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1、第13讲 博弈论到目前为止，我们对经济 活动的考察没有考虑人们之间行为 的相互影响。其实，现实中一个人的行为总是受到其他人行为的 影响和制约，人们在追逐自己利益的过程中难免要与他人发生利 益冲突或矛盾。如何克服和解决人们之间的利益冲突？如何才能实 现一种既能让每个人都实现自己的利益，又能让每个人都不妨碍 和伤害他人利益的互利互惠的和谐局面？博弈论(game theory)为解 决这些问题提供了一种有力的科学分析框架。 自20世纪80年代以来，博弈论在经济学中得到了广泛应用， 在揭示人们经济 行为的相互影响和相互制约方面取得了重大进展 。大部分经济活动都可以用博弈论加以解释，甚至连市场调节 与
2、宏观调控这样的重大问题都可以看成是特殊的博弈现象，纳入到 博弈论的范围加以研究。博弈论的思想方法博大精深，已经成为 经济学的一个必不可少的组成部分。 博弈的标准形式与分类l 博弈的基本要素：局中人(玩家)、策略、收益。 l 局中人的目标：收益最大化。 l 策略博弈(game of strategies)：局中人以策略定胜负。 l 博弈的标准形式(normal form of a game)：G = (Xi, fi)n，其中 n 为 局中人总数， Xi 为局中人 i 的策略集合，S = X1 X2 Xn 为 G 的局势集合，fi : S R 为局中人 i 的收益函数。 l 局势：由各局中人的策略
3、组成的n元组 (x1, x2, xn)(其中xiXi )。 l 博弈的分类类：一般按照博弈的基本要素进行分类。 按局中人数分：二人博弈、多人博弈 按策略集合分：有限博弈、无限博弈 按收益函数分：常和(零和)博弈、变和博弈 按博弈性质分：非合作博弈、合作博弈 按行动次序分：同时移动博弈、先后移动博弈(序贯博弈) 以上分类可以结合起来，形成更仔细的分类。比如，二 人零和有限博弈(矩阵博弈)、多人非合作无限博弈等等。一、矩阵博弈博弈是一种普遍的日常现象。当人们工作的时候，总是会有意 识或潜意识地运用博弈论思维。比如，企业在经营决策中总是要 考虑竞争对手的反应，个人与政府之间又存在着“上有政策，下 有
4、对策”的博弈迹象，金融监管与金融创新则犹如“猫鼠博弈”。 在人们休闲时，博弈又作为消遣性的游戏让人们从中取得快乐， 甚至获得智慧，例如下棋、玩牌、打麻将等。一般来讲，博弈的特征表现为两个或两个以上具有利益冲突的 当事人处于一种不相容状态中，一方的行动取决于对方的行动， 每个当事人的收益都取决于所有当事人的行动。当所有当事人都拿 定主意作出决策时，博弈的局势便得以确定。博弈论正是要研究人们之间的这种不相容的行为，它推广了 标准的一人决策理论。博弈论关注的问题是：在每个当事人的收 益都依赖于其他当事人的选择的情况下，追求个人收益最大化的当 事人应该如何采取行动。我们先以最简单的矩阵博弈为重点来讨
5、论这个问题，建立博弈论的基本思路和分析框架。 (一) 矩阵博弈的标准形式因此，甲和乙的二人零和有限博弈G = (X, f ; Y, g)可表示为G = (X, Y, f ) 。特别是当策略集合 X 和 Y 既定时，可直接用甲的收益矩 阵 表示这个博弈G ，并称作“矩阵阵博弈 f ”。 例1便士匹配甲和乙在玩一种游戏，每人手中都有一枚硬币，每人都有两种 选择：出示硬币正面、出示硬币反面。游戏规则戏规则 ：甲和乙各自独立决定是出示正面还是出示反面。 如果都出示正面或都出示反面，那么甲赢元，乙输元；如果一 人出示正面，而另一人出示反面，那么甲输元，乙赢元。这个游戏就是通常所说的便士匹配博弈(Matc
