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1、3.3 直方图处理一、灰度直方图 直方像图反映了图的像素的灰度分布是反映一幅 图像 中的灰度级与出现这种灰度级的像素的概率 之间关系的图形。直方图的横坐标为灰度级（用r表示），纵坐标是 具有该灰度级的像素个数或出现此灰度级的概率P(rk) 。设N（=ab）为一幅图像中像素总数，nk为第k级 灰度的像素数；r k表示第k个灰度级。则：P(rk)= nk /N （归一化后k级灰度像素数）定义：反映各灰度级出现频数的分布情况，进而 反映图像对（清晰）度，但不反映各灰度级的空间位 置分布。直方图的作法 a) 将图像的灰度级归一化b) 计算各灰度级的像素频数(或概率)c) 作图练习：试求如图所 示一幅1
2、010， 级灰度图像的灰度 直方图。0000000000111111111111111111112222222222333333333333333333333333333333555555555577777777777777777777c)作图nk0 1 2 3 4 5 6 7 rka)将图像的灰度级归一化求得：rk=0,1/7,2/7, , 6/7b)计算各灰度级的像素频数Pk=0.1, 0.2, 0.1, 偏暗图像 及其直方图动态范围偏小图像 及其直方图动态范围正常图像 及其直方图二、直方图的用途1.数字化参数可用来判断一幅图像是否合理地利用了全部被允许的 灰度级范围。一幅图像应利用几乎全
3、部的灰度级。2. 边界阈值选取0 阈值点 灰度频 率三、积累直方图 积累直方图就是由前k个等级之和生成的积累直方图。tk=EH(rk)= = ,0rk1,k=0,1,L-1假设tk=EH(rk)=1/4,那么灰度rk 映射到tk意味着tk=1/4一下的 灰度占像素总数的1/4。如果 tk=1/2,那么tk=1/2以下的像素 占像素总数的1/2，即 tk的直方图是均匀分布的。EH(rk)是一个单调增加函数，它等于灰度在rk一下的 像素所占的比例，可以写出反函数:rk= EH-1(tk) ,0tk1, k=0,1,L-1举例应用：直方图修正 灰度修正（改变像素灰度值） 改变直方 图（修正） 灰度非
4、线性变换 方法：直方图均衡化 直方图规定化（匹配） 3.3.1直方图均衡化一、直方图均衡化灰度直方图反映了数字图像中每一灰度级与其 出现频率间的关系,它能描述该图像的概貌。通过 修改直方图的方法增强图像是一种实用而有效的处 理技术。直方图均衡化是将原图像通过某种变换，得到 一幅灰度直方图为均匀分布的新图像的方法。 直方图均衡化对连续变化图像：设r和s分别表示归一化了 的原图像灰度和经直方图修 正后的图像灰度。即在0,1区间内的任一个r值， 都可产生一个s值，且1将非均匀密度变换为均匀密度 T(r)Pr(r)Ps(s)s 1s 1rr1T(r)作为变换函数，满足下列条件：在0r1内为单调递增函数
5、，保证灰度级 从黑到白的次序不变；在0r1内，有0T(r)1，确保映射后 的像素灰度在允许的范围内。反变换关系为T-1(s)对s同样满足上述两个条件。由概率论理论可知，如果已知随机变量r的概率 密度为pr(r),而随机变量s是r的函数，则s的概率密 度ps(s)可以由pr(r)求出。假定随机变量s的分布函数用Fs(s)表示，根据分 布函数定义 利用密度函数是分布函数的导数的关系，等式两边对s求 导，有：可见，输出图像的概率密度函数可以通过变换 函数T(r) 控制原图像灰度级的概率密度函数得到,因而改善原图像的 灰度层次,这就是直方图修改技术的基础。从人眼视觉特性来考虑，一幅图像的直方图如果是均
6、匀分 布的，即Ps(s)=k(归一化时k=1)时，该图像色调给人的感觉 比较协调。因此将原图像直方图通过T(r)调整为均匀分布的 直方图，这样修正后的图像能满足人眼视觉要求。因为归一化假定则有 两边积分得上式表明，当变换函数为r的累积直方图函数 时，能达到直方图均衡化的目的。对于离散的数字图像，用频率来代替概率,则 变换函数T(rk)的离散形式可表示为: 上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由 原图像的直方图算出。一幅图像的sk与rk之间的关系称为该图像的累积灰 度直方图。rkPr(rk)rkS(rk)1.01.01.0直方图均衡化的计算直方图均衡化过程（算法）：(1) 列出原始图灰度级r
