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1、离散系统的频域分析第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.5 离散傅里叶变换 (DFT) 6.6 DFT的性质 6.7 快速傅里叶变换(FFT)简介 6.8 离散系统的频域分析 离散系统的频域分析6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数对于一周期为T的连续周期信号f(t)，若满足狄里赫利条件，则可将f(t)展开成指数形式的傅立叶级数，即其中离散系统的频域分析对于一个周期为N的周期序列f(k)，有离散系统的频域分析6.1.1 离散时间傅里叶级数 Fn称为离散傅里 叶级数的系数； DFS正变换离散傅里叶级数展开 式，DFS反变换
2、离散系统的频域分析Fn也称为f(k)的频谱系数。通常Fn是一个关于n的复函数。Fn与f(k)构成离散信号DFS变换对。通常将Fn中的n从0到N-1取值的周期称为f(k)频谱的主值周期，或简称为主周期。离散系统的频域分析6.1.2 离散时间周期信号的频谱 图 6.1-1 周期性矩形脉冲序列 离散系统的频域分析n0, N, 2N, n=0, N, 2N, 离散系统的频域分析图 6.1-2 周期矩形脉冲序列的频谱（N1一样） 离散系统的频域分析图 6.1-3 周期矩形脉冲序列的频谱 （N一样）离散系统的频域分析离散周期信号频谱特点：离散的；周期的、周期为N。总结离散系统的频域分析由频谱图，可见：谱线
3、间隔可表示为：谱线第一零点：谱线最大强度：离散系统的频域分析由谱线图分析： 当N不变，N1变大时：谱线间隔不变，第1零点位置变小 当N1不变，N变大时：第1零点位置不变，谱线间隔变小即谱线变密集了当周期N无限增大直到无穷大时，周期信号非周期信号。离散系统的频域分析习题：已知周期序列如下图所示，求该信号的傅立叶级数Fn。 计算结果为：离散系统的频域分析6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换1、非周期信号的离散时间傅立叶变换DTFT连续非周期信号傅立叶变换定义为：离散系统的频域分析同样：上式为离散时间傅立叶正变换。F(ejw)称为f(k)的频谱密度函数，它是w的连续函数，且是w的周期函数，其周期为
4、2。而其反变换为：离散系统的频域分析注意：DTFT的定义式是一个无穷级数，只有当其收敛了，定义式才有意义。收敛条件(f(k)绝对可和)为：离散系统的频域分析以上节偶对称周期矩形脉冲序列为例求其傅立叶变换。离散系统的频域分析由上面结果可画出其频谱，由频谱图可见，非周期离散信号谱图特点：连续谱；周期谱，周期为2 。离散系统的频域分析四类信号应用的数学工具和其频谱特点信号数学工具频谱频谱连续周期傅立叶级数 CTFS(CFS)离散、非周期连续非周期傅立叶变换 CTFT(CCFT)连续、非周期离散周期DTFS(DFS)离散、周期离散非周期DTFT连续、周期离散系统的频域分析6.5 离散傅里叶变换(DFT
5、) 由于数字信号处理器只能处理离散信号，所以我们需要继续将离散时间序列进行频域离散化（即要找到依赖于离散时间变量到依赖于离散频率变量之间的一种映射关系）这就是D F T 的作用。离散系统的频域分析图 6.5-1 产生离散傅里叶变换对的图解说明 离散系统的频域分析结论总之，时域抽样的结果得到频率域的周期延拓，而频域上抽样的结果得到时间域的周期函数。离散系统的频域分析6.5.1 离散傅里叶变换DFT 假设有限长序列f(k)，其长度为N，将f(k)以周期为N延拓而成的周期序列fp(k)，记为f(k)N，则 离散系统的频域分析0nN-1 0kN-1 式中: 则DFT定义为：注意：DFT的求和区间只能是
