高量3-本征矢量和本征值

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1、3 本征矢量和本征值3.1 定义一、本征矢量和本征值对于算符A，若有非零矢量 满足下式式中a为常数。则 称为算符A的本征矢量， 而a为相应的本征值。上式称为本征值方程。本征值一般是复数，但也可以为0.算符A虽然可以不加限制，但是量子力学中用 到的主要是厄米算符的本征值问题。1二、厄米算符本征值问题的两个重要性质1.在复空间中，厄米算符的本征值都是实数证若A是厄米算符，用 左乘式两边，有已经知道 是实数所以a必为实数。2. 厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交证设 但2则又由此得即但所以即厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交。 3若 是A的一个本征矢量，则 也是属于同一个 本征值的本征矢

2、量；若 都是 A 的本征矢量且本征值相同，则 它们的线性叠加 也是A 的属于同一本征值的本征矢量。三、本征矢量问题简并性厄米算符A属于本征值a的本征矢量有多少个？这实际上是一个简并度的问题。1.问题的提出4所以算符A的属于同一个本征值 a 的本征矢量全 体构成Hilbert空间中的一个子空间。这个子空间称 为算符A的属于本征值a的本征子空间。2.简并本征子空间的维数 s 称为所属本征值的简并度。 这个本征值或这组本征矢量称为是 s 重简并的。当简并度为1时，通常称为无简并。为了指出 s 维本征子空间，只需给出其中一组 s 个线性无关的本征矢量即可。5则A,B有相同的本征值谱，且每一本征值都 有

3、相同的简并度。3.相关的定理定理：若A,B两算符相似，即对于有逆算符R，有证设已知A的全部本征值和相应的本征矢量，利用 ，用R从左作用上式两边，得即6下面设A的一个本征值是s重简并的，属于这个本征值的s个线性无关本征矢量记为 。由于R有逆， 也必为线性无关。所以算符B的属于本征值 的本征矢量至少为s个，即简并度不会比A小。另外利用 用同样的方法证明B的简并度也不会比A大。证毕。因为R有逆，所以 不为零所以所有 也都是B的本征值。7用反证法：如果 线性相关，则存在，从而有比如由此可以得到因为R有逆 ，上式两边用 作用后有这与 线性无关相矛盾。 命题得证。 83.2 本征矢量的完全性一. 问题的提

4、出在一个确定的Hilbert空间中，一个厄米算符A的本 征矢量的情况有两种：1）不简并的本征矢量是彼此正交的；2）s 重简并的本征值所对应的本征矢量构成一个s 维的本征子空间，并与那些本征值为其它值的本征 矢量正交。如在上述s维子空间中选出s个互相正交的本征矢 作为代表，那么其线性叠加都是算符A的对应于同 一本征值的本征矢量。9在进行归一化后,算符 A 的所有不简并和简并的本征矢量为代表就构成了一个正交归一矢量集。 若取不简并的本征值的简并度为1,则这个正交归一矢量集里矢量总数是所有本征值简并度之和 。 这个总数亦可能是无穷大。问题：一个厄米算符A的本征矢量正交归一集在所在空间中是否完全？二、

5、完全性和封闭性一个确定的空间中，一组正交归一矢量集的完全 性的含义是：空间内所有矢量都能表为这个矢量集的线性叠加。10一组正交归一矢量集的封闭性的含义是，这个空间 中不存在其它与集内所有矢量都正交的矢量（否则此 矢量集应再加一矢量）。二者的等价性是明显的。对于一般的Hilbert空间， 二者是等价的。对有限维空间予以证明：定理：在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量构成正交完全集。证：设空间是n维的，厄米算符为A。我们只需证明在A的本征矢量中有n个线性无关的即可。11A的本征值方程为这组基矢共有n个。为求 ，在此空间中取一组已知的基矢将矢量 按照这组基矢展开其中 。知道了一组 就知道了一个 。

6、将 的展开式代入本征值方程，并用 与方程 两边作内积，得12上式是关于未知数 线性齐次方程组，可以写成式中 是复数，对于给定的A，它们是已 知的，而 是待求的。会展开(j=1) (j=2)式中a 是待定的本征值。这一方程有非零解的条件 是系数行列式为0：13这是一关于a 的n次方程，称为久期方程，有n个根当这些根互不相同时，对于每一个根 ，上述方程有一组非零解 ；所求得的那些根 ，就是厄米算符A的本征值。 当每个 都不同时，可得线性方程组的n组解从而得到相应的n个本征矢量 。 14前面已经证明过，当本征值不同时，厄米算符的本征矢量互相正交。因此证明了A 的这组本征矢量肯定可构成此空间的一组正交

7、完全集。总之，在n维空间中，不论厄米算符A的本征值有无简并，总有n个线性无关的本征矢量存在，总可以构成空间的一组正交完全集。 当系数行列式有等根时，如 是一个三重根，那么对于这个a 值，不仅系数行列式本身为0，它的n-1, n-2阶的全部子行列式也都为0；对于这样的a，齐次方程也有3个线性无关的 。于是对于这个三重简并的本征值，空间中有3个线性无关的本征矢量存在，即有一个三维的本征子空间存在.15当A的本征值没有简并时, 这组 是完全确定的。而当有简并时，就有许多组这样的正交归一完全集存在，因为在本 征子空间中，选取n个互相正交的矢量作为代表(不要求归一)，其选法是很多的。三、基矢的选择可用它

