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1、抛物线的几何性质（2 ）图图 形方 程焦 点准 线线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）二、 练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上） 方程焦点准线线开口方向开口向右开口向左开口向上开口向下P(x,y)一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸。1、范围由抛物线y2 =2px（p0）而所以抛物线的范围为关于x轴对称由于点 也满足 ，故抛物线(p0)关于x轴对称.y2 = 2pxy2 = 2px2、对称性P(x,y)定义：抛物线和
2、它的对称轴的交点称为抛物线的顶点。 P(x,y) 由y2 = 2px （p0）当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有 两个顶点不同。、顶点图图形标标准方程范围围对对称性顶顶点离心率关于x 轴 对称，无 对称中心关于x 轴 对称，无 对称中心关于y 轴 对称，无 对称中心关于y 轴 对称，无 对称中心e=1e=1e=1e=1特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P(x,
3、y)补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的 线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。4、M是抛物线y2 = 2px（p0 ）上一点，若点 M 的横坐标 为x0，求点M到焦点的距离.OyxFMN焦半径公式焦半径公式y2 = -2px（p0）y2 = 2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）xyOFABBA例2.斜率
4、为1的直线L经过抛物线 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2 = 4x解法一:由已知得抛物线的焦点 为F(1,0),所以直线AB的方程为 y=x-1xyOFABBA例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2 = 4x解法二:由题意可知,分析：运用分析：运用 抛物线的定抛物线的定 义和平面几义和平面几 何知识来证何知识来证 比较简捷比较简捷变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切证明：如图 所以EH是以AB为直径的 圆E的半径，且EHl，因
5、 而圆E和准线l相切设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂 线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则AFAD，BFBCAB AFBF ADBC=2EH分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴；另一种是直线与 抛物线相切 判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的 对称轴平行相交（一个交点）计 算 判 别 式0=00 分析:直线与抛物线没有公 共点时1,当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值当直线与抛物线相切时取得.其值 为1变式二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数 的最
6、值变式三:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y 的最值.本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时 斜率的最值问题.本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值 问题.无最大值xyBAFO解：因为直线AB过定点F且不与x轴平行,设直线AB的方程为xyBAFO探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光
7、能转化为热能 的理论依据。例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一 部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯 口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线 的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截 面所在平面建立直角坐标系，使 反光镜的顶点与原点重合，x轴 垂直于灯口直径。AB设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点A的坐标是（ 40，30），代入方程可得所求的标准方程为焦点坐标为24l例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少？xoA Ay若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥 ？思考题2BA（2,2）
8、x2=2yB（1，y） y=0.5 B到水面的距离为1.5米不能安全通过y=3代入得例题3xyBAFO例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M（， ），求它 的标准方程，并用描点法画出图形。因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐 标原点，并且经过点M（， ），解：所以设方程为：又因为点M在抛物线上：所以：因此所求抛物线标准方程为：（三）、例题讲解：作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234y(2)描点：(3)连线：11xyO课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(5,-4).例4,已知
9、直线x-y=2与抛物线 交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是 。(三）、课堂练习：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 .2、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线 上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为 。5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线 上的一动 点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为6、已知Q(4,0)，P为抛物线 上任一点， 则|PQ|的最小值为( )A. B. C. D.BC例2：已知抛物线的顶点在坐标原点，对 称轴为 相交的公共 弦等于 ，求这条抛物线的方程 xyBAFO