6、在0到N-1之间。离散系统的频域分析例 6.5-1 有限长序列f(k)=G4(k)，设变换区间N=8、16时，试分别求其DFT 。 解：当N=8时n=0,1,7离散系统的频域分析当N=16时n=0,1,15由此可见f(k)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。离散系统的频域分析设序列f(k)的长度为N，据离散时间傅里叶变换定义式得：l DTFT和DFT的关系而f(k)的离散傅里叶变换为 0nN-1 比较上两式可得二者的关系为：离散系统的频域分析图 6.5-2 F(n)与F(ej)的关系 离散系统的频域分析总结由此可见，F(n)为f(k)的离散时间傅立叶变换F(ejw)在区间0,2上的
7、N点等间隔抽样。这就是DFT的物理意义。离散系统的频域分析6.5.2 DFT的计算 例：对信号G4(k)求N=8时的DFT.解：根据定义式可展开成矩阵求解离散系统的频域分析可见，计算一个F(1)的值需要8次(即N次)乘法运算,和7次(即N-1次)复数加法运算。那么,所有的F(n)就要N2次复数乘法运算及N(N-1)次复数加法运算。当N很大时,运算量将是惊人的,如N=1024,则要完成1048576 次(一百多万次)运算。这样,难以到实时处理。一个F(n)的值的工作量,如F(1)离散系统的频域分析改进的途径由矩阵运算式可发现W0=1，因此第一行与第一列W和f(k)的乘是可省略的。W 矩阵是对称的
8、，计算量可省一半。W还是周期的。离散系统的频域分析W的周期性因为：假设：nk=49=6*8+1，则有：结论 ：离散系统的频域分析表 6.1 按模 8 计算的kn值 离散系统的频域分析离散傅立叶变换的matlab实现离散傅立叶变换及其反变换的扩展函 数: dft(fk,N)和idft(Fn,N)离散系统的频域分析6.6 DFT的性质1. 线性 若 f1(k) F1(n), f2(k) F2(n)，则 式中，a, b为任意常数。 离散系统的频域分析注意：若f1(k)的长度为N1，f2(k)的长度为N2，假如N1=N2=N，则N3=N；若N1N2，则N3=max(N1,N2)。计算时均按N=N3考虑
9、，小于N的序列补零。离散系统的频域分析2. 对称性 若 f (k) F(n), 则 此性质可以由定义式式互换变量k和n而证得。 离散系统的频域分析3. 循环移位特性 循环位移(亦称圆周位移) ，它实质上是先将有限长序列f(k)周期延拓构成周期序列fp(k)，然后向右移动m位得到fp(k-m)，最后取fp(k-m)之主值。这样就得到所谓的循环位移序列fp(k-m)GN(k)。一般可记为 循环移位matlab扩展函数：cirshift（）离散系统的频域分析图 6.6-1 有限长序列的循环位移 离散系统的频域分析DFT分析中的时间循环位移特性告诉我们：若f(k) F(n)，则 上述结论可直接对位移序
10、列f(k-m)NGN(k)求DFT得到。 离散系统的频域分析4. 频移特性 频移特性表明，若时间序列乘以指数项 , 则其离散傅里叶变换就向右循环位移l单位。这可看作调制信号的频谱搬移， 因而也称为调制定理。 若f(k) F(n)，则 有离散系统的频域分析5. 采用的IDFT这个性质的意义在于，利用DFT正变换的算法既可计算其正变换，又可计算其反变换，这就为DFT的计算带来了程序通用化的方便。 若f(k) F(n)，则 有离散系统的频域分析6. 时域循环卷积(圆卷积) 我们知道，卷积在系统分析中起着非常重要的作用。两序列f1(k)和f2(k)(长度分别为L和M)的线卷积得到长度为L+M-1的另一
11、个序列， 即 k=0，1, 2， , L+M-2 离散系统的频域分析循环卷积为 ：注意：循环卷积的两序列长度应一样，若为N，其循环卷积结果仍为一长度为N的序列f(k)。离散系统的频域分析例：求图示两序列的4点和6点循环卷积。解：方法一：图解法方法二：列表法离散系统的频域分析思考：计算上例中两序列的线卷积，比较圆卷积结果，说明线卷积与圆卷积之间有什么关系？结论：通常情况下，线卷积结果与圆卷积结果不同。只有当圆卷积的长度大于等于时，圆卷积与线卷积的结果相等。离散系统的频域分析循环卷积定理： 若f1(k) F1(n)，f2(k) F2(n)，则有 思考：应用上述循环卷积性质，如何实现用DFT计算线性
