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1、1-7 最优潮流问题引言n基本潮流（或常规潮流）n针对一定的扰动变量 p（负荷情况），根据给定的 控制变量 u（如发电机的有功出力、无功出力或节 点电压模值等），求出相应的状态相量 x（如节点 电压模值及角度）；n通过一次潮流计算得到的潮流解决定了电力系统的 一个运行状态。n潮流计算结果满足潮流方程式或者变量间的等式约 束条件 f(x,u,p)=0引言n基本潮流存在的问题：n潮流计算结果不一定满足不等式约束条件。n解决方法：n调整某些控制变量的给定值，重新进行基本潮流计 算，反复进行，直到所有的约束条件都满足为止。n这样便得到了一个技术上可行的潮流解。引言n可行解很多n由于系统的状态变量及有关
2、函数变量的上下限值间 有一定的间距，控制变量也可以在一定的容许范围 内调节，因而对某一种负荷情况，理论上存在众多 的技术上都能满足要求的可行潮流解。n不同可行解性能指标不同n每一个可行潮流解对应于系统的一个特定的运行方 式，具有相应的总体的经济上或技术上的性能指标 （如系统总的燃料消耗量、系统总的网损等）。n最优可行解n为了优化系统的运行，需要从所有可行潮流解中挑 选出性能指标最佳的一个方案。引言n最优潮流：n所谓最优潮流，就是当系统的结构参数及负荷情况 给定时，通过控制变量的优选，所找到的能满足所 有指定的约束条件并使系统的某一个性能指标或目 标函数达到最优时的潮流分布。引言n最优潮流与基本
3、潮流的不同：n基本潮流计算时控制变量u 是事先给定的；而最优 潮流中的u 则是可变而待优选的变量，为此在最优 潮流模型中必然有一个作为优选准则的目标函数。n最优潮流计算除了满足潮流方程这一等式约束条件 之外，还必须满足与运行限制有关的大量不等式约 束条件。n进行基本潮流计算是求解非线性代数方程组；而最 优潮流计算需要采用最优化方法来求解。n基本潮流计算所完成的仅仅是一种计算功能；而最 优潮流计算则能够根据特定目标函数并在满足相应 约束条件的情况下，自动优选控制变量，具有指导 系统进行优化调整的决策功能。n控制变量：可以调整、控制的变量。n除平衡节点外，其他发电机的有功出力；n所有发电机节点（包
4、括平衡节点）及具有可调无 功补偿设备节点的电压模值；n带负荷调压变压器的变比。n状态变量：需经潮流计算求得的变量。n除平衡节点外，其他所有节点的电压相角；n除发电机节点以及具有可调无功补偿设备节点之 外，其他所有节点的电压模值。（一）最优潮流的变量一、最优潮流的数学模型一、最优潮流的数学模型n全系统发电燃料总耗量（或总费用）（二）最优潮流的目标函数n有功网损n其它类型：n如偏移量最小，控制设备调节量最小、投资及年运 行费用之和最小等。 一、最优潮流的数学模型n最优潮流是经过优化的潮流分布，为此必须满 足基本潮流方程。这也就是最优潮流问题的等 式约束条件。 （三）等式约束条件一、最优潮流的数学模
5、型n最优潮流的内涵包括了系统运行的安全性及电 能质量，另外可调控制变量本身也有一定的容 许调节范围，为此在计算中要对控制变量以及 通过潮流计算才能得到的其他量（状态变量及 函数变量）的取值加以限制。这就产生了大量 的不等式约束条件。（四）不等式约束条件一、最优潮流的数学模型n 有功电源出力上下限约束；n 可调无功电源出力上下限约束； n 带负荷调压变压器变比K调整范围约束；n 节点电压模值上下限约束；n 输电线路或变压器等元件中通过的最大电流或视在 功率约束；n 线路通过的最大有功潮流或无功潮流约束；n 线路两端节点电压相角差约束，等等。（四）不等式约束条件一、最优潮流的数学模型n目标函数 f
