《福建省2018年秋高中数学联赛(福建省赛区)预赛试题 word版含答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《福建省2018年秋高中数学联赛(福建省赛区)预赛试题 word版含答案(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、20182018 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛暨暨 20182018 年福建省高中数学竞赛试卷年福建省高中数学竞赛试卷(考试时间:2018 年 5 月 20 日上午 9:0011:30,满分 160 分)一、填空题(共一、填空题(共 1010 小题,每小题小题,每小题 6 6 分,满分分,满分 6060 分分. .请直接将答案写在题中的横线上)请直接将答案写在题中的横线上)1.将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组:2,4,6 ,n32n,则位于第 组. 2 , 4,6,8,10 , 12,14,16,18,20,22,2420182.在中,内角所
2、对的边分别是,若,则 .ABC, ,A B C, ,a b c2,3,2abCAcosC 3.设复数满足 ,则 的最大值为 .( 为虚数单位,为复z2zizziz数的共轭复数)z4.已知定义在上的奇函数的图像关于直线对称,当时,R f x2x 02x,则 . 1f xx100101ff5.从如图所示的由 9 个单位小方格组成的方格表的 16 个顶点中任取三个顶点,则这三3 3个点构成直角三角形的概率为 .6.如图,在三棱锥中,都是边长为的等边三角形,若二面角PABC,PACABC6的大小为,则三棱锥外接球的面积为 .PACB0120PABC7.已知分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,分别为
3、12,F F22 :1412xyCPC,G I的重心、内心,若轴,则的外接圆半径 .12FPF/ /GIx12FPFR 8.最近网络上有一篇文章很火.源于一道常见题目:(见图) ,这貌似易解的题目,里面竟然蕴藏了深奥的大道理.(本题不作为本次考试的试题,本次试题如下)设,则的最大值为 . ,2,3,4,5,6,7,8a b1010ab baab9.已知整数系数多项式,若, 5432 12345f xxa xa xa xa xa320f则 . 130ff 1f 10.已知函数满足:对任意实数,都有成立,且 f x, x y 6f xyf xfyxy,则 . 119ff2 3f二、解答题(共二、解
4、答题(共 5 5 小题,每小题小题,每小题 2020 分,满分分,满分 100100 分分. .要求写出解题过程)要求写出解题过程)11.已知数列的前项和满足,且. nannS2,*nnSnan nN23a (1)求数列的通项公式; na(2)设,为数列的前项和,求使成立的最小正111n nnnnbaaaanT nbn9 20nT 整数的值.n12.已知分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆12,F F2222:10xyCabab2 6,13P 上,且的垂心为.C12FPF2 65,33P(1)求椭圆的方程;C(2)设为椭圆的左顶点,过点的直线 交椭圆于两点,记直线的斜AC2FlC,D E,AD A
5、E率分别为,若,求直线 的方程.12,k k121 2kk l13.如图,在锐角中,是边上的点,的外心分别为ABC,D EBC,ABCABDADC., ,O P Q证明:(1);APQABC(2)若,则.EOPQQOPE14.已知. xf xemx(1)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围;0x 2220xf xmxm(2)若是函数的两个零点,求证:.12,x x f x122xx15.设是由有限个正整数构成的集合,且,M12201220MAAABBB这里,并对任意的,都有,,1,2,20iiABi120ij ijAA.ijBB已知对任意的,若,则,求集合的元素个120,120ij ijAB1
6、8ijAB M数的最小值.(这里,表示集合的元素个数)XX试卷答案试卷答案一、填空题:一、填空题:1 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 271 4629 3584589 287244 3二、解答题:二、解答题:11. 解:(1)由,得2nnSnan11211nnSnan将上述两式相减,得;11211nnnanana 111nnnana 1211nnnana ,得 122+0nnnnanana212nnnaaa数列为等差数列; na又由,及,得,的公差;1121Sa23a 11a na2d 12121nann 解法二:用数学归纳法(略)注:若猜出,没有证明,扣 5 分121
