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1、35 线性系统的稳定性分析一、稳定性的概念稳定性定义q系统稳定的定义q特点二、线性系统稳定的充要条件（s s）(t)k(t) 线性系统稳定的数学表示系统自身的固有特性，与初始条件及外作用无关系统自身的固有特性，与初始条件及外作用无关。1闭环传递函数：要使 成立，系统的全部特征根必须具有负实部。 线性系统稳定的充要条件2线性系统稳定的充要条件：闭环闭环系统特征方程的所特征方程的所有根有根均具有负实部负实部；或者说，闭环闭环传递函数的全部极点全部极点均严格位于左半左半s s平面平面。 系统不稳定不稳定 临界稳定临界稳定0j-1-2-30j-1-2-3+ + + + + + +3三、劳斯判据(Rou
2、th判据) 劳斯稳定判据线性系统的特征方程为： 线性系统稳定的充要条件充要条件： 线性系统稳定的必要条件必要条件：特征方程中各项系数为正。劳斯表劳斯表中第一列各值都为正。4 劳斯表snsn-1sn-2sn-3sn-4s0s1s2.5关于劳斯判据的几点说明如果第一列中出现一个小于零的值，系统就不不稳定稳定；如果第一列中有等于零的值，系统可能处于临临界稳定界稳定状态；第一列中数据符号改变的次数符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目正实部根的数目，即系统中不稳定根的个数。6例 设系统特征方程为：试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解 劳斯表如下：结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。7
3、【练1：】系统动态结构图如图所示，试求系统稳定时k的稳定域。R(s)C(s)28劳斯表 劳斯稳定判据的特殊情况劳斯表中某一行的第一列为零结论：劳斯表第一列元素变号两次，系统不稳定不稳定，且有两两个 正实部的特征根。为一很 小的正数9劳斯表中出现全零行辅助方程F(s)=0系数 F(s)=s43s24=0辅助方程F (s)=0系数 F(s)=4s36s=0方程中出现大小相等方向相反的根的个数为4个。4 6 0 1.5 4 16.7 0 410roots(1 1 -2 -3 -7 -4 -4)ans =2.0000 -2.0000 -0.0000 + 1.0000i-0.0000 - 1.0000i
4、-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660iMatlab求解：11劳斯表中出现全零行意味着特征方程中有一些大小相 等、符号相反的根。 这类根的个数这类根的值辅助方程的阶次；辅助方程的解。【练2：】单位反馈系统的开环传递函数为：要求确定引起闭环系统持续振荡时的k值和响应的振荡频率。【k=662，=4】12四、劳斯稳定判据的应用0j-1-2-3 主要用来判定系统的稳定性； 判定系统特征根是否全部位于s= -a之左。【估计稳定裕度】s =-aD(s)=0s1=s+a D(s1)=0Routh判据特征根的位置是否 位于s=-a之左 确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。
5、【确 定参数范围】13【练3：】单位反馈系统的开环传递函数为：若要求闭环极点的实部均小于-1，问k应在什么范围取值？【5/90）15小 结四、劳斯稳定判据的应用一、线性系统稳定性的定义二、线性系统稳定的充要条件三、劳斯代数稳定判据判断系统稳定性的一般步骤：1.写出系统的特征方程2.用系统稳定性的必要条件进行判定；3.列劳斯表或计算赫尔维茨行列式的值；4.根据判据判断系统的稳定性。 161、稳态误差的定义；2、稳态误差的一般计算方法；3、静态误差系数法；4、动态误差系数法；5、扰动作用下的稳态误差计算。3-6 线性系统的稳态误差分析17一、稳态误差的定义G(s)H(s)R(s)C(s)B(s)E
6、(s) 误差的定义从系统输出端定义： 误差e(t)希望值cr(t)实际值c(t)E(s)CR(s)C(s)在实际系统中无法测 量，因此只具有数学 意义。从系统输入端定义： 误差e(t) 输入量r(t)反馈值b(t) E(s)R(s)B(s)=R(s)C(s)H(s)在实际系统中可以测 量，具有明确的物理 意义。CR(s)：检测信号在E(s)=0时的输出。18 稳态误差的定义稳定系统误差的终值（即误差的稳态分量在稳定系统误差的终值（即误差的稳态分量在t t时的数值）。时的数值）。记作：记作： e essss( ( ) )，简记为：，简记为： e essss。即：。即：当sEsE( (s s) )
7、极点均位于极点均位于s s左半平面（包括坐标原点）左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换终值定理，有两种定义方式下误差E(s)与E(s)的关系：EE( (s s)=)=E E( (s s) ) / / HH( (s s) )二、稳态误差的一般计算方法终值定理法当系统为单位反馈系统时, E(s)E(s)。误差：e(t)=ets(t)+ess(t)稳态分量稳态分量19例 设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=1/Ts，输入信号为r(t)=t2/2时，试求控制系统的稳态误差。解 误差信号的拉氏变换为：当输入信号为r(t)=t2/2时，R(s)=1/s3。E(s)满足拉氏变换终值定理的条件，从而
