《江苏省2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题04 函数极值点与极值问题学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题04 函数极值点与极值问题学案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1专题专题 0404 函数极值点与极值问题函数极值点与极值问题1 1、函数极值及极值点的定义函数极值及极值点的定义一般的，函数)(xf在点0xx 处及附近有定义，若果对于0xx 附近所有点都满足)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的极大值，0xx 叫做函数)(xf的极大值点；若果对于0xx 附近所有点都满足)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的极小值，0xx 叫做函数)(xf的极小值点；2 2、函数极值及极值点的求解函数极值及极值点的求解求求函数)(xf的导函数)( xf，令0)( xf解得0xx ，判断导函数)( xf在0xx 处两侧的符号，若是异号，则0xx 是函数)(
2、xf的极值点，)(0xf也就是函数)(xf的极值。若)( xf在0xx 两侧的符号满足先正后负，则0xx 是函数)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；若)( xf在0xx 两侧的符号满足先负后正，则0xx 是函数)(xf的极小值点，)(0xf是极小值；总结：总结：通过极值点的定义我们可以知道其实极值点也是零点的一种，它只不过是导函数的零点。但极值点与导函数的零点又有区别，导函数0)( xf解得的0x是)( xf零点，但不一定是极值点，因为极值点还要满足第二个条件即0xx 处)( xf两侧的符号要改变。例如3)(xxf，0)( xf解得0x，但是0x左右两侧0)( xf，符号不改变，故0x不是
3、极值点，积3)(xxf是单调增的。因此，我们在求解与极值点有关的试题时，可以先将极值点简单的看成导函数等于零的点，但是求出的导函数的零点要检验是不是极值点还要看导函数的符号有没有改变，有两种情况下导函数的零点不是极值点，一是函数区间的端点，因为区间的左端点只有右侧没有左侧，区间的右端点没有右侧只有左侧，就不可能满足左右两侧导函数的符号改变，二是满足导函数等于零的点，但是该点左右两侧导函数符号相同，比如刚刚举例的3)(xxf，我们把这样的点称为重根。即极值点可以看成导函数等于零的点，但这个点不能是端点，不即极值点可以看成导函数等于零的点，但这个点不能是端点，不能是重根，端点很容易看得出来，重根只
4、能通过验证该点左右两侧导函数的符号去说明。能是重根，端点很容易看得出来，重根只能通过验证该点左右两侧导函数的符号去说明。 3 3、例题讲解例题讲解例例 1 1、 （20162016 淮安高三一模淮安高三一模 2020）已知函数321( )e2(4)243xf xxxaxa，其中Ra，e为自然2对数的底数（3）讨论函数)(xf极值点的个数解：解：由题意，可得)31()( 23aaxxxexfx,所以)(xf只有一个极值点或有三个极值点 令aaxxxxg23 31)(，（为什么)(xf只有一个极值点或有三个极值点？。令0)( xf的解有可能是一个、两个、三个，一个零点说明)(xg是单调增的，三个零
5、点说明)(xg是先增后减，)(xg的极大值大于零，极小值小于零，三个零点都是)(xf的极值点。两个零点说明)(xg是先增后减，若极大值大于零，则极小值就要等于零，那么)(xg极小值点也是)( xf的零点，但它不是)(xf的极值点，因为左右两侧)( xf都是大于零。若极大值等于零，则极小值就要小于零，那么)(xg极大值点也是)( xf的零点，但它不是)(xf的极值点，因为左右两侧)( xf都是小于零。不管是哪一种情况，)(xg的极大值极小值之积大于等于零）同理，axaaaxxxxg222 23 22) 1(32 31)(， 所以0) 1() 1(94)()(2121axaaxaxgxg，化简得0
6、)(1() 1(2 21212axxaaxxa，所以0) 1(2) 1(22aaaaa，即0a，所以10 a3所以，当0a时，)(xf有且仅有一个极值点； 若)(xf有三个极值点，所以函数)(xg的图象必穿过x轴且穿过三次，即上述中的0)()(21xgxg，同理可得0a；综上所述，当0a时，)(xf有且仅有一个极值点，当0a时，)(xf有三个极值点 例例 2 2、 （20162016 苏锡常镇一模苏锡常镇一模 1919）设函数2( )(2ln )xf xx ek xx（k为实常数， 71828. 2e是自然对数的底数）.（2）若函数)(xf在区间)4 , 0(内存在三个极值点，求k的取值范围.
