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1、最小二乘法线性拟合朱刚强2010.03.0121n 在处理数据时，常要把实验获得的一 系列数据点描成曲线表反映物理量间的关 系。为了使曲线能代替数据点的分布规律 ，则要求所描曲线是平滑的，既要尽可能 使各数据点对称且均匀分布在曲线两侧。 由于目测有误差，所以，同一组数据点不 同的实验者可能描成几条不同的曲线(或 直线)，而且似乎都满足上述平滑的条件 。那么，究竟哪一条是最曲线呢？这一问 题就是“曲线拟合”问题。一般来说，“曲线 拟合”的任务有两个：2n一 是物理量y与x间的函数关系已经确定， 只有其中的常数未定（及具体形式未定） 时，根据数据点拟合出各常数的最佳值。n二 是在物理量y与x间函数
2、关系未知时，从 函数点拟合出y与x函数关系的经验公式以 及求出各个常数的最佳值。3解决问题的办法n寻找变量之间直线关系的方法很多。于是，再接 下来则是从众多方法中，寻找一种优良的方法， 运用方法去求出线性模型y=a+bx+u中的截距 a= ?；直线的斜率b= ? 正是是本章介绍的最小二 乘法。n所得直线可靠吗？怎样衡量所得直线的可靠性？n最后才是如何运用所得规律变量的线性关系 ？4最小二乘法产生的历史n最小二乘法最早称为回归分析法。由著名的 英国生物学家、统计学家道尔顿（F.Gallton ）达尔文的表弟所创。n早年，道尔顿致力于化学和遗传学领域的研 究。n他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间
3、的 关系时，建立了回归分析法。5父亲的身高与儿子的身高之间关系的研究n1889年F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集 了上千个家庭的身高、臂长和腿长的记录n企图寻找出儿子们身高与父亲们身高之间关 系的具体表现形式n下图是根据1078个家庭的调查所作的散点图 （略图）6n从图上虽可看出，个子高的父亲确有生出个子高 的儿子的倾向，同样地，个子低的父亲确有生出 个子低的儿子的倾向。得到的具体规律如下：n如此以来，高的伸进了天，低的缩入了地。他百 思不得其解，同时又发现某人种的平均身高是相 当稳定的。最后得到结论：儿子们的身高回复于 全体男子的平均身高，即“回归”见1889年 F.Gal
4、lton的论文普用回归定律。n后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律 7最小二乘法的地位与作用n现在回归分析法已远非道尔顿的本意，已经 成为探索变量之间关系最重要的方法，用以 找出变量之间关系的具体表现形式。n后来，回归分析法从其方法的数学原理 误差平方和最小出发，改称为最小二乘法。8最小二乘法的思路n1为了精确地描述Y与X之间的关系，必须使用 这两个变量的每一对观察值，才不至于以点概面 。n2Y与X之间是否是直线关系（协方差或相关系 数）？若是，将用一条直线描述它们之间的关系 。n3什么是最好？找出判断“最好”的原则。最好指的是找一条直线使得这些点到该直线的纵 向距离的和（平方和）最小。9
5、第一节 一元线性拟合10n1.已知函数为线性关系，其形式为：n y=a+bx （1）n式中a, b为要用实验数据确定的常数。此类方 程叫线性回归方程，方程中的待定常数a, b叫 线性回归系数。n由实验测得的数据是n x= x1, x2,. xn 时，n 对应的y值是y= y1,y2,.yn1. 函数形式已知数学推证过程11n由于实验数据总是存在着误差，所以，把各组数 据代入(1)式中，两边并不相等。相应的作图时， 数据点也并不能准确地落在公式对应的直线上， 如图所示。由图一还可以看出第i个数据点与直线 的偏差为：(1)n如果测量时，使x较之y的偏差很小，以致可以忽 略（即xi很小 ）时，我们可
6、以认为x的测量是准 确的，而数据的偏差，主要是y的偏差，因而有： 12n我们的目的是根据数据点确定回归常数a和b ，并且希望确定的a和b能使数据点尽量靠近 直线能使v尽量的小。由于偏差v大小不一， 有正有负，所以实际上只能希望总的偏差（ ）最小。n所谓最小二乘法就是这样一个法则，按照这 个法则，最好地拟合于各数据点的最佳曲线 应使各数据点与曲线偏差的平方和为最小。13n首先，求偏差平方和，将式两边平方后相 加，得： n显然， 是a, b的函数。按最小二乘法，当a, b选择适当，能使为最小时y=a+bx才是最佳 曲线。 由最小二乘法确定a和b 14n根据二元函数求极值法，把式对a和b分 别求出偏
