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1、第一节 数列的极限极限重要的研究方法数列的极限函数的极限函数的连续性本章：本节：数列极限的定义是什么？有极限（收敛）的数列具有哪些性质？如何判断一个数列有极限（收敛）？第二章 极限与连续数列的定义例如其中的每个数称为为数列的项项,为为通项项(一般项项). 数列(1)记为记为注：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积引例1、割圆术：刘徽刘徽(约225 295 年) 我国古代魏末晋初的杰出数学家.他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ”它包含了
2、“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想 . 的方法 :数列的极限问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?通过观察:问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.定义: 如果对于任意给定的正数 (不论论它多么小), 总总存在, 使得当时时， 均有 成立 则则称 是 的极限,收敛敛于 ，或记记作或如果数列没有极限,就说数列是发散的.几何解释:例如：趋势不定收 敛发 散数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注：例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.关键: 对应任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.例3证收敛数列的性质 1.收敛数列的极限唯一.
3、证: 用反证法.假设且取故存在 N1 , 使当 n N1 时, 从而故存在 N2 , 使当 n N2 时, 从而则当 n N 时, 矛盾!因此 数列是发散的. 2. 收敛数列一定有界 . 证: 设取则当时, 有从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.反之不成立，即 ：有界数列未必收敛。注：无界数列必定发散。（逆否命题）数列有界例如,有界无界几何解释:3.收敛数列的保号性.若且时, 有证: 对 a 0 , 取推论:若数列从某项起(用反证法证明)思考题思考题解答不能保证.例有4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极限 或有一个子数列发散,例如， 发散
4、 !则原数列一定发散 .注: *4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证: 设数列是数列的任一子数列 .若则当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛数列的性质1.收敛数列的极限唯一.2.收敛数列一定有界.3.收敛数列具有保号性.4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .极限存在准则1.夹逼准则上两式同时成立,证例1解由夹逼定理得2.单调有界准则几何解释:准则则 单调单调 有界数列必有极限.例2证(舍去)不妨设为五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.极限存在准则：夹逼准则；单调有界准则思考已知, 求下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处练 习 题