7、k；(2) 统计原始直方图各灰度级像素数nk;(3) 计算原始直方图各概率：pk=nk/N;(4) 计算累计直方图：sk=pk;(5) 取整Sk=int(L-1)sk+0.5;(6) 确定映射对应关系：rksk;(7) 统计新直方图各灰度级像素nk;(8) 用pk (sk) =nk/N计算新直方图。其中L是灰度层次数， N是图幅总像素数。直方图均衡化计算列表 序 号运算步骤和结果1列出原始灰度级rk012345672统计 原始直方图各级灰 度nk7901023850656329245122813计算原始直方图rk的pk0.190.250.210.160.080.060.030.024计算累计直
8、方图sk0.190.440.650.810.890.950.981.005取整sk=int(L-1)sk +0.5135667776确定映射关系(rksk)0-11-32-53,4-65,6,7-77统计 新直方图各灰度级 nk79010238509854488计算新直方图0.190.250.210.240.11直方图均衡化结果pr(rk)0.100.050.150.200.25rk(a)00.250.210.160.08 0.060.030.020.950.190.440.650.810.890.98(b)00.400.200.600.801.00Skrk0.190.250.210.110.
9、190.240.100.050.150.200.25ps(Sk)Sk(c)0直方图均衡化效果3.3.2直方图匹配（规定化）直方图均衡化的优点是能自动地增强整个图 像的对比度，但它的具体增强效果不易控制， 处理的结果总是得到全局均衡化的直方图。实 际中有时需要变换直方图使之成为某个特定的 形状，从而有选择地增强某个灰度值范围内的 对比度。均衡化后直方图原直方图规定直方图rszPr(r)Pz(z)s=T(r)v=G(z)s=T(r)z=G-1T(r)连续图像：设Pr(r)和Pz(z)分别代表原始图像和规定 化处理后图像的灰度概率密度函数. 对原始直方图进行均衡化处理，有：对规定化后的直方图均衡化处
10、理，有：两者经直方图均衡化处理后应有相同的直方图，因此 规定化后的的图像灰度级为：对于数字图像，有：例 假定有一幅总像素为N=6464的图像，灰度级数 为8，各灰度级分布列于表中。对该图像进行如图所示 的直方图规定化。811222453296568501023790原图各灰度级像素数nk 76543210原图灰度级rk , k=0,1,7(c)0.30 1/7 3/7 5/7 1Pz(zk)0.150.20.30.2 0.15zk0.20.1解：直方图规定化计算过程如下：1列出原图灰度级rk , k=0,1,7012345672统计原图各灰度级像素数nk 7901023850656329245
11、122813计算原始直方图各概率： Pk=nk/N 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06 0.03 0.02 4计算累计直方图：sk=pk 0.190.44 0.65 0.81 0.89 0.95 0.98 1.00 5规定直方图Pz(zl)=nl /N0000.150.20.30.20.156计算规定累计直方图: Pz(zl)0000.150.350.650.8517SML映射（l）3 4 5 6 6 7 7 7 8确定映射对应关系(k l )0314253,465，6,779变换后各灰度级像素nz00079010238509854481 0变换后直方图 0.19 0.25 0.21 0.24 0.11 pr(rk)0.100.050.150.200.25rk原图00.250.210.160.08 0.060.030.020.190.25 0.210.110.190.240.10 0.050.150.200.25ps(Sk)Sk直方图均衡化00.25 0.210.110.190.240.10 0.050.150.200.25ps(Sk)Sk直方图规定化0(c)0.30.20.10 1/7 3/7 5/7 1Pz(zk )0.150.20.30.2 0.15zk希望直方图直 方 图 规 定 化