8、有若输入信号为正弦信号呢？20对于稳定的线性系统，当输入信号输入信号为阶跃阶跃信号、斜坡斜坡信号、加速度加速度信号，或者这些信号的线性组合线性组合时，可以用拉氏 变换的终值定理终值定理来求稳态误差。只要满足终值定理的条件，则稳态误差为：误差传递函数:三、典型输入信号作用下的稳态误差静态误差系数法G(s)H(s)R(s)C(s)B(s)E(s)21K系统的开环放大倍数; 系统的开环积分环节数目开环传递函数:（尾（尾1 1型）型）=0的系统，叫0型系统；=1的系统，叫I型系统；=2的系统，叫II型系统；=3的系统，叫III型系统。又称为系统型别系统型别。22开环传递函数:控制系统的稳态误差与系统的
9、输入信号输入信号、开环增开环增 益益、开环积分环节数目开环积分环节数目有关。23典型输入作用下稳定系统的稳态误差结 论系统型别越 小，稳态误差 越大；系统开环增益越大，稳 态误差越小。要消除阶跃信号阶跃信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要 有一个积分环节。 要消除斜坡信号斜坡信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要 有两个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。但是，积分环节多会导致系统不稳定。24静态位置位置误差系数；静态速度速度误差系数；静态加速度加速度误差系数。 系统的静态误差系数输入作用下不同型别系统的静态误差系数25静态误差系数系 统 型 别典型输入信号作用下的稳态误差(
10、静态误差系数法)26静态误差系数法使用注意事项 系统必须是稳定稳定的，否则计算稳态误差没有意义； 静态误差系数法得到的结论仅适用于仅适用于几种典型输入信典型输入信号号作用下系统的稳态误差；不适用于干扰作用不适用于干扰作用下的稳态误差。 误差是按输入端定义按输入端定义的，即：E(s)=R(s)-B(s)。 上述公式中必须是系统的开环增益系统的开环增益，也即开环传递函数用“尾1型”表示时分子上的系数。 不能表示稳态误差随时间变化的规律稳态误差随时间变化的规律。27例 已知单位反馈系统的开环传递函数为试求输入信号为r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差。解 第一步：判别系统的稳定性（略）；第二步
11、：求系统的型别、开环增益；系统的型别为II，开环增益K=0.1第三步：求稳态误差。 r(t)=2时，ess=0 r(t)=2t时，ess=0 r(t)=t2时，ess=r/K=20从而得，ess=2028四、动态误差系数法拉氏反变换拉氏反变换泰勒级数展开泰勒级数展开其中Ci动态误差系数；（泰勒级数系数）输入信号的各阶导数。G(s)H(s)R(s)C(s)B(s)E(s)29实际做题时，常用“综合长除法综合长除法”来求系数Ci。具体方法为：（1）将开环传递函数G(s)H(s)代入 ；（2）将e(s)分子、分母按s的升幂排列；（3）进行长除，所得商也是s的升幂排列式，其各s项（s0、s1、s2)系
12、数依次为C0、C1、C2.。30例 设单位反馈控制系统的开环传递函数为若输入信号为r(t)=t2，试求系统的稳态误差ess(t)第一步：求误差传递函数e(s)，并按升幂排列；第二步：将传递函数e(s)用长除法求商得到系数Ci；第三步：求稳态误差解31五、扰动作用下的稳态误差误差传递函数： 法一：（一般方法） 法二：（利用从输入端对误差的定义，即：E(s)=R(s)-B(s) ）G1(s)G2(s)N(s)H(s)R(s)C(s)E(s)B(s)32作业及答案： P136：313 0k1.705 ;318 0、0、0 练习： P136： 315(1) 、;316(1) 50、0、033第三章 习
13、题课1、熟悉一阶、二阶系统的单位阶跃响应的求取方法；2、掌握掌握一阶系统和二阶系统欠阻尼情况下的性能指标 的计算方法；3、掌握掌握用代数稳定判据判定系统稳定性和确定系统参 数的稳定取值范围；4、了解高阶系统的近似计算分析方法；5、掌握掌握系统稳态误差的计算。一、基本要求34终值定理判稳稳态误差的定义时域分析法知识点及联系 误差的定义单位阶跃响应 表达式、图形充要条件 劳斯判据静态误差系数法一阶系统 标准式二阶系统 标准式闭环特征式稳定性系统开环传递函数判稳静态误 差系数G(s)H(s)R(s)C(s)单位阶跃响应 表达式、图形动态性能稳态误差稳快准35二、习题解析1、分别绘制图示各环节的单位阶
14、跃响应曲线的 示意图。R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)362、（习题3-5）设单位负反馈系统的开环传递函数为 ，试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。解：37383、设某系统结构图如图所示，若系统以固有频率n=2rad/s作等幅振荡，试确定振荡时的参数k和a。R(s)C(s)-等幅振荡临界稳 定状态无阻尼二阶系统一对纯虚根劳思表中有一全零行39劳思表：=0=0辅助方程辅助方程: :asas2 2+ +k k+1=0+1=0404、系统结构图如图所示，若要求单位斜坡输入下的稳态误差ess1，试确定K的取值范围。R(s)C(s)-分析（1）分析系统的稳定性；（利用Routh判据）0K30 （2）求稳态误差； （利用静态误差系数法）K55K3041
