均方误差下的s(n+N); (2) E|e(n+N)|2min。 解 (1)、求B(z):首先对Sxx(z)进行功率谱分解。因为 所以 (2)、求H(z):求出B(z)的Z反变换 对于因果维纳预测器有: 图 2.4.1 纯预测维纳滤波器 由Hopt(z)=aN,此时可以把纯预测的维纳滤波器看作是一个线性比例放大器(如图2.4.1所示)
13、。(3)、 求E|e(n+N)|2min结论:由上式可知,N越大,误差越大,如果N=0则没有误差。 5、 一步线性预测的时域解n 一步线性预测:采用p个最近的采样值来预测时 间序列下一时刻的值,包括前向预测和后向预测 两种。 前向预测:在噪声v(n)=0的情况下,已知x(n-1), x(n-2), ,x(n-p), 预测当前时刻x(n); 后向预测:在噪声v(n)=0的情况下,已知x(n),x(n-1), ,x(n-p+1)基础上,估计x(n-p)。 图 2.4.2 前后向预测数据之间的关系 (1)、前向预测n设定系统的单位脉冲响应为h(n),其输出信号为令apk=-h(k),则 n 前向预测
14、误差为 其中, ap0=1, 一步前向预测器结构图 n前向预测误差的均方值为: 或Ee (n)x* (n-l)=0 l=1, 2, , p 即 由于预测器的输出 是输入信号的线性组合,故预测误差与预测的信号值同样满足正交性原理:n 前向预测误差的最小均方值为: 将方程组写成矩阵形式 (Yule-Walker方程) 维纳霍夫方程 Yule-Walker方程(2)、后向预测n假设前、后向预测器具有相同的系数,即 n 后向预测误差为 n后向预测误差的均方值为: 或Eb (n)x* (n-p+l)=0 l=1, 2, , p 即 由于预测器的输出 是输入信号的线性组合,故预测误差与预测的信号值同样满足正交性原理:n 后向预测误差的最小均方值为: 同理,可以得到下面方程组: 将方程组写成Yule-Walker方程形式 Yule-Walker方程具有以下特点: (1) 除了第一个方程外,其余都是齐次方程;(2) 与维纳-霍夫方程相比,不需要知道rxs(m)。(3) 由方程组的p+1个方程,可以确定apk,k=1, 2, , p和Ee2(n)min,共计p+1个未知数。当p值较大时,可以用levenson-dubin算法,用递推的方法来求.