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1、空间及轴对称问题有限元概述 空间问题(四面体、六面体类) 轴对称问题 轴对称问题非轴对称荷载概 述三个方向尺寸属于同一数量级，所受荷载或形 体复杂，不可能像上一章那样简化成平面问题处 理，这时必须按空间问题求解。 与平面分析不同，空间有限元分析有如下两个 困难： 1）对空间物体进行离散化时不像平面问题那样 直观，人工进行离散时很容易产生错误； 2）未知量的数量剧增。 建立网格自动生成前 处理程序 采用高阶单元来提 高单元精度 平面图形绕面内一轴旋转所产生的空间物体， 称为轴对称物体，是一类特殊的空间问题。空间问题 1 常应变四面体单元形函数 与平面三角形单元相对应，四面 体单元内任一点可用“体
2、积坐标 ”来表示。各子四面体 体积 与三角形单元一样，体积坐标为Ti =Vi /V ,三个是 独立的，它有“本1，它0，总和1”的性质。P12 3四面体 总体积 (右旋 体积正 )1234P234P124P134P剩下来的工作基本和三角形常应 变单元类似。 作业：自学单元列式内容。空间问题 2 十结点（二次）四面体单元形函数 类似于平面六结点二次三角形单元， 采用试凑法建立结点的形函数。T1T2T3O12345678N1=a785234=a(T1-1/2)T1为使N1满足本点为1，可得a=2， 代回后得N1 =T1 (2T1-1)余者类似，也可按如下通式得到：式中p为形函数阶次，分子为不通过i
3、点的平面方程 左端项，分母中括号内为i点体积坐标。请大家 自行验 证！空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 先划分成六面体再分为四面体12435687146 71246 143748761）六面体划分为 5个四面体A5型1467间连 6根对角 线 156 7空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 1）六面体划分为5个四面体1243568712352568243835872358B5型2358间 连6根对 角线 相邻六面体 必须一个为 A5另一个 为B5共同点 相对面对角线 相互空间交叉空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 2）先划为五面体再划分为6个四面体12435687124356
4、435687连47、76、636874、5673、4763连23、25、632351、3562、3642A6型以折面3564分空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 2）先划为五面体再划分为6个四面体12435687连35、52、633562、5673、 2351连47、46、633764、6874、3642A6型以折面2376分24368712356 7两种A6划分 结果完全相同空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 2）先划为五面体再划分为6个四面体12435687连23、35、452453、4753、2351连45、46、674562、5674、6874B6型以折面2475分2456
5、87124357空间问题 3 形成四面体的对角线划分方法 2）先划为五面体再划分为6个四面体12435687连47、76、544753、5674、6874连32、25、542351、4352、4562B6型以折面3465分124356435687两种B6划分 结果也完全相同作业：P.95给出了由六面体8个角 点点号，按式(4.1.25)求A6和A5型 四面体结点号的方法。请考虑B6 和B5型的计算公式。空间问题 4 六面体类单元的形函数 1）八结点单元12345678类似平面问题矩形线性单元，由试凑 法可建立形函数如下：2）二十结点单元 和平面问题一样，基于 试凑法，可以根据上述 八结点低阶单
6、元形函数 构造各顶点形函数。123456789101112141720作业：32结点三次单元空间问题 5 五面体类单元的形函数 1）试凑法建立六结点形函数用于与六面体单元联合，解决边界形 状不规则物体的分析。课堂练习：建立15结点五面体单元形函数。 2）三维等参元列式 基本思想和平面问题一样，具 体列式参看P.101P.104。L1L2312645轴对称问题 工程中有一类结构，它们的几何形状、约束条件及 作用的荷载都对称于某一固定轴(可视为子午面内平 面物体绕轴旋转一周的结果)，其力学分析称为轴对 称问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。 1 离散化 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋 转一
7、周的结果，2 应力与应变 对轴对称问题进行分析一般取柱 坐标系，对称轴为Z轴，径向为r 轴，环向为轴。因此轴对称问题分析可在子午面内 划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所 得“圆环形单元”对物体进行离散。因此可用的单元 与平面问题一样。轴对称问题 在柱坐标下轴对称问题的几何方程为根据具体单元,代入所建立的位移模式,即可得应变矩 阵B。轴向位移径向位移 教材上 有推导 的示意 图，参 考弹性 力学。由于算子中有1/r，所以三角形环单元B不再是常 数矩阵。轴对称问题 根据具体单元，即可得应变、应力矩阵等。 D = 0 式中对称对线弹性问题，在上述应变分量条件下，物理方程为以三角形环单元为例
8、，其位移模式为轴对称问题 根据轴对称问题的算子矩阵，单元应变矩阵为应力矩阵：由于应变矩阵的特点，应力分量中除剪应力为 常量外，其余三项正应力均不再是常数。轴对称问题 由于B 中含有坐标变量，因此积分运算较平面 问题复杂，精确积分参见Zienkiewicz (Finite Element Method, 5th Ed，2000)。教材上对三角形环单元具体介绍了ke和FEe的有 关计算过程。请自学相关内容。单元刚度矩阵仍可按照平面问题的方法建立，但 需注意体积积分应在整个环上进行。实践证明采用近似积分也能达到一定的精度， 具体对于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵 中的坐标变量。如何进一步改进积
9、分精度？轴对称问题等参元分析 教材上P.111具体给出了单刚和等效荷载结果。单元位移场：单元描述：圆柱坐标系下 雅可比矩阵：应变矩阵：如果轴对称体上作用的非轴对称荷载，如烟囱上作 用的风荷载及地震荷载等，此时结构的位移、应变 和应力将不再是轴对称的，需按照空间问题求解。轴对称问题非轴对称荷载 此时求解费用将大大增加，如何进行简化？采用半解析有限元方法，将此类问题化为若干 轴对称问题叠加进行求解。此处将轴对称体上作用 的一般荷载P(r,z,)沿三个坐标轴方向分解，并沿 方向展开成付氏级数：轴对称对称反对称扭转轴对称问题非轴对称荷载非轴对称荷载的分解：R0、Z0 与无关，是 轴对称荷载；T0 与
10、无关、沿 方向，是 扭转荷载；Ri(r,z)cosi等是关于=0 平面的对称荷载；Ri(r,z)sini等是关于=0 平面的反对称荷载；对称反对称轴对称问题非轴对称荷载将位移作类似的分解：u0、w0 轴对称位移；v0 扭转位移；ui(r,z)cosi、 wi(r,z)cosi 、vi(r,z)sini是关于=0平面对称的位移 ；ui(r,z)cosi 、wi(r,z)cosi、 vi(r,z)cosi是关于=0 平面反对称的位移。轴对称对称反对称扭转轴对称问题非轴对称荷载对称荷载作用下的计算：对称荷载引起的位移是对称的：轴对称问题非轴对称荷载由于荷载非轴对称，因此一点的应变分量将有6 项。采用虚位移原理或势能原理建立单元的刚度矩 阵与等效荷载矩阵,公式显式表达式见教材P.115 116.(4.4.114.4.4.18)。基于三角函数的正交性 ，单元分析得到的单元刚度矩阵是分块对角阵。对称荷载下的轴对称问题分析可由荷载的每一 级数项分别计算然后叠加；并且每一级数项对应的 求解都是轴对称问题的解。上述对称荷载分析中当i=0时得到轴对称荷载情 况的解；若将正弦与余弦函数互换则得到反对称情 况的解，并且此时i=0时得到扭转荷载的解。平面应力：平面应变：弹性力学两类平面问题