8、们作为这个空间的一组基矢。 把一个厄米算符A的全部（彼此正交的）本征矢量编上一定的次序（通常是按照本征值由小到大的次序）, 就可以构成这个空间的一组正交归一完全集 ，它们满足完全性关系16对于无穷维Hilbert空间，厄米算符具有离散本征值的情况，虽然没有经过数学上的一一证明，在物理上总是认为，厄米算符的全部线性无关的本征矢量可以构成此空间的完全集。进行正交化以后，完全性关系成立。写成通常的下标形式，有在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢，甚至用厄米算符的本征矢量去 “构造” 一个 Hilbert 空间，原因在此。17对于一个Hilbert空间，每一个厄米算符的全部线性无关的本征矢

9、量都可以用来构成空间的基矢,即正交归一完全集（条件是厄米算符的定义域和值域都应是全空间）。3.3 厄米算符完备组一、基矢的选择问题但是当此厄米算符的本征值有简并时，对应于这一本征值的线性无关的本征矢量的数目与简并度相同，这时由本征矢量所确定的基矢不是唯一的。在简并的本征子空间中有多种选择。下面的任务就是设法消除这一不确定性。181.定理：二、本征矢量完全性定理当且仅当两个粒子的厄米算符互相对易时，它们有一组共同的本征矢量完全集。证 设两个算符是A和B.(1)必要性：完全集对易设A和B有一组共同的本征矢量完全集 ，这时有则同样所以对所有 都成立。因为 是完全的，所以有19(2)充分性：对易完全集

10、设AB-BA=0，且 是A的一套正交归一化的本征矢量完全集。我们将用后者构造同是A、B的共同本征矢量完全集。显然即 也是A的属于本征值 的本征矢量。下面分两种情况讨论。1A的本征值无简并这时 与 属于同一个一维本征子空间，它们只能差一个常数倍：20即 也同是B的本征矢量，常数 就是B的本征值。如果所有A的本征值都没有简并，则 就是A和B的共同本征矢量完全集。2A的本征值有简并新的问题：在A的2D以上的本征子空间中随便取一个矢量 未必就是B的本征矢量。设A的本征值aj有m重简并（无简并的前面已经讨论），在 |i 中属于这一本征值的本征矢量是 |j1, |j2, ， |jm （不见的相互正交,但可

11、以化成正交的），它们是在m维子空 间中互相正交m个矢量的代表。21式中C是一组叠加系数。这种矢量应该具有m个（总维数要 求）。现在要在这个m维本征子空间中寻找一些也是B的本征矢 量的矢量。设这种矢量是用 同上式作内积，利用 得上述矢量成为B 的本征矢量的条件是这是一个 的线性齐次方程组，设其系数22这一方程组有解的条件是系数行列式为0，即根据前面的讨论，b有m个根（其中可能有相同的）, 对每一个 ，有一组解 ，即一个矢量 。于是我们求得了m个矢量 ,它们是A的本征矢量（本征值为 ），同时又是B的本征矢量（本征值为 ）。23当b没有等根时，所得的共同本征矢量完全集是完全确定的 。当b有等根时，还

12、有一个一维以上的本征子空间中的所有矢量都同时是A和B的本征矢量，共同本征矢量完全集还有任意性。比如 和 都属于本征值 ，它们的线性组合也属于 ，这样如何选择完全集就成了问题。在这种情况下， 可以再取第三个与 A，B都对易的厄米算符C，以同样的方法用C的本征值来区分，直到这一组本征矢量完全集完全确定为止。如果对于每个A的简并本征值都经过这样重新选取，就可以得出一个 A和 B的共同本征矢量完全集。至此定理已经证毕。24上次课我们介绍了，对于对易算符A和B，如果算符A的本征值没有简并的话，A的本征态也是B的本征态；如果算符A的本征值有简并的话，任选一个A的本征态未必就是B的本征态，必须进行适当的线性

13、组合来寻找也是B算符的本征态；在求解组合系数从而求B算符的本征值时，如果此B本征值无简并，则A与B的共同本征矢量就确定了；如果此B本征值仍然有简并，则A与B的共同本征矢量仍然具有任意性，还需要找另一个对易算符C。因而出现这样一个问题，对于一个给定的体系，需要至少寻找几个对易算符，才能确保共同本征矢量是唯一的？25三、厄米算符完备组定义：对于一个Hilbert空间，一组相互对易的厄米算符A,B,C, ，它们只有一组完全确定的共同本征矢量完全集，而去掉其中的任意一个，都会使剩下的那些算符的共同本征矢量完全集具有任意性，称它们为一组厄米算符完备组。这一组本征矢量完全集构成这个Hilbert空间的一组

14、基矢。这组基矢可以分别用它所属算符A,B,C,的本征值a,b,c,的数值来编号，或者用各自本征值的序号来编号。其实，一个厄米算符的全部线性无关的本征矢量就已能构成空间的基矢。厄米算符完备组所包含算符的最少个数？物理空间的维数。26以后有时为了方便，我们用单一字母（如A）表示算符的完备组，用单一字母 表示它们的本征值的集合，用单一字母I 表示各本征值序号的集合，而用 表示它们的共同本征矢量，简单地写成共同本征矢量的完全性关系简写成增加更多算符的目的：为减少其中的任意性，最后消除任意性，以便得到一组完全确定的基矢。为何还要增加算符？27以上我们对有限维矢量空间的情况作了比较完整的讨论。但是在量子力学中更多的是无穷维的矢量空间。这种空间中厄米算符大体上有两种：3.4 无穷维空间的情况（1）具有离散的本征值谱，其本征值是可数的无穷多个；（2）具有连续的本征值谱，具有不可数无穷多个本征值和相应的本征矢量。一、基矢的选择问题对于这种厄米算符，只需把前面讨论内容加以推广，把取和的上限推到无穷大，而不去仔细