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1、第一节 三重积分一、三重积分的概念与性质二、直角坐标下三重积分的计算一、三重积分的概念与性质设 是空间有界闭区域 上的有界函数，将闭区域任意分成n个小闭区域其中 表示第 个k 小闭区域，也表示它的体积, 在每个上任取一点作乘积1.概念并作和, 如果当各小闭区域的直径中的最大值d趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 在闭区域 上的三重积分，记为即(1) 三重积分的存在性：(2) 三重积分没有几何意义，但有物理意义.注意：性质 (线性性质)性质2 (对区域具有可加性)2.性质性质性质则有若在D上有(3) 绝对可积性若在D上有则有(2) 单调性(1) 正性性质7（三重积分中值定理）性质（估
2、值不等式）1. 坐标面投影法(穿针法)（先一后二）二、直角坐标下三重积分的计算如图，直角坐标系中将三重积分化为三次积分得称为“先z、再y、后x”的积分次序。（1）投影确定 在xoy面的投影区域D（2）穿针在D内任意点作平行于z轴的直线穿过立体，确定穿入与穿出面的方程。（3）化为累次积分依据前二步先把三重积分化为一个定积分和一个二重积分，进而化为三个定积分。注：1.上述计算三重积分的方法称为“先一后二”法或形象称为“穿针法”，主要有三个过程完成：与立体的边界曲面相交不多于两点，若相交多于两点要对立体分块。3. 若D为Y型区域，这时积分可化为“先z、再x、后y”的积分次序。2. 上述方法要求平行z
3、轴且穿过立体的直线解故 ：解如图，例3 将 化为直角坐标系下的三次积分，其中 是由平面 xyz1，xy1，x0，y0，z1围成的区域。 的下底是xyz1，上底是z1，解 的投影 是x+y=1，x=0，y=0围成的三角形域，4. 在应用穿针法时还可选择平行于x轴或y轴的直线，这时三重积分还可化为另外四种次序的累次积分。解如图,练习1. 计算 ，其中 是由平面围成的闭区域。2、坐标轴投影法(切片法或先二后一) (4)最后计算单积分即得三重积分值.坐标轴投影法(切片法)的一般步骤: 这种方法实质上就是两步:第二步就是对此结果再计算一个定积分。因此此方法也称为“先二后一”法，或切片法。同样道理如果用平
4、行于yoz或xoz的平面截立体可得三重积分的其它几种次序。第一步就是先固定z，计算二重积分2、穿针法：解故原式总结： 从以上例题可以看出，下列两种情况下常用 切片法：1. 被积函数是含有一个自变量的一元函数。2. 切片的形状简单，面积容易求出。练习： 计算三重积分 其中 是由椭球面 围成的空间闭区域.解解故原式解根据对称性可得3、利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性； 、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性补充：利用对称性化简三重积分计算、积分区域关于某一个坐标面，如XOY面 的对称。 、被积函数在积分区域上关于上述坐标面之外 的另一个坐标是奇函数。 3、被积函数在积分区域上关于上述坐标面之外 的另一个坐标是偶函数。对于如下三条：若1、2成立，则三重积分值为0；若1、3成立，则三重积分值2倍变。解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是 的奇函数,例8解三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结对称性简化运算思考题练 习 题练习题答案
