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1、陈 静 2004. 08第5章 现代控制技术在经典控制理论中，用传递函数模型来设计和分析单输入单输出系统，但传递函数模型只能反映出系统的输出变量与输入变量之间的关系 ，而不能了解系统内部的变化情况。在现代控制理论中，用状态空间模 型来设计和分析多输入多输出系统，便于计算机求解，同时也为多变量 系统的分析研究提供了有力的工具。 5.1 状态空间的输出反馈设计法5.2 状态空间的极点配置设计法陈 静 2004. 08注意，此处书上有误 ！注意，此处书上有误 ！线性定常系统被控对象的连续状态方程为：式中，x(t)是n维状态向量； u(t)是r维控制向量； y(t)是n维输出向量； A是nxn维状态矩
2、阵； B是r维控制矩阵； C是mxn维输出矩阵。采用状态空间的输出反馈设计法的目的是：利用状态空间表达式，设计出数字控制器D(z)，使多变量计算机控制系统满足所需要的性能指标。5.1 采用状态空间的输出反馈设计法陈 静 2004. 08在控制器D(z)的作用下，系统输出y(t)经过N次采样(N拍)后，跟踪参考输入函数r(t)的瞬变响应时间为最小，这就是系统的性能指标。设系统的闭环结构形式如图5-1所示。假设参考输入函数r(t)是m维阶跃函数向量，即先找出在D(z)的作用下，输出是最少N拍跟踪输入的条件。设计是，应首先把被控对象离散化，用离散状态空间方程表示被控对象。5.1 采用状态空间的输出反
3、馈设计法陈 静 2004. 085.1 采用状态空间的输出反馈设计法5.1.1 连续状态方程的离散化5.1.2 5.1.2 最少拍无纹波系统的跟踪条件最少拍无纹波系统的跟踪条件5.1.3 5.1.3 输出反馈设计法的设计步骤输出反馈设计法的设计步骤陈 静 2004. 08在u(t)的作用下，式(5.1.1)的解为是被控对象的状态转移矩阵，x(t0)是初始状态向量。若已知被控对象的前面有一零阶保持器，即 u(t)=u(k),kTt(k+1)T (5.1.4)其中，T为采样周期，现在要求将连续被控对象模型连同零阶保持器一起进行离散化。5.1.1 连续状态方程的离散化陈 静 2004. 08在式(5
4、.1.3)中，令t0=kT,t=(k+1)T,同时考虑到零阶保持器的作用，则式(5.1.3)变为若令t=kT+T-z,则上式化为式(5.1.6)即为(5.1.1)的离散状态方程，由此可见离散化的关键是求式(5.1.7)中的F和G 。5.1.1 连续状态方程的离散化陈 静 2004. 08关于状态转移矩阵的求法：2. Cayley-Hamilton法3. 拉普拉斯法1. 直接法4. 变换A为对角矩阵5. 变换A为约当型矩阵6. 变换A为模式矩阵5.1.1 连续状态方程的离散化陈 静 2004. 08由(5.1.1)的输出方程可知，y(t)以最少N拍跟踪参考输入r(t)，必须满 足条件但按此条件设
5、计的系统是有纹波系统，为设计无纹波系统，还必须满 足条件这是因为在NTt(N+1)T的间隔内，控制信号u(t)=u(N)为常向量，由(5.1.1)知,当 时，则在NTt(N+1)T的间隔内x(t)=x(N),而且不改变即若使tNT时的控制信号满足5.1.2 最少拍无纹波系统的跟踪条件陈 静 2004. 08此时，x(t)=x(N)且保持不变，使条件(5.1.8)对tNT时始终满足下式式(5.1.8)确定的跟踪条件为m个，式(5.1.9)确定的附加条件为n个，为满足式(5.1.8)和 (5.1.9)组成的(m+n)个跟踪条件，(N+1)个r维的控制向量u(0),u(1), ,u(N)必须至少提供
