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1、1课堂达标课堂达标( (四十一四十一) ) 圆的方程圆的方程A 基础巩固练1(高考广东卷)平行于直线 2xy10 且与圆x2y25 相切的直线的方程是( )A2xy50 或 2xy50B2xy0 或 2xy055C2xy50 或 2xy50D2xy0 或 2xy055解析 设所求切线方程为 2xyc0，依题意有，解得c5，所|00c|22125以所求切线的直线方程为 2xy50 或 2xy50，故选 A.答案 A2已知直线l：xmy40，若曲线x2y22x6y10 上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为( )A2 B2C1 D1解析 因为曲线x2y22x6y10 是圆(x1)2(y3)29
2、，若圆(x1)2(y3)29 上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：xmy40 过圆心(1,3)，所以13m40，解得m1.答案 D3若直线ax2by30(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80 的周长，则 的最小值为( )1 a2 bA1 B5C4 D3222解析 由题意知圆心C(2,1)在直线ax2by20 上，2a2b20，整理得ab1， (ab)3 3232，1 a2 b(1 a2 b)b a2a bb a2a b2当且仅当 ，即b2，a1 时，等号成立b a2a b22 的最小值为 32.1 a2 b2答案 D4点P(4，2)与圆x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是(
3、)2A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y)，2 02 0则Error!Error!代入xy4 中得(x2)2(y1)21.2 02 0答案 A5(2018吉大附中第七次模拟)已知圆C：(x)2(y1)21 和两点A(t,0)，3B(t,0)(t0)，若圆C上存在点P，使得0，则t的最小值为( )PAPBA3 B2C. D13解析 由题意可得点P的轨迹方程是以AB为直径的圆，当两圆外切时有：tmin1tmin1， 3212即t的最小值为 1.答案 D6(2018绵
4、阳诊断)圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x21 的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为( )y2 33Ax2(y1)21 Bx2(y)233Cx2(y1)21 Dx2(y)233解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为 60，结合图3形(图略)可知，所求的圆C的圆心坐标是(0,1)，半径是 1，因此其方程是x2(y1)21.答案 A7过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_解析 当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件圆心O与点P连线的斜率k1，所求直线方程为y1(x1)，即xy2
5、0.答案 xy208已知平面区域Error!恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_解析 由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆OPQ为直角三角形，3圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r，|PQ| 25因此圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案 (x2)2(y1)259设M(x，y)|y，a0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，2a2x23则MN时，a的最大值与最小值分别为_、_.解析 因为集合M(x，y)|y，a0，2a2x2所以集合M表示以O(0,
6、0)为圆心，半径为r1a的上半圆2同理，集合N表示以Q(1，)为圆心，3半径为r2a的圆上的点这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO|2.如图所示，当两圆外切时，由aa2，得a22；当两圆内切时，由22aa2，得a22.22所以a的最大值为 22，最小值为 22.22答案 22；222210已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.10(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解 (1)由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1,2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得ab
7、30. 又直线|CD|4.10|PA|2，(a1)2b240. 10由解得Error!或Error!圆心P(3,6)或P(5，2)圆P的方程为(x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240.B 能力提升练1已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为 12，则圆C的4方程为( )A.2y2 B.2y2(x33)4 3(x33)1 3Cx22 Dx22(y33)4 3(y33)1 3解析 由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为 ，设圆心(0，a)，2 3半径为r，则rsin 1，rcos|a|，解得r， 3 323即r2 ，|a|，即a，故圆C的方程为x22 .
8、4 33333(y33)4 3答案 C2(2018九江模拟)已知P是直线l：3x4y110 上的动点，PA，PB是圆x2y22xy10 的两条切线(A，B是切点)，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是( )A. B222C. D233解析 圆的方程可化为(x1)2(y1)21，则C(1,1)，当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，|PC|min2，此时|PA|PB|.|3411|32423所以四边形PACB的面积S2 1，故选 C.1 233答案 C3设点P是函数y图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a3)4x12(aR R)，则|PQ|的最小值为_解析 函数y的图象表示圆(x1
9、)2y24 的下半圆4x12令点Q的坐标为(x，y)，则Error!得y 3，x 2即x2y60，作出图象如图所示由于圆心(1,0)到直线x2y60 的距离d2，|12 06|122255所以直线x2y60 与圆(x1)2y24 相离，因此|PQ|的最小值是2.5答案 254(2018岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，3动点D满足|1，则|的最大值是_CDOAOBOD解析 设D(x，y)，由(x3，y)及|1 知(x3)2y21，CDCD即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆，又(1,0)(0，)(x，y)OAOBOD3(x1，y)，3|.OAOBO
10、Dx12y 32问题转化为圆(x3)2y21 上的点与点P(1，)间距离的最大值3圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为3，3120 327故的最大值为1.x12y 327答案 175已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50 相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程解 (1)把圆C1的方程化为标准方程得(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为C1(3,0)(2)设M(x，y)，A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，由圆的性质知：MC1MO，0.MC1MO又(3x，y)，(x，y)，MC1MO由向量的数量积公式得x23xy20
11、.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ymx，当直线l与圆C1相切时，d2，解得m.|3m0|m212 55把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得 9x230x250，解得x .5 3当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)又直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，6 0)根据题意，得Error!，解得ab1，r2，故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2)因为四边形PAMB的面积SSPAMSPBM |AM|PA| |BM|PB|，1 21 2又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以S2|PA|，而|PA|，|PM|2AM2|PM|24即S2.|PM|24因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线 3x4y80 上找一点，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，|3 14 18|3242所以四边形PAMB面积的最小值为S222.|PM|243245
