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1、第八讲 假设检验一、基本概念二、Neyman-Pearson 引理三、一致最优势检验一、基本概念在自然科学和社会科学等中，常常要对某些重要问题做出回答：是或否。如月球比地球 早形成吗？ 一种新药对某种病有效吗？ 某种股票会张吗？新推出的电视节目收视率高吗？等等。为了回答这些问题，我们需要对感兴趣的问题进行试验或观察获得相关数据，根据这些数据决定是或否的过程称为假设检验。 (Hypothesis Testing)在这节，给出一般的Neyman-Pearson假设检验构架。原假设和备择假设布或关于参数 的推测，称为假设，其中 是 的非空真子集。在一个假设检验中，常涉及两个假设。所要检验的假设称为原
2、假设或零假设，记为 。而与 不相容的假设，称为备择假设或对立 假设，记为 。对参数统计模型 而言，原假设和备择假设这对矛盾的统一体称为假设检验问题。在假设检验问题中，不相交的非空子集，一定成立。保留这个的灵活性，不仅是理论的 需要，也有其实际意义。则称 为简单假设(Simple Hypothesis)， 否则称为复合假设(Composite Hypothesis)，对备择假设也有 简单假设和复合假设。拒绝域、接受域、检验统计量和检验函数检验一个假设，就是根据某一法则在原假设和备择假设之间做出选择，而基于样本做出拒绝 或接受 所依赖的法则称为检验。这样一个检验就等同于将样本空间分成 两个互不相交
3、的子集 和 ， 绝 ，称 为拒绝域，(Rejection Region)称为接受域(Acceptance Region)。 这样检验和拒绝域就建立起一一对应关系。为了确定拒绝域，往往根据问题的直观背景，寻找合适的统计量 ，要能由统计量 确定出拒绝域 ，这样的统 计量 称为检验统计量(Test Statistic)。为了便于描述拒绝域及数学理论上的需要， 有必要引入函数它是拒绝于上的示性函数，称其为检验函数。种检验函数也称为非随机化的， 而随机化的检验函数的定义是：这在随机化检验时，有了样本 后，计算 若两类错误、功效和功效函数 由于样本时随机的， 进行检验时可能犯 两类错误，其一是当 为真时，
4、却拒绝 ， 称为第一类错误， 其概率为其二是当 为假时，却接受 ， 称为第二类错误，其概率为定义8.1 一个检验的功效(Power)定义为当 假时拒绝 的概率，即而第一类错误和功效可以看成函数的不同取值，这个函数称为功效函数。 (Power Function)检验的水平当样本容量 固定时，要减少犯第一类错误的概率，就会增大犯第二类错误的概率；反之，若要减少犯第二类错误的概率，就会增大犯第一类错误的概率。即就是说当样本容量固定时，不可能同时减少犯两类错误的概率， 这是一对不可调和的矛盾。Neyman-Pearson检验原理就是控制犯第一类错误的概率在给定的范围内，寻找检验使得犯第二类错误的概率尽
5、可能的小，即就是使检验的功效尽可能的大。这样就是在给定一个较小的数 (一般取为0.01,0.05,0.1等)，在满足的检验函数类中，寻找使得功效尽可能大的检验函数。则称 是一个水 平( Level)为 的检验。 根据这个定义， 水平不唯一。若 是水平 为 的检验，则对任何满足 的 ， 也是水平为 的检验。称为检验 的大小(Size)或真实水平。实用上当提到一个检验的水平时，一般是 指它的真实水平。二、 Neyman-Pearson 引理设统计模型为 ，考虑检验问题比检验(Likelihood Ratio Test)。对较大 拒绝原假设 的检验称为似然定义似然比(Likelihood Ratio
6、)为是统计量。在这节，我们先讨论简单原假设对简单备择假设的检验问题，设统计模型为 ，下节讨论较复杂的检验问题。即参数空间仅包含两个参数，所考虑的检验问题为比较两个检验 的优劣的一个自然（1）的准则就是比较它们功效的大小。若根据这点我们有所谓最优的检验定义如下。定义8.2 在检验问题(1)中，的检验，有成立， (Most Powerful Test)最优功效检验， 简记为MPT。对于检验问题(1)，下面的N-P引理不但彻底解决了检验问题(1) 的 而且还给出了构造MPT检验的方法。虽然这个引理仅针对检验问题(1)， 但它对解决复合假设检验问题最优检验的存在 起到非常重要的作用。似然比为MPT的存
7、在问题，规定：就检验问题(1)，(1)满足（2）（3）(2)引理8.1(Neyman-Pearson引理)注:（1）MPT的检验统计量可取为非随机化的形式这说明此种情形下引理的证明可参看高等统计学(郑忠国)。（2）MPT的检验统计量具有形式由于没有给出N-P引理的证明， 关于具有这种形式的原因解释如下：（5）MPT的检验 统计量未必具有形式如果对给定的 ，存在k恰有（6）则MPT的检验统计量具有形式(6)，即具有形为 的拒绝域。的分布函数是阶梯函数，但由于故可能不存在k使得成立， 却只能找到k有就有必要改变可令注意这样的做法是合适的， 仍具有N-P引理中MPT的形式。从而可得所待定的r为由于即
8、因此此时的水平为 的MPT是随机检验，检验统计量具有式(5)。由于当 时，所以式(5)更具一般性，包括了式(6)。例8.1的简单样本。求检验问题解由N-P引理知，MPT的拒绝域具有形式似然比统计量为由于故有这样拒绝域为 。注意这个例子的MPT仅与水平 有关，而与备择假设中 的具体取值无关，只要 。作为课后练习，试求原假设不变而备择假设改为 时的MPT。例8.2样本，试求检验问题解 似然比统计量为调减函数。 根据N-P引理，水平为 的MPT为例如取 ，若给定则由Poisson分布表，有从而可取k=5， 因此有故水平为 的MPT的检验统计量为拒绝原假设；当 时，则接受原假设；当时，做一次成功概率为0.548384的Binomial试验，若试验成功，则拒绝原假设， 若试验失败，则接受原假设。这样当抽样所得的 ，
