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1、数学大观Taylor公式与科学计算Taylor公式与科学计算 (1)Taylor公式微积分顶峰(2)计算机如何实现导数的计算(3)数值计算精度分析(4)计算机实现导数计算存在的问题(5) Taylor公式解决问题(6)李查逊外推（Richardson）()李查逊外推应用()思考题Taylor公式：微分学顶峰函数用常数（极限代替），误差是无穷小函数用一次多项式逼近，产生的误差是高阶无穷小应用举例：用多项式逼近函数三角函数表哪里来？aylor 公式应用举例：用多项式逼近函数应用举例：用多项式逼近函数应用举例：用多项式逼近函数应用举例：罗必达法则 发明罗必达法则求极限 If 分子分母是多项式: 享受
2、幸运!约分! Else,创造幸运: 化成多项式(凌波微步)再约 分! 导数的数学定义与数值计算导数的数学定义计算机实现导数的计算计算机无法 实现无限次计算解决问题办法是近似计算， 有限次逼近无限次运算数值计算精度分析计算精度分析无穷小阶描述数学问 题重要工具，不需要 精确数学表达式，仅 需要对整体有个估计h越小，近似计 算的精度越高计算实例计算实例与存在的问题h 逼近值值 逼近误误差2 0.3360 -0.0124471 0.3564 -0.0028470.2 0.3535 0.0000530.1 0.3530 0.0005530.02 0.3550 -0.0014470.01 0.3500
3、0.0035530.002 0.3500 0.0035530.0010.30000.0535530.00020.3000-0.146447注意到一个现象： (1) 从表中看出 h=0.2时候计 算效果最佳(2) 取得比 h=0.2 小时计算的 效果越来越差实验结果与数学分析 结论完全不一致！透过现象看本质！数值运算误差的初步分析 定义：假设 为整数 ，如果 则称 有n位有效数 字。的近似值值 具有5位有效数字 例1 ：结论：有效数字是从第一位不等于0的数算起！ 数值运算误差的初步分析求两个实根，保留小数点后面位b没起作用， “大数吃小数”!数值运算误差的初步分析方法和方法哪个更精确？数值运算误
4、差的初步分析两个相近的数相减有效数字会严重损失！寻求补救办法！Taylor公式解决问题Taylor公式解决问题看到 解决 问题 希望Taylor公式解决问题将上述方法推广到一般情况数学归纳法，善于归纳一般结论Taylor公式与导数计算计算过程分析(6)(9)(3)(5)(8)(10)(1)(2)(4)(7)计算过程相当于 半二次循环！Taylor公式解决问题计算 的一阶导数值，实验结果如下： 0.0128696.6346914623.4601726625.3455055625.33342260.0064641.7538023625.2276722625.33361440.0032629.359
5、2047635.32699020.0016626.3350438李查逊外推（Richardson）李查逊外推（Richardson）假设 逼近 有渐进展开的形式：善于提炼 一般性问 题，透过 现象 看本质外推法和割圆术设圆的内接正n边形面积为由Taylor展开从而外推法和割圆术其截断误差为 ，令其截断误差为 ，令外推法和割圆术其截断误差为 ，最后得到Richardson外推公式 外推法和割圆术表格比较了外推法和常规方法12896-806448403224n215606374275345741605275423460160734816276n1可以看到对逼近精度为 时，用Richardson 外
6、推方法仅需计算圆的内接80正边形面积，而 用常规公式经需要内接7542边形，在逼近精度 为 时， Richardson 外推法的优势更明显.外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术外推法和割圆术Richardson外推法计算圆周率快速的提高 了计算精度，尤其在高精度逼近时其收敛 速度是常规方法无法比拟的。进一步思考(1) 有效控制舍入误差是科学计算面临一个重要 的研究课题（复杂计算过程中舍入误差的传播 ） (2) Taylor在科学计算中是构造高精度计算方法 的重要工具（数值积分外推，有限元外推计算 等） 作业 ()设计计算圆周率的外推公式并实现 ()设计二阶导数计算的外推公式
7、并实现数学实验: 多项式逼近 sin(x)2018/8/2科学计算研究的意义科学计算的兴起是20世纪后半叶最重要的科技进步之一。 计算与理论及实验相并列，已经成为当今世界科学活动的第三种 手段。 科学计算正在向大规模和高性能发展，要达到“全物理、全系统 、三维、高分辨、高逼真”的数值模拟，研究高效的计算方法至 关重要。 大规模计算提出的世界性难题已形成科学计算的学科前沿。 求解由实际问题得到的复杂的偏微分方程不仅计算规模大，更由 于非线性、多尺度、长时间、不适定、多区域、高病态等特点使 计算格外困难。 本讲将通过导数的数值计算，详细阐述Taylor公式在科学计算中 的作用。使得学生对科学计算有初步认识，拓展学生的知识面。 数值运算误差的初步分析 用计算机表示任何数字只能是有限位，计算机 实现任何运算都会有舍入误差，在科学计算中 必须充分重视舍入误差对计算结果的影响，这 也是科学计算重要而十分艰难的重要研究课题 。 因此在计算机计算的过程中应该避免两个相近 数字的减法运算。任何一个工程或者科学问题 ，其数值计算的次数是巨大和海量的，我们必 须设计有效的算法控制舍入误差的传播。