7、导数。得： 15n令等于零，得：n解方程，得： n n 16n公式式中：n从不难求出对a, b的二阶偏导数为： 17n所以式求出的a, b可使为极小值。因而由a, b所确定的曲线y=a+bx就是用最小二乘法拟合 的最佳曲线。n由于已知函数形式为非线性时，可用变量代换 法“曲线改直”使函数变为线性关系，因而最小二 乘法就有更普遍的意义。182. 经验公式的线性回归函数形式未知 n由于经验公式的函数形式是未知的，因而 恰当地选择经验公式的函数形式就成了曲 线拟合中的重要问题。n在进行经验公式的回归时，必须先确定函 数的形式。确定函数形式一般是根据理论 的推断或者从实验数据的变化趋势来推测 判断。n
8、如根据实验得到的一组数据 （或其在x y坐标上的数据点）初步判断经验公式为 线性关系时，即可用最小二乘法按， 式求出b, a值，并进而拟合出直线的线性 关系式： y=a+bx 回归方程。193. 回归方程的精度和相关系数 n用最小二乘法确定a, b存在误差。n总结经验公式时，我们初步分析判断所假 定的函数关系是正确，为了解决这些问题 ，就需要讨论回归方程的精度和相关性。n为了估计回归方程的精度，进一步计算数 据点 偏离最佳直线y=a+bx的大小， 我们引入概念剩余标准差 ，它反映 着回归方程与各数据点的拟合程度。20n剩余标准差 n公式中：21nR称为相关系数。其值可正可负，一般有：na:当R
9、=1时， = ,即各数据点与最佳直线完全重合 。nb：0a是零结果，即a=0. n因此,I-U间为线性关系即所测电阻为一线性电阻。n由表二数据得回归方程为y=bx,即I=1.993u（mA）其 剩余标准差为 =0.06n而且: 31第二节 二元线性回归 n已知函数形式(或判断经验公式的函数形式)为式中，均为独立变量，故是二元线性回归。n若有实验数据： 32n对应的y值是 y= y1,y2,.yn。与一元线 性回归讨论方法类似，求出总偏差：n对a, b1和 b2求偏导数，并令其等于零后， 解方程则可得：33n公式中：34n 分别是y, x1和x2的算术平均值。同样 可证，由 式求出的b2,b1和
10、a所确定 的正是满足 最小二乘法最小条件的最 佳曲线。n相应的剩余标准差:其中:35n 成为全相关系数。且 . 愈 接近于1，则表示所得回归方程比较理想。反 之， 愈接近于0，则说明所得回归方 程没有多大的实际意义。n根据统计方法也可以求出b1,b2及a的标准误差 ，它们分别为:36第三节 非线性回归37设由实验获得了两个变量x,y的一组数据(xi, yi),且 由数据点在x，y坐标中的分布规律可以判断出两 个变量间成非线性关系。怎样用一条曲线（数学 关系式）才能最佳地代替数据点的分布规律呢？（1）根据数据点的分布尽可能准确地绘出一条曲线，并和已有确切数学表示式的曲线相比较，寻找合适的数学关系
11、式（2）进行变量替换，将 使非线性关系线性化，在38（3）用线性关系曲线拟合办法，求相关系数r，斜率B0 和截距A0，求出后反变换，就可计算出数学关系式中的常数,若 ，不能拟合成线性关系曲线，须重新寻找合适的数学关系式数据点的分布应是线性分布，可用来反映分布规律39函数关系式举例40非线性回归方程n步骤:(1) 确定函数的类型（如双曲线、指数曲线、对数曲线等）(2) 求解相关函数中的未知参数 曲线问题 直线问题（变量代换） 回归曲线 回归多项式直线问题-跟前面所讲一致，先计算相关系数R, 判断能否能 拟合线性关系曲线，若可以求最佳直线的斜率B，截距A，然 后再进行反变换，就可以计算出数学关系中的常数，最后得到 最佳曲线。41Back42160165170175180185140150160170180190200YX儿子们身高向着平均身高“回归”，以保持种族的稳定Back43XYBackYXBack44表二Xu(V)0.001.002.003.004.005.00 YI(mA)0.002.004.016.057.859.60 Xu(V)6.007.008.009.0010.00YI(mA)11.8313.7516.0218.1019.94表一Back45