6、hing Pennies)，它 类似于小孩子玩的“手心手背”游戏。其标准形式如下： 乙甲出示正面出示反面出示正面1(甲)1(乙)1(甲)1(乙)出示反面1(甲)1(乙)1(甲)1(乙)便士匹配博弈收益表(二) 古诺均衡 l 局中人的目标标：选择合适的策略以使自己的收益(对方的损失) 达到最大，也就是要让对方的收益(自己的损失)达到最小。我们来分析局中人的博弈过程以揭示博弈的最优解。 l 假定：甲和乙都彼此了解对方的收益矩阵，即双方都清楚自己的 收益就是对方的损失利益冲突。 l 博弈过过程：既然每个局中人都要根据对方的行动来调整和确定 自己的行动，那么博弈过程必然是这样的策略调整与选择过 程 ：
7、每个人都要不断地在对方选定了策略的情况下来调整自己的 策略以使自己的收益达到最大。 l 博弈结局：当策略调整达到了这样的局势 (xh, yk) 使得 xh 是甲在乙 选定yk的情况下的收益最大策略，同时yk是乙甲在选定xh的情况下的收益最大策略的时候，局中人双方的策略调整得以结束，博弈 的解得以确定，这个解即所谓的古诺均衡。即1. 最小最大原理 l 鞍点定理(最小最大原理) 是矩阵 的鞍点(即博弈 局势(xh, yk)是矩阵博弈 f 的古诺均衡)当且仅当下述等式成立：鞍点定理表明，要找到矩阵博弈的古诺均衡(即最优解)，只需 按照如下步骤进行：第一，从矩阵各行的最小元中找出最大元，称 为最大最小
8、元；第二，从矩阵各列的最大元中找出最小元，称为最 小最大元；第三，如果最大最小元与最小最大元一致，那么该元素 就是矩阵的鞍点，代表矩阵博弈的古诺诺均衡。 乙甲作广告不作广告作广告3030 不作广告2020例2. 广告竞竞争的古诺诺均衡单位：万元2. 稳妥策略与不稳定性最小最大原理指出，只有在收益矩阵的最大最小元与最小最大 元一致的情况下，矩阵博弈才有最优解。注意，最大最小元和最小 最大元总是存在的，但最大最小元与最小最大元未必总是一致。这 样一来，矩阵博弈就可能没有最优解。比如，便士匹配博弈就没有最优优解：该博弈的收益矩阵的最大 最小元为 和 ，最小最大元为 和 ，结果最 大最小元与最小最大元
9、不一致，从而便士匹配博弈没有最优解。s矩阵博弈可能没有最优解的真正原因是什么？为了分析这个问题，我们把收益矩阵的最大最小元叫做甲的稳稳 妥策略；把收益矩阵的最小最大元叫做乙的稳稳妥策略。矩阵博弈可能没有最优解的原因是稳妥策略可能不稳定：未必 能使策略调整过程结束。因此，即使甲和乙都选择稳 定策略，也未 必能保证博弈达到古诺均衡。 (三) 混合均衡 古诺均衡未必存在，这不是我们的期望。另外，实际中，局 中人常常希望行动隐秘而不被对手觉察。为了解决这两个问题， 人们提出了混合策略，即设计一种连自己都不知道会采取哪种策略 的随机策略，对手就更不得而知，从而使得局中人的行动变得诡秘 。l 混合策略(m
10、ixed strategies)考虑二人有限博弈G = (X, f ; Y, g)。X = x1, x2, xm可叫做甲的 纯策略集合， Y = y1, y2, yn可叫做乙的纯策略集合，S = X Y 便 为博弈 G 的纯局势集合。甲可采取随机选择：以概率 pi 选择纯 策略 xi ( i = 1, 2, , m)， 从而可用概率分布 p = ( p1, p2, , pm) 来表示甲的这一选择。这种以 概率分布表示的策略叫做混合策略，集合 叫 做甲的混合策略集合。 同样，可给出乙的混合策略集合 。 集合 就叫做博弈G的混合局势集合。1. 混合扩充甲和乙的收益矩阵分别为： 。博弈G的混合扩充为