6、(m+n)个控制参数，即最少拍数N应取满足式(5.1.12)的最小整数。5.1.2 最少拍无纹波系统的跟踪条件陈 静 2004. 081.将连续状态方程进行离散化 2.求满足跟踪和附加条件的控制序列的z变换U(z)被控对象的离散状态方程式(5.1.6)的解为对于由(5.1.1)给出的被控对象的连续状态方程，用采样周期T对其进 行离散化，通过计算式(5.1.7),可求得离散状态方程式(5.1.6).被控对象在N步控制信号u(0)u(1) u(N-1)作用下的状态为5.1.3 输出反馈设计法的设计步骤陈 静 2004. 08假定系统的初始条件x(0)=0,则有 用分块矩阵形式来表示，得到根据条件式
7、(5.1.8)有5.1.3 输出反馈设计法的设计步骤陈 静 2004. 08再由条件(5.1.9)和(5.1.1)知 或将式(5.1.14)代入上式，得5.1.3 输出反馈设计法的设计步骤陈 静 2004. 08由式(5.1.15)和(5.1.16)可以组成确定(N+1)个控制序列u(0)u(1) u(N) 的统一方程组为 当k=N时，控制信号应满足 u(k)=u(N)=P(N)r0(kN) 这样就求得了控制序列u(k),其Z变换为设方程(5.1.17)有解，并设解为5.1.3 输出反馈设计法的设计步骤陈 静 2004. 083.求误差序列e(k)的Z变换E(z)设x(0)=0,将(5.1.1
8、3)代入上式得误差向量为则e(k)的Z变换为再将(5.1.18)代入上式，则5.1.3 输出反馈设计法的设计步骤陈 静 2004. 08式中 ，因为满足跟踪条件式(5.1.8)和附加条件式5.1.9)，即当kN时，误差信号应消失，因此4.求控制器的脉冲传递函数D(z)根据式(5.1.19)和(5.1.20)可求得D(z)为5.1.3 输出反馈设计法的设计步骤陈 静 2004. 08例5.1设二阶单输入单输出系统，其状态方程为采样周期T=1秒，试设计最少拍无纹波控制器D(Z).求解过程5.1.3 输出反馈设计法的设计步骤陈 静 2004. 08在计算机控制系统中，除了使用输出反馈控制外，还较多地
9、使用状态反馈控制，因为由状态输入就可以完全地确定系统的未来行为。图5-2给出了计算机控制系统的典型结构。在5.1.1节中，讨论了连续被控对象同零阶保持器一起进行离散化的问题，同时忽略数字控制器的量化效应，则图5-2可以简化为图5-3所示的离散系统。5.2 采用状态空间的极点配置设计法陈 静 2004. 08下面按离散系统的情况来讨论控制器的设计。本节讨论利用状态反馈的极点配置方法来进行设计控制规律，首先讨论调节系统(r(k)=0)的情况，然后讨论跟踪系统，即如何引入外界参考输入r(k)。按极点配置设计的控制器通常有两部分组成。一部分是状态观测器，它根据所量测到的输出量y(k) 重构出全部状态
10、,另一部分是控制规律，它直接反馈重构的全部状态。图5-4给出了调节系统的情况（即r(k)=0)。5.2 采用状态空间的极点配置设计法陈 静 2004. 085.2 采用状态空间的极点配置设计法5.2.1 按极点配置设计控制规律5.2.2 5.2.2 按极点配置设计状态观测器按极点配置设计状态观测器5.2.3 5.2.3 按极点配置设计控制器按极点配置设计控制器5.2.4 跟踪系统设计态空间的极点配置设计法陈 静 2004. 08为了按极点配置设计控制规律，暂设控制规律反馈的是实际对象的全部状态，而不是重构的状态，如图5-5所示。设连续被控对象的状态方程为由5.1.1节知，相应的离散状态方程为5
11、.2.1 按极点配置设计控制规律陈 静 2004. 08若图5-5中的控制规律为线性状态反馈，即则要设计出反馈控制规律L，以使闭环系统具有所需要的极点配置。将式(5.2.4)代入式(5.2.2)得到闭环系统的状态方程为显然，闭环系统的特征方程为设给定所需要的闭环系统的极点为zi(i=1,2,n),则很容易求得所要求的 闭环系统的特征方程为5.2.1 按极点配置设计控制规律陈 静 2004. 08由式(5.2.6)和式(5.2.7)可知，反馈控制规律应满足如下的方程将上式的行列式展开，并比较两边z的同次幂的系数，则一共可得到n个代数方程。对于单输入的情况，L中未知元素的个数与方程的个数相等，因此