7、21nann (2)由(1)知,1 21212121nbnnnn 1 2121212112121212112121111 2221212121nbnnnnnnnnnn nnnn 1111111 213352121111221nTnnn由,得9 20nT119122021n,11 1021n21100n 99 2n使得成立的最小正整数的值为9 20nT n5012.解:设由的垂心为,得12,0 ,0FcFc12FPF2 65,3312FHPF,解得 1225 124531,932 62 6 33F HPFkkc cc 21c 由点在椭圆上,得结合,解2 6,13P C2224119ab2221a
8、bc得224,3ab椭圆的方程为C22 143xy(2)由(1) ,知22,0 ,1,0AF若 斜率不存在,则由对称性,不符合要求l120kk若 斜率存在,设为,则 的方程为lkl1yk x由,得221143yk xxy22224384120kxk xk 设,则1122,D x yE xy221212228412,4343kkxxxxkk1212 12 121212113311222222k xk xyykkkxxxxxx 2 12 2 12342112222xxkkkxxkk 又,因此,直线 的方程为:,即121 2kk 2k l21yx220xy13.解:(1)连结,PD QD分别为的外心
9、,,P QABDADC,为线段的垂直平分线PQAD,1=2APQAPDABDABC 1=2AQPAQDACDACB APQABC(2)连结,延长与相交于点,由分别为,OA OB OP PB QCOQACF, ,O P Q的外心,知分别是线段的垂直平分线,ABCABDADC,OP OQ PQ,AB AC AD22APBAPDPBDABDBADADCAQC 又,11,22OBPOAPAQFAQCAPBAQC 四点共圆,, ,A P O QOAPOQP 又,EOPQDAPQ/ /EODA1 2OECADCAPBBPO 四点共圆,, ,P B E OOEPOBP 设的延长线分别与相交于,则,EO QO
10、,PQ PE,M NOEPOBPOAPOQP 四点共圆,,M N E Q又QOPQ090QNEQME QOPE14.解:(1)设,则 222g xxf xmx 222xg xxemx时,不等式恒成立时,恒成立0x 2220xf xmx0x 0g x , 2212xxxgxexemxem 1xxxgxexexe时,在区间上为增函数0x 0xgxxe 12xgxxem0,另由,知 2420gm1 2m 若,则11 22m 2012 ,220gm gem 此时,在区间内有唯一零点,设为,则时, gx0,20x00xx 0gx在区间上为减函数,因此,不符合要求 g x00,x 000g xg11 22
11、m若,则时,此时,在上为增1 2m 0x 0120gxgm g x0,函数时,因此,符合要求0x 00g xg1 2m 由、,得的取值范围为m1,2(2)是函数的两个零点,12,x x xf xemx,1212 1212,xxxxemx emx m xxee12 12xxm xxee不妨设,易知,联立上述两式,消,得12xx0m m121212121212 1211xxxxxxxxxxeexxexxeee又由(1)知,对,当时,恒成立1 2m 0x 2220xg xxemx当时,恒成立0x 220xxex当时,0x 1222220111xxxxxxxx exexxexeeee,;121212
12、1212201xxxxxxexxe122xx当时,同理可得:,12xx122xx122xx15. 解:记12201220min,AAABBBt不妨设;1,1,2,iiAt ABik,1,2,20ijABjkk设,1iiaAB1,2,ik对任意的,都有,120ij ijBB互不相同,即12,ka aa1Aktk对任意的,若,则,120,120ij ijAB18ijAB 当时,=1,2,20j kk1118jjABAB即当时,=1,2,20j kk18jBt122011120 2018360218201802109kkMBBBBBBBBktktktktkt若,则,9t 9kt 1802109180Mkt若,则10t 20200Mt总有180M 另一方面,取,911,912,919 ,1,2,20iiABiiii则符合要求122012201,2,180M