6、 及等式约束g、不等式约束h中的大部分约 束都是变量的非线性函数，因此电力系统的最优潮流 计算是一个典型的有约束非线性规划问题。n采用不同的目标函数并选择不同的控制变量，再和相 应的约束条件相结合，就可以构成不同应用目的的最 优潮流问题。（五）最优潮流的数学模型s.t.一、最优潮流的数学模型n (1) 目标函数采用发电燃料耗量（或费用）最小， 以除去平衡节点以外的所有有功电源出力及所有可 调无功电源出力（或用相应的节点电压），还有带 负荷调压变压器的变比作为控制变量，就是对有功 及无功进行综合优化的通常泛称的最优潮流问题。n (2) 若目标函数同(1)，仅以有功电源出力作为控制 变量而将无功电
7、源出力（或相应节点电压模值）固 定，则称为有功最优潮流。n (3) 目标函数采用系统的有功网损最小，将各有功 电源出力固定而以可调无功电源出力（或相应节点 电压模值）及调压变压器变比作为控制变量，则称 为无功最优潮流。二、最优潮流计算的简化梯度算法n由于电力系统的规模日益扩大，其节点数可能 成百上千，最优潮流计算模型中包含的变量数 及等式约束方程数极为巨大，至于不等式约束 的数目则更多，兼以变量之间又存在着复杂的 函数关系，这些因素都导致最优潮流计算跻身 于极其困难的大规模非线性规划的行列。n虽经将近30年的努力，但继续寻找能够快速、 有效地求解各种类型的大规模最优潮流计算问 题，特别是能够满
8、足实时应用的方法，对广大 研究者来说，仍然是一个巨大的挑战。二、最优潮流计算的简化梯度算法n最优潮流计算的简化梯度算法在最优潮流领域 内具有重要的地位，是最优潮流问题被提出后 能够成功地求解较大规模的最优潮流问题并被 广泛采用的第一个算法，它直到现在，仍然还 被看成是一种成功的算法而加以引用。n最优潮流计算的简化梯度算法以极坐标形式的 牛顿潮流算法为基础。下面先讨论仅计及等式约束条件时算法的构成， 然后讨论计及不等式约束条件时的处理方法。（一）仅有等式约束条件时的算法n引入和等式约束 g(u,x)=0 中方程式数同样多的 拉格朗日乘子，构成拉格朗日函数：n数学模型：s.t.（一）仅有等式约束条
9、件时的算法n采用经典的函数求极值的方法，将L分别对变 量x, u及求导并令其等于零，即得到极值所 满足的必要条件为这是三个非线性代数 方程组，每组的方程 式个数分别等于向量 的维数。最优潮流的解必须同 时满足这三组方程。联立求解这三个极值条件方程 组，可以求得问题的最优解。（一）仅有等式约束条件时的算法n采用经典的函数求极值的方法，将L分别对变 量x, u及求导并令其等于零，即得到极值所满 足的必要条件为但由于方程数目众多及 其非线性性质，联立求 解的计算量非常巨大， 有时还相当困难。采用迭代下降算法。（一）仅有等式约束条件时的算法n迭代下降算法的基本思想：n从一个初始点开始，确定一个搜索方向
10、，沿着这 个方向移动一步，使目标函数有所下降，然后由 新的点开始，再重复上述步骤，直到满足一定的 收敛判据为止。（一）仅有等式约束条件时的算法n迭代求解算法的基本要点：n (1) 令迭代计数 k = 0；n (2) 假定一组控制变量u(0)；n (3) 由于式(1-196)是潮流方程，所以通过潮流计算 可由已知的u求得相应的 x(k)；n (4) 观察式(1-194)，g对x的偏导数是牛顿法潮流计 算的雅可比矩阵 J，利用求解潮流时已经求得的潮 流解点的J及其LU三角因子矩阵，可以方便地求出(1-197)（一）仅有等式约束条件时的算法n (5) 将求得的x, u及代入式(1-195)，则有n
11、(6) 若 ，则说明这组解是待求的最优解，计算结束。否则，转入下一步；n (7) 按照能使目标函数下降的方向对u进行修正 u(k+1)=u(k)+u(k)，然后回到步骤(3)。重复上述过程，直到式(1-195)得到满足，即 为止，这样便求得了最优解。（一）仅有等式约束条件时的算法n可以证明式(1-195)中的 是在满足等式约束 条件即式(1-196)的情况下目标函数对于控制变 量u的梯度向量 。n由于 是在满足等式约束条件下目标函数在 维数较小的 u 空间上的梯度，所以也称为简化梯度。（一）仅有等式约束条件时的算法nu(k)的求解：n由于某一点的梯度方向是该点函数值变化率最大的 方向，因此若沿