12、一般情况下可获得L的唯一解。而对于多输入的情况，仅根据式(5.2.8)并不能完全确定L，设计计算比较复杂，这时需同时附加其他的限制条件才能完全确定L。本节只讨论单输入的情况。可以证明，对于任意的极点配置，L具有唯一解的充分必要条件是被控对象完全能控，即5.2.1 按极点配置设计控制规律陈 静 2004. 08这个结论的物理意义也是很明显的，只有当系统的所有状态都是能控的，才能通过适当的状态反馈控制，使得闭环系统的极点配置在任意指定 的位置。由于人们对于S平面中的极点分布与系统性能的关系比较熟悉，因此可首先根据相应连续系统性能指标的要求来给定S平面中的极点，然后再根据 的关系求得Z平面中的极点分
13、布，其中T为采样周期。 例5.2 被控对象 , 采样周期T为0.1s，采用零阶保持器。要求闭环系统的动态响应相当于阻尼系数为0.5，无阻尼自然振荡频率3.6的二阶连续系统，用极点配置方法设计状态反馈控制规律L，并求u(k).求解过程5.2.1 按极点配置设计控制规律陈 静 2004. 08常用的状态观测器有三种：预报观测器、现时观测器和降阶观测器。1、预报观测器常用的观测器方程为5.2.2 按极点配置设计状态观测器其结构如图5-6所示。设计观测器的关键在于如何合理地选择观测器的增益矩阵K，定义状态 重构误差为陈 静 2004. 08因此，如果选择K使系统(5.2.14)渐进稳定，那么重构误差必
14、定回收敛到零，即使系统式(5.2.2)是不稳定的，在重构中引入观测量反馈，也能使误差趋于零。式(5.2.14)称为观测器的误差动态方程，该式表明，可以通过选择K，使状态重构误差动态方程的极点配置在期望的位置上。 如果出现观测器期望的极点zi(I=1,2,n),那么求得观测器期望的特征方程为由式(5.2.14)可得观测器的特征方程为5.2.2 按极点配置设计状态观测器陈 静 2004. 08为了获得期望的状态重构性能，由式(5.2.15)和式(5.2.16)可得对于单输入单输出系统，通过比较式(5.2.17)两边z的同幂次系数，可求得K中n个未知数。对于任意的极点配置，K具有唯一解的充分必要条件
15、是系统完全能观，即5.2.2 按极点配置设计状态观测器陈 静 2004. 082、现时观测器当(k+1)T时刻的状态重构x(k+1)用到了现时刻的量测量y(k+1)，因此式(5.2.19)称为现时观测器。5.2.2 按极点配置设计状态观测器由式(5.2.2)和(5.2.19)可得状态重构误差为陈 静 2004. 08从而求得现时观测器状态重构误差的特征方程为同样，为了获得期望的状态重构性能，可由下式确定K的值系统必须完全能观时才能求得唯一的K。5.2.2 按极点配置设计状态观测器预报和现时观测器都是根据输出量重构全部状态，即观 测器的阶数等于状态的个数，因此称为全阶观测器。陈 静 2004.
16、083、降阶观测器实际系统中，所能量测到的y(k)中，已直接给出了一部分状态变量这部分状态变量不必通过估计获得。因此只要估计其余的状态变量就可以了，这种阶数低于全阶的观测器称为降阶观测器。 将原状态变量分成两部分 ，即其中，xa(k)是能够量测到的部分状态， xb(k)是需要重构的部分状态 。由此，原被控对象的状态方程(5.2.2)可以分块写成5.2.2 按极点配置设计状态观测器陈 静 2004. 08将上式展开并写成比较式(5.2.25)与式(5.2.2)，可得如下的关系5.2.2 按极点配置设计状态观测器陈 静 2004. 08参考预报观测器方程式(5.2.12),可以写出相应于式(5.2.25)的观测器 方程为上式便是根据已量
