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1、11616 不等式（组）不等式（组）阅读与思考阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某
2、个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想” ，而解不等式组时只能“分而治之”.例题例题与求解与求解【例例 1】1】已知关于的不等式组恰好有 5 个整数解，则t的取值范围是（ ）x xtxxx235352A、 B、 C、 D、2116t2116t2116t2116t(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：解题思路：把的解集用含t的式子表示，根据题意，结合数轴分析t的取值范围.x【例例 2】2】如果关于的不等式那么关于的不等式x71005)2(xnmxnm的解集为x的解集为 .)0(mnmx（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：
3、解题思路：从已知条件出发，解关于的不等式，求出m，n的值或m，n的关系.x【例例 3】3】已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值. 62 ymxyx（天津市竞赛试题）解题思路解题思路：解关于，y的方程组，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围.x2【例例 4】4】已知三个非负数a，b，c满足 3a2bc5 和 2ab3c1，若m3ab7c，求m的最大值和最小值. （江苏省竞赛试题）解题思路：解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最大值与最小值.【例例 6】6】设是自然数，765
4、, 4321,xxxxxxx7654321xxxxxxx，654543432321,xxxxxxxxxxxx，求的最大值.2010,7654321765xxxxxxxxxx又321xxx（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.【例例 6】6】已知实数a，b满足且a2b有最大值，求 8a2003b的值., 10 , 41baba解题思路：解题思路：解法一：已知ab的范围，需知b的范围，即可知a2b的最大值得情形.解法二：设a2bm（ab）n（ab)（mn)a（mn)b3能力训练能力训练A A 级级1、已知关于x的不等式那么m的值是 43 21
5、4 32xmxxm的解集是（“希望杯”邀请赛试题）2、不等式组 的解集是，那么ab的值为 5242 bxax20 x（湖北省武汉市竞赛试题）3、若ab0，ab0，ab，则的大小关系用不等式表示为 bbaa,（湖北省武汉市竞赛试题）4、若方程组的解x，y都是正数，则m的取值范围 是 36542 myxmyx（河南省中考试题）5、关于x的不等式的解集为，则a应满足（ ）xaax333xA、a1 B、a1 C、 D、1a1a(2013 年全国初中数学竞赛预赛试题）6、适合不等式的x的取值的范围是（ ）21414312xxx7、已知不等式的解集那么m等于（ ）0)2)(1(xmx23xA、 B、 C、
6、3 D、331 318、已知，下面给出 4 个结论：；，其0a012a012a1112a1112a中，一定成立的结论有（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个（江苏省竞赛试题）9、当k为何整数值时，方程组 有正整数解？ kyxyx 3962（天津市竞赛试题）410、如果是关于x，y的方程的解，求不等式组 21 yx08)12(2byaxbyax的解集 331413xaxbxax11、已知关于x的不等式组的整数解有且仅有 4 个：1，0，1，2 那么，适合这个不 203 bxax等式组的所有可能的整数对（a，b）共有多少个？（江苏省竞赛试题）B B 级级1、如果关于x的不等式的正整数
7、解为 1，2，3 那么的取值范围是 03axa（北京市”迎春杯“竞赛试题）2、若不等式组有解， 则的取值范围是_. 2210 xxaxa（海南省竞赛试题）3、已知不等式只有三个正整数解，那么这时正数a的取值范围为 .03ax（”希望杯“邀请赛试题）4、已知则的取值范围为 .1121x12x(“新知杯”上海市竞赛试题）55、若正数a，b，c满足不等式组 ，则a，b，c的大小关系是（ ）bcabacbacbac411 2535 232611A、abc B、 bca C、cab D、不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题）6、一共（ ）个整数x适合不等式99992000xxA、10000 B、20000 C
8、、9999 D、80000（五羊杯“竞赛试题）7、已知m，n是整数，3m25n3，且 3m230，5n340，则mn的值是（ ）A、70 B、72 C、77 D、848、不等式的解集为（ ）5 xxA、 B、 C、 D、25x25x25x25x（山东省竞赛试题）9、的最大值和最小值.31,2351312xxxxx求已知（北京市”迎春杯”竞赛试题）10、已知x，y，z是三个非负有理数，且满足 3x2yz5，xyz2，若s2xyz，求s的取值范围.（天津市竞赛试题）611、求满足下列条件的最小正整数n，对于n存在正整数k使成立.137 158knn12、已知正整数a，b，c满足abc，且，试求a，
9、b，c的值.1111cba7专题 16 不等式（组）例例 1 1 C 提示：解不等式组得，则 5 个整数解为x19，18，17，16，15.结合数3220tx轴分析，应满足 143 2t15，故6t.1162t 例例 2 2 提示：，.13 45x (2)5mn xmn20mn510 27mn mn0m 1345mn例例 3 3 或 提示：解方程组得，由1m 3m 8 1 62 1xm mym得1m00,0x y 例 4 提示：由已知条件得 ,解得,m=3c2.由325 213abc abc 73 711ac bc0 0 0a b c 得,解得,故 m 的最大值为,最小值为730 7110 0
10、c c c 37 711c1 115 7例 5 先用x1和x2表示x3,x 4，x7,得,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7= 2 010.312423125341264512756122233558xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 于是得.因为x2是自然数,所以是整数，所以x11 21201013113100()20220xxx1113()220x是 10 的奇数倍.又因为x1x2，故有三组解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68.因此x1+x2的最大值为 50+68=118,所以x1+x2 +x3的最大值为 2(x1+x2)=2
11、118=236.例 6 解法一 ： 0ab1，1a+b4 ，由知4ab1，+得42b0，即2b0，+得2a2b1要使a2b最大，只有ab=1 且b=0. a=1 且b=0，此时 8a+2003b=8.解法二 ：设 a2b=m(a+b)+n(ab)=(m+n)a+ (mn)b,知,解得.1 2mn mn 1 2 3 2mn 而,a2b=+11222ab 33022ab1 2ab3 2ab82a2b1当a2b 最大时，a +b=1，ab=1b=0，a=1，此时 8a+2003b=8.A 级1.9 102.11.1 提示:原不等式组变形为由解集是 0x2 知,解得425 2xabx40 502a b
12、 2 1a b 故a+b=2+(1)=13.abba 4.m75 25.B 提示：由ax+3a3+x,得(a1)(x+3)0,.由不等式的解集为x3 知x+30,所以a10,得a1.6.C 7.B 8.C 9.k=2 或 3.10. 提示：由非负数性质求得a=2,b=5,原不等式组的解集为x3.11.原不等式组等价于,因为该不等式组的整数解一 1，0，1，2 不是对称地出现，322axbbx 所以其解不可能是必有，由整数解的情况可知,22bbx32abx213a 232b得a=5,4,3;b=5,6.故整数对(a,b)共有 23=6 对.B 级1. 提示:由题意可知:.由正整数解为 1,2,3
13、 知,解得314a 3xa 334a 314a 2.a1 提示:原不等式组变形为由不等式组有解知a1,故a11xax 3. 9a12 4.211x 5. B 提示:原不等式组变形为,.1736cabcc58 23aabca715 24babcb6. C 示：若x2000，则(x2000)+x9999，即 2000x5999, 共有 4 000 个整数;若 0x2000,则(x2000)+x9999.20009999，恒成立，又有 2000 个整数适合若x0，则 2000x+(x) 9999 即3999.5x0，共有 3999 个整数适合，故一共有4000+2 000+3999 = 9 999 个整数适合.7. D 8.C 提示:由原不等式得x2(x+5)299.提示：解不等