7、设2xekx 在)4 , 0(内的两个交点横坐标分别为21xx、，则有42021xxx1, 0 x1x2 ,1x22, 2 x2x4 ,2x42x022exkx02e 4k04e 16k fx000 xf递减极小值递增极大值递减极小值递增当), 0(1xx时，0)( xf，则)(xf单调递减4当)2 ,(1xx时，0)( xf，则)(xf单调递增当), 2(2xx时，0)( xf，则)(xf单调递减当)4 ,(2xx时，0)( xf，则)(xf单调递增)(xf在区间)4 , 0(内存在三个极值点，21xx、为极小值，2为极大值即函数)(xf在区间)4 , 0(内存在三个极值点的k的取值范围为)
8、16,4(42ee注：注：若将此题改为讨论)(xf在区间)4 , 0(内极值点的个数，答案是什么？当42ea 时，)(xf在区间)4 , 0(内有一个极值点； 当16442eae时，)(xf在区间)4 , 0(内有三个极值点；当164ea 时，)(xf在区间)4 , 0(内有两个极值点；若将区间右端点改为闭区间4 , 0(，答案不变（因为端点不可能是极值点）例例 3 3、 （扬州市（扬州市 20172017 届高三上学期期中）届高三上学期期中）已知函数xxaexfx )(。（2）是否存在负整数a，使函数)(xf的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（3）设a0，求
9、证：函数)(xf既有极大值，又有极小值。解：解：（2）若0a，22) 1()( xxxaexfx当)0 ,(x时，0)( xf恒成立，函数在)0 ,(上无极值；当) 1 , 0(x时，0)( xf恒成立，函数在) 1 , 0(上无极值； 5方法（一）在), 1 ( x上，若)(xf在0xx 处取得符合条件的极大值)(0xf，则 0)( 0)(1000xfxfx，即0000 02 00 2 01102(1)03xxxaexxaexx x （）（）（），由（3）得：102 00 xxaex，代入（2）得：010 00xxx结合（1）可解得：20x，再由0)(0 000 xxaexfx 得 02 0
10、 xexa，设xexxh2 )(，则xexxxh)2()( ，当2x时，0)( xh，即)(xh是增函数，所以24)2(eha，又0a，故当极大值为正数时，)0 ,4(2ea，从而不存在负整数a满足条件 （3）设2) 1()(xxaexgx，则)2()( xaexxg，因为0a，所以，当), 0( x时，0)( xg，)(xg单调递增；当)0 ,(x时，0)( xg，)(xg单调递减；故)(xg至多两个零点又0)0(ag，01) 1 (g，所以存在) 1 , 0(1x，使0)(1xg6又)(xg在), 0( x上单调递增，所以当), 0(1xx时，0)(xg，故0)()( 2xxgxf，)(x
11、f单调递减；当),(1 xx时，0)(xg，故0)()( 2xxgxf，)(xf单调递增；所以函数)(xf在1xx 处取得极小值 当)0 ,(x时，1xe，且01x，所aaxxxxaxxaexgx222) 1() 1()(，函数aaxxy2是关于x的二次函数，必存在负实数t，使0)(tg，又0)0(ag，故在)0 ,(t上存在2x，使0)(2xg，又)(xg在)0 ,(x上单调递减，当),(2xx时，0)(xg，故0)()( 2xxgxf，)(xf单调递增；当)0 ,(2xx时，0)(xg，故0)()( 2xxgxf，)(xf单调递减；所以函数)(xf在2xx 处取得极大值 综上，函数( )f
12、 x既有极大值，又有极小值 例例 4 4、 （20172017 扬州高三模拟扬州高三模拟 1919）已知函数)23(ln)(2xxaxxf，其中a为参数.（2）讨论函数)(xf极值点的个数，并说明理由；解解: :)(xf定义域为), 0( ，xaxaxxf132)( 2，令132)(2axaxxg当0a时，1)(xg，故0)( xf，)(xf在21430xx是单调增函数，)(xf无极值点；当0a时，aa892若980 a时0，0)(xg，故0)( xf，)(xf在), 0( 是单调增函数，)(xf无极值点；若98a时，0)(xg有两个不相等的实根21xx、，设21xx ，且4321 xx，又0
13、1)0(g，故21430xx7当), 0(1xx时，0)(xg，0)( xf，)(xf单调递增当),(21xxx时，0)(xg，0)( xf，)(xf单调递减当),(2 xx时，0)(xg，0)( xf，)(xf单调递增)(xf有两个极值点；例例 5 5、 （20172017 江苏高考江苏高考 2020）已知函数), 0( 1)(23Rbabxaxxxf有极值，且导函数)( xf的极值点是)(xf的零点。 （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：ab32;（3）若)(xf，)( xf 这两个函数的所有极值之和不小于27，求a的取值范围。
14、解：（1）由32( )1f xxaxbx，得2 22( )323()33aafxxaxbxb.当3ax 时，( )f x有极小值23ab.因为( )f x的极值点是( )f x的零点.所以33 ()1032793aaaabf ，又0a ，故223 9aba.8因为( )f x有极值，故( )=0f x有实根，从而2 31(27a )039aba，即3a .3a 时，( )0(1)f xx ，故( )f x在 R R 上是增函数，( )f x没有极值；3a 时，( )=0f x有两个相异的实根213=3aabx ，223=3aabx . 列表如下x1(,)x1x12( ,)x x2x2(,)x ( )f x+00+( )f xA极大值A极小值A故)(xf的极值点是21xx、.从而3a ，因此223 9aba，定义域为(3,).注：定义域就是由题目中注：定义域就是由题目中)(xf有极值产生的，例有极值产生的，例 1 1 已经详细解释过三次函数有极值要满足的条件，三次已经详细解释过三次函数有极值要满足的条件，三次函数是个重点，对于其单调性、零点、极