12、着函数在该点的负梯度方向前进时 函数值下降最快，所以最简便的办法就是取负梯度 作为每次迭代的搜索方向，即取式中： 简化梯度 ；c为步长因子。（一）仅有等式约束条件时的算法n在非线性规划中，这种以负梯度作为搜索方向 的算法，也称梯度法或最速下降法。n式(1-206)中步长因子的选择对算法的收敛过程 有很大影响，选得太小将使迭代次数增加，选 得太大则将导致在最优点附近来回振荡。n最优步长的选择正如在本章第五节中曾经讨论 过的，是一个一维搜索问题，可以采用抛物线 插值等方法。（二）不等式约束条件的处理n最优潮流的不等式约束条件数目很多，按其性 质的不同可分成两大类：n第一类是关于自变量或控制变量的不
13、等式约束，n第二类是关于因变量即状态变量以及可表示为和的 函数的不等式约束条件，这一类约束通称为函数不 等式约束。（三）简化梯度最优潮流算法及原理框图n略（四）简化梯度最优潮流算法的分析n简化梯度最优潮流算法是建立在牛顿法潮流计 算的基础上的。利用已有的采用极坐标形式的 牛顿法潮流计算程序加以扩充，便可得到这种 最优潮流计算程序。n这种算法原理简单，程序设计也比较简便。（四）简化梯度最优潮流算法的分析n这种算法也有一些缺点。n首先，因为采用梯度法或最速下降法作为求最优点 的搜索方向，最速下降法前后二次迭代的搜索方向 总是互相垂直的，因此迭代点在向最优点接近的过 程中，走的是曲折的路，即通称的锯
14、齿现象。而且 越接近最优点，锯齿越小，因此收敛速度很慢。n其次，该算法采用罚函数法处理不等式约束，因此 罚因子数值的选择是否适当，对算法的收敛速度影 响很大。过大的罚因子会使计算过程收敛性变坏。（四）简化梯度最优潮流算法的分析n为此许多文献提出了改进算法，如在求无约束 极小点的搜索方向上，提出采用共轭梯度及拟 牛顿方向。n另外，该算法每次迭代用牛顿法计算潮流，耗 时很多，为此提出可用快速解耦法进行计算。三、最优潮流计算的牛顿算法n最优潮流作为一个非线性规划问题，可以利用 非线性规划的各种方法来求解，由于结合了电 力系统的固有物理特性，在变量的划分、等式 及不等式约束的处理、有功与无功的分解、变
15、 量修正方向的决定、甚至基本潮流计算方法的 选择等方面，都可以有各种不同的方案。n为此即使是采用非线性规划方法，也曾出现过 为数甚多的最优潮流算法。其中，在1984年由 文献28 提出的最优潮流牛顿算法，得到了国 内外学者的高度评价，也成为发展新一代最优 潮流程序时优先选用的算法。三、最优潮流计算的牛顿算法n（一）牛顿法的基本原理n（二）最优潮流牛顿算法四、解耦最优潮流计算n常规潮流汁算中快速解耦算法的成功，促使人 们联想到在最优潮流计算问题中也可以引入有 功、无功解耦技术，从而产生另一类最优潮流 计算模型，称之为解耦最优潮流。n快速解耦算法与解耦最优潮流的不同：n前者是在具体求解算法上的解耦
16、简化处理。n后者是把最优潮流的整体优化问题分解成为有功优 化和无功优化两个子优化问题。这两个子优化问题 可以独立地构成并求解，实现单独的有功或无功优 化；也可以组合起来交替地迭代求解，实现有功、 无功的综合优化。四、解耦最优潮流计算n解耦最优潮流的基本思想：n按照与有功及无功问题的关联，将控制变量u分成up 及uq两组，状态变量x也分成xp及xq两组。nup为除平衡节点外，其它发电机的有功出力。nxp为除平衡节点外，其它所有节点的电压相角。nuq为所有发电机（包括平衡节点）及具有无功补 偿设备节点的电压模值，另外还有调压变压器变 化；nxq为除上述uq中所列的节点以外的其余节点的电 压模值。n将等式及不等式约束也分成gp、gq及hp、hq两组。n这样，可以构造两个子优化问题的数学模型。四、解耦最优潮流计算n通常用全系统的发电燃料总耗量或总费用即式 (1-183)作为目标函数。与无功有关的控制变量 uq及状态变量xq均作为常数处理，设用uq0及 xq0表示。n有功子