12、卷积？ 离散系统的频域分析图 6.6-3 应用DFT求序列f1(k)与f2(k)的线卷积 利用循环卷积定理计算线性卷积的方法如下： 离散系统的频域分析 Matlab数字信号处理工具箱的circonvt函数实现序列时域循环卷积。离散系统的频域分析7. 频域循环卷积(频域圆卷积) 若f1(k) F1(n)，f2(k) F2(n)，则有 离散系统的频域分析8. 奇偶虚实性 设f(k)为实序列，f(k) F(n)，令式中，Fr(n)是F(n)的实部，Fi(n)是F(n)的虚部。离散系统的频域分析实部为偶函数虚部为奇函数模成偶对称相角成奇对称离散系统的频域分析图 6.6-4 实序列DFT的|F(n)|对
13、称分布示例 离散系统的频域分析9. 巴塞瓦尔定理(略)若f (k) F (n)，则有 如果f(k)为实序列，则有 巴塞瓦尔定理表明，在一个频域带限之内， 功率谱之和与信号的能量成比例。 离散系统的频域分析6.7 快速傅里叶变换(FFT)简介1. 的特性1)周期性如：而 ：离散系统的频域分析4-2 改进的途径如：N=4时，有W0， W1 ， W2 ， W3有：2)、对称性即：后2点可用前2点表示离散系统的频域分析同样 N=8时，有W0， W1 ， W7有：可见，后N/2可用前N/2点来表示。离散系统的频域分析利用上述特性,可以将有些项合并,并将DFT分解为短序列,从而降低运算次数,提高运算速度.
14、1965年,库利(cooley)和图基(Tukey)首先提出FFT算法.对于N点DFT,仅需(N/2)log2N 次复数乘法运算.例如N=1024=210 时，需要(1024/2)log2210 =512*10=5120次。5120/1048576=4.88 ,速度提高200倍。离散系统的频域分析FFT算法的实质在时域上连续地将大点数序列的DFT分解为奇数和偶数两组进行小点数DFT运算，直至不必再分解时为止。由于是在时域分解，所以经常将其称为“按时间抽取的快速傅立叶变换”。离散系统的频域分析4-3 按时间抽取 (DIT)的FFT算法2、基2-FFT算法1）、先将f(k)按k的奇偶分为两组作DF
15、T。设N=2L ,若f(k)实际长度不足时,可补些零。这样有:k为偶数时:k为奇数时: 因此，离散系统的频域分析(k为偶数) (k为奇数)由于:离散系统的频域分析其中 ,所以,上式可表示为:离散系统的频域分析2）、两点结论:(1) F1(n),F2(n)均为N/2点的DFT。(2) 只能确定出F(n)的 n=0，1，2，,N/2-1 个，即前一半的结果。离散系统的频域分析3）、F(n)的后一半的确定由于F1(n)和F2(n)是周期为N/2的周期函数，即 ：离散系统的频域分析可见,F(n)的后一半，也完全由F1(n), F2 (n)的前一半所确定。*N点的DFT可由两个N/2点的DFT来计算。离
16、散系统的频域分析前一半4).蝶形运算后一半由F1(n)、F 2(n)表示F(n)的运算记为：n=0,1,N/2-1离散系统的频域分析实现上式运算的流图称作蝶形运算, （N/2个蝶形 )离散系统的频域分析总结：N点DFT可由两个N/2点的DFT来计算，进一步一个N/2点DFT又可由两个N/4点的DFT来计算，依此类推下去，至F1(n)和F2(n)为f(k)。由此可得8点信号的FFT蝶形运算，并可求出F(n)各点值。离散系统的频域分析8点DFT的FFT的运算流图如下:离散系统的频域分析注意：N=8需三级蝶形运算 即N=2L共需L级蝶形运算。各级中的 的N值不同。离散系统的频域分析由图可知,输出F(n)按正常顺序排列在存储单元,而输入是按顺序:这种顺序称作倒位序,即二进制数倒位。这是
