《福建省2018年秋高中数学联赛（福建省赛区）预赛试题 word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省2018年秋高中数学联赛（福建省赛区）预赛试题 word版含答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20182018 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛暨暨 20182018 年福建省高中数学竞赛试卷年福建省高中数学竞赛试卷（考试时间：2018 年 5 月 20 日上午 9：0011:30，满分 160 分）一、填空题（共一、填空题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 6060 分分. .请直接将答案写在题中的横线上）请直接将答案写在题中的横线上）1.将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组：2,4,6 ，n32n，则位于第 组. 2 , 4,6,8,10 , 12,14,16,18,20,22,2420182.在中，内角所
2、对的边分别是，若，则 .ABC, ,A B C, ,a b c2,3,2abCAcosC 3.设复数满足 ，则 的最大值为 .（ 为虚数单位，为复z2zizziz数的共轭复数）z4.已知定义在上的奇函数的图像关于直线对称，当时，R f x2x 02x，则 . 1f xx100101ff5.从如图所示的由 9 个单位小方格组成的方格表的 16 个顶点中任取三个顶点，则这三3 3个点构成直角三角形的概率为 .6.如图，在三棱锥中，都是边长为的等边三角形，若二面角PABC,PACABC6的大小为，则三棱锥外接球的面积为 .PACB0120PABC7.已知分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，分别为
3、12,F F22 :1412xyCPC,G I的重心、内心，若轴，则的外接圆半径 .12FPF/ /GIx12FPFR 8.最近网络上有一篇文章很火.源于一道常见题目：（见图） ，这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理.（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下）设，则的最大值为 . ,2,3,4,5,6,7,8a b1010ab baab9.已知整数系数多项式，若， 5432 12345f xxa xa xa xa xa320f则 . 130ff 1f 10.已知函数满足：对任意实数，都有成立，且 f x, x y 6f xyf xfyxy，则 . 119ff2 3f二、解答题（共二、解
4、答题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 2020 分，满分分，满分 100100 分分. .要求写出解题过程）要求写出解题过程）11.已知数列的前项和满足，且. nannS2,*nnSnan nN23a （1）求数列的通项公式； na（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正111n nnnnbaaaanT nbn9 20nT 整数的值.n12.已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆12,F F2222:10xyCabab2 6,13P 上，且的垂心为.C12FPF2 65,33P（1）求椭圆的方程；C（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线 交椭圆于两点，记直线的斜AC2FlC,D E,AD A
5、E率分别为，若，求直线 的方程.12,k k121 2kk l13.如图，在锐角中，是边上的点，的外心分别为ABC,D EBC,ABCABDADC., ,O P Q证明：（1）；APQABC（2）若，则.EOPQQOPE14.已知. xf xemx（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；0x 2220xf xmxm（2）若是函数的两个零点，求证：.12,x x f x122xx15.设是由有限个正整数构成的集合，且，M12201220MAAABBB这里，并对任意的，都有，,1,2,20iiABi120ij ijAA.ijBB已知对任意的，若，则，求集合的元素个120,120ij ijAB1
6、8ijAB M数的最小值.（这里，表示集合的元素个数）XX试卷答案试卷答案一、填空题：一、填空题：1 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 271 4629 3584589 287244 3二、解答题：二、解答题：11. 解：（1）由，得2nnSnan11211nnSnan将上述两式相减，得；11211nnnanana 111nnnana 1211nnnana ，得 122+0nnnnanana212nnnaaa数列为等差数列； na又由，及，得，的公差；1121Sa23a 11a na2d 12121nann 解法二：用数学归纳法（略）注：若猜出，没有证明，扣 5 分121
7、21nann （2）由（1）知，1 21212121nbnnnn 1 2121212112121212112121111 2221212121nbnnnnnnnnnn nnnn 1111111 213352121111221nTnnn由，得9 20nT119122021n，11 1021n21100n 99 2n使得成立的最小正整数的值为9 20nT n5012.解：设由的垂心为，得12,0 ,0FcFc12FPF2 65,3312FHPF，解得 1225 124531,932 62 6 33F HPFkkc cc 21c 由点在椭圆上，得结合，解2 6,13P C2224119ab2221a
8、bc得224,3ab椭圆的方程为C22 143xy（2）由（1） ，知22,0 ,1,0AF若 斜率不存在，则由对称性，不符合要求l120kk若 斜率存在，设为，则 的方程为lkl1yk x由，得221143yk xxy22224384120kxk xk 设，则1122,D x yE xy221212228412,4343kkxxxxkk1212 12 121212113311222222k xk xyykkkxxxxxx 2 12 2 12342112222xxkkkxxkk 又，因此，直线 的方程为：，即121 2kk 2k l21yx220xy13.解：（1）连结,PD QD分别为的外心
9、，,P QABDADC，为线段的垂直平分线PQAD，1=2APQAPDABDABC 1=2AQPAQDACDACB APQABC（2）连结，延长与相交于点，由分别为,OA OB OP PB QCOQACF, ,O P Q的外心，知分别是线段的垂直平分线,ABCABDADC,OP OQ PQ,AB AC AD22APBAPDPBDABDBADADCAQC 又，11,22OBPOAPAQFAQCAPBAQC 四点共圆，, ,A P O QOAPOQP 又，EOPQDAPQ/ /EODA1 2OECADCAPBBPO 四点共圆，, ,P B E OOEPOBP 设的延长线分别与相交于，则,EO QO
10、,PQ PE,M NOEPOBPOAPOQP 四点共圆，,M N E Q又QOPQ090QNEQME QOPE14.解：（1）设，则 222g xxf xmx 222xg xxemx时，不等式恒成立时，恒成立0x 2220xf xmx0x 0g x ， 2212xxxgxexemxem 1xxxgxexexe时，在区间上为增函数0x 0xgxxe 12xgxxem0,另由，知 2420gm1 2m 若，则11 22m 2012 ,220gm gem 此时，在区间内有唯一零点，设为，则时， gx0,20x00xx 0gx在区间上为减函数，因此，不符合要求 g x00,x 000g xg11 22
11、m若，则时，此时，在上为增1 2m 0x 0120gxgm g x0,函数时，因此，符合要求0x 00g xg1 2m 由、，得的取值范围为m1,2（2）是函数的两个零点，12,x x xf xemx，1212 1212,xxxxemx emx m xxee12 12xxm xxee不妨设，易知，联立上述两式，消，得12xx0m m121212121212 1211xxxxxxxxxxeexxexxeee又由（1）知，对，当时，恒成立1 2m 0x 2220xg xxemx当时，恒成立0x 220xxex当时，0x 1222220111xxxxxxxx exexxexeeee，；121212
12、1212201xxxxxxexxe122xx当时，同理可得：，12xx122xx122xx15. 解：记12201220min,AAABBBt不妨设；1,1,2,iiAt ABik,1,2,20ijABjkk设，1iiaAB1,2,ik对任意的，都有，120ij ijBB互不相同，即12,ka aa1Aktk对任意的，若，则，120,120ij ijAB18ijAB 当时，=1,2,20j kk1118jjABAB即当时，=1,2,20j kk18jBt122011120 2018360218201802109kkMBBBBBBBBktktktktkt若，则，9t 9kt 1802109180Mkt若，则10t 20200Mt总有180M 另一方面，取，911,912,919 ,1,2,20iiABiiii则符合要求122012201,2,180M