11、博弈 ：l 定理 博弈G = (X, f ; Y, g)为常和博弈当且仅当G 的混合扩充 为 常和博弈。当G 是常和博弈时，G 与 具有相同的收入常和。 G的混合扩充 的古诺均衡(最优解)叫做G的混合均衡(混合最 优解)。换句话说，G的混合局势( p*,q*)叫做的混合均衡(混合最优 解)，是指( p*,q*)满足如下条件： l 定理(混合均衡的存在性) 任何矩阵博弈都有混合均衡。例3便士匹配的混合最优解便士匹配博弈中，甲的收益矩阵为 f。寻找便士匹配博弈的混合最优解，就是去找出 使得 。2. 混合均衡集的特点 矩阵博弈混合均衡的存在性以及鞍点定理保证了博弈值V(G)是 一个良好定义的数，并且
12、当( p*,q*)是的混合最优解时，必有V(G) = Ef (p*,q*)。博弈值在解释最优解的性质以及求解混合最优解方面 相当有用，还可以通过博弈值来证明矩阵博弈G的混合均衡集(混 合最优解集)具有下述定理所述的特点。博弈值 l 定理 对于甲和乙的矩阵博弈G = (X, Y, f )来说，T = T1T2 且混合 均衡集 T 是空间 的非空有界闭凸子集，从而甲的混合最优策 略集T1是 的非空有界闭凸子集，乙的混合最优策略集T2 是 的非空有界闭凸子集。 二、二人博弈矩阵博弈仅仅是一类简单 又典型的二人常和博弈，经济学中 遇到的博弈往往都是变和博弈。矩阵博弈理论之所以重要，是因为 它为研究变和
13、博弈提供了很好的分析思路和框架。现在，我们来在 矩阵博弈理论的基础上建立一般的二人博弈理论。 l 二人有限博弈l 二人无限博弈l 二人博弈的重复(一) 二人有限博弈例4. 囚徒难题难题 博弈乙甲合作背叛合作3000300004000背叛4000010001000囚徒难题难题 博弈收益 表古诺诺均衡(纳什均衡)1. 最小最大原理失效乙甲y1y2x15532x24366博弈GA：古诺诺均衡与最大最小元不一致 乙甲y1y2x15637x24554博弈GB：不存在均衡，但存在最大最小元2. 混合策略l 角谷不动动点定理(Kakutanis fixed point theorem) 设 T 是有限维 欧
14、氏空间的非空有界闭凸子集，F : T T 是集值映射。如果 F 上 半连续且对任何xT, F(x)都是非空闭凸集，那么F 必有不动点， 即存在xT使得xF(x)。例5. 性别别之战战：性别差异导致效用收益差异l 定理(混合均衡的存在性) 任何二人有限博弈都有混合均衡。卡夫茹达话剧足球话剧2100足球0012 混合均衡：茹达和卡夫的预期收益都为2/3。意味着“男女平等”。(二) 二人无限博弈现在考虑二人无限博弈G = (X, f ; Y, g) ，其中X 和Y 分别任意 集合，局势集合 S = X Y 是无限集合。 显然，二人有限博弈的混合扩充就是二人无限博弈。二人无限博弈的混合扩充依然是二人无
15、限博弈。 因此，在无限博弈的情形，无需专门讨论混合扩充。二人博弈的古诺均衡是满足 如下条件的局势(x*, y*)：XYRf (x*, y*)(x*, y*)x*y*古诺均衡1. 古诺均衡存在性 假设G1 甲的策略集合X 是某个拓扑向量空间V1的非空紧凸子集， 乙的策略集合Y 也是某个拓扑向量空间V2的非空紧凸子集，从而 局势集合 S 是拓扑向量空间V1 V2 的非空紧凸子集。 假设G2 甲的收益函数 f (x,y)连续且关于策略变元 x 弱拟凹；乙的 收益函数连续 g(x,y)且关于策略变元 y 弱拟凹。l 范格不动点定理 设T是拓扑向量空间的非空紧凸子集，F:TT是 集值映射。如果F上半连续且对任何xT，F(x)都是非空闭凸集， 则F 有不动点
