[教育学]第六章概率分布

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1、第六章 概率与分布第一节 概率的基本概念v一、概率v二、概率的基本性质v三、概率分布类型一、概率v（一）随机现象v（二）事件与概率（一）随机现象v1、确定性现象：在一定条件下事先可以断言必然 会发生某种结果的现象。v必然现象：在一定条件下必然会发生的现象。v不可能现象：在一定条件下必然不会发生的现象。v2、随机现象：在一定条件下，事先不能断言会出 现哪种结果的现象。v随机试验：对随机现象的一次观察。v随机试验是研究随机现象的手段。随机现象的特点 v偶然性：一次试验前，不能预言发生哪一种 结果。v必然性：在相同条件下，进行大量次重复试 验，呈现出统计规律性。随机事件v随机事件：随机现象中出现的各

2、种可能的结果，简 称事件。v随机事件中有两种极端情况：必然事件和不可能事 件。v必然事件：某一事件包含随机试验中所有可能的结果。v不可能事件：某一事件不包含随机试验中的任何结果。（二）事件与概率v在N次重复试验中，事件A发生的次数为n， 那么n与试验总次数N的比值，称为事件A发 生的频率，记作：那么什么是概率呢？v概率是表明随机事件出现可能性大小的客观 指标。v概率的两种不同定义：后验概率、先验概率。1、后验概率v如果把一枚质地均匀的硬币抛出以后，正面 向上的概率有多大呢？ v假定，在n次抛掷（试验）中，硬币正面向上的次数为m， 则正面朝上的频率为mn。这个频率不是概率，因为有随 机误差的存在

3、。在这n次试验中，可能碰巧正面朝上的情况 多一点，在另外的n次试验中，也许正面朝上的情况就少一点。为了减少这种误差，就要加大试验的次数。 抛硬币v随着抛掷次数的不断增加，硬币正面朝上的 次数与抛掷总次数的频率越来越趋于稳定在 0.5附近，于是0.5就被认定为正面朝上的概 率，这个概率称为后验概率。后验概率 v后验概率是在大量试验的基础上建立起来的 ，假定用A表示一个随机事件，后验概率就是 在大量试验中随机事件A出现次数的稳定比率 。即：对随机事件进行n次实验，某一事件A 出现m次，m与n的比值叫做随机事件A的频 率，当n时 ，随机事件A的频率m/n趋于 某一常数P，则这一常数P就是随机事件A发

4、 生的概率，即 2、先验概率v在某些条件下，我们不做试验就可以确定随 机事件的概率，这种无需进行大量实验的概 率就是先验概率，也称古典概率。古典概型v先验概率涉及的问题都比较简单，例如掷骰 子（touzi）、抛硬币等，这些随机现象有两 个共同的特点：a、结果数目有限，b、各种 结果出现的可能性被认为是相等的。满足这 两个条件的模型，称为古典概型。先验概率的定义v先验概率就是通过古典概型加以定义的。即 某一随机事件A的概率为该事件所包含的可能 结果个数m与所有可能结果的总数n的比值， 即例题v例6-1，一个箱子里有100个球，其中97个是 白色的，3个是红色的，从箱子里任意取出一 个球，这个球是

5、红色的概率是多少？v例6-2，抛掷硬币3次，问其中一次正面朝上 的概率是多大？二、概率的基本性质v（一）概率的公理系统v（二）概率的加法定理v（三）概率的乘法定理（一）概率的公理系统v1、任何一个随机事件A的概率都是非负的。v2、在一定条件下必然发生的事件即必然事件的概 率为1。v3、在一定条件下，必然不发生的事件，即不可能 事件的概率为0。v 0P（A）1，越接近1，事件发生的可能性越 大，越接近0，可能性越小，2、3反过来不成立。（二）概率的加法定理v1、不相容事件：在一次实验中，不可能同时 出现的事件。即，则称A与B为互不相容事件 。v2、加法定理：两个互不相容事件A、B之和 的概率，等

6、于这两个事件的概率之和：P(A +B )= P(A )+ P(B )。v3、推论：有限个互不相容事件和的概率，等 于这些事件概率之和。（三）概率的乘法定理v1、独立事件：一个事件的出现对另一事件的出现 不发生影响，则称这两个事件为相互独立事件： 。v2、相关事件：如果事件A的概率随事件B是否出现 而改变，事件B的概率随事件A的出现而改变，则这 两个事件为相关事件。v3、乘法定理：两个独立事件积的概率，等于这两 个事件概率的乘积。即 。v4、推论：有限个独立事件积的概率，等于这些事 件概率的乘积。例6-3v盒中有6支红粉笔、5支黄粉笔、2支绿粉笔和 7支白粉笔。问任意摸得一只红色或绿色粉笔 的概

7、率是多少？任意摸得一支红色或黄色或 白色粉笔的概率是多少？例6-4v某专业研究生复试，让考生从6个试题中任意 抽取一题进行 ，若抽到每一题的概率为16 ，前一考生抽过的试题再放回，后一考生再 抽，问2个考生都抽到试题1的概率是多少？练习v1、掷出一个骰子，计算骰子数字大于3的概 率。v2、连续抛2枚硬币，计算两次都是正面朝上 的概率。三、概率分布类型v（一）按随机变量取值类型v（二）依分布函数的来源来分v（三）依据概率分布所描述的数据特征（一）按随机变量取值类型v1、离散分布：随机变量只取孤立数值的分布 。如二项分布、泊松分布、超几何分布。v2、连续分布：连续型随机变量的分布。如正 态分布、负

8、指数分布、威布尔分布等。（二）依分布函数的来源来分v1、经验分布：根据观察或实验所获得的数据 而编制的次数分布或相对频率分布。经验分布往往是总体的一个样本，它可对所研 究的对象给以初步描述，并作为推论总体的依据。v2、理论分布：（1）随机变量概率分布的函 数数学模型。（2）按某种数学模型计算 出的总体的次数分布。（三）依据概率分布所描述的数据特征v1、基本随机变量分布：理论分布中描述构成 总体的基本变量的分布。常用的有二项分布 和正态分布。v2、抽样分布：样本统计量的理论分布。又称 随机变量的函数分布。第二节 正态分布 （normal distribution） 正态分布v正态分布也称常态分布

9、或常态分配，是连续 随机变量概率分布的一种，是在数理统计的 理论与实际应用中占有最重要地位的一种理 论分布。v正态分布是由棣莫弗1733年发现的。拉普拉 斯高斯对正态分布的研究也做出了贡献，故 有时称正态分布为高斯分布。一、正态分布特征 v（一）正态分布曲线函数v（二）正态分布的特征v（三）标准正态分布（一）正态分布曲线函数v 为待定参数（即理论平均数和理论标准差）， 且 ，则称随机变量X服从正态分布，记作： 。v影响正态分布函数形态的有两个参数： 。 决定 曲线的中心位置， 决定曲线的陡峭程度。 （二）正态分布的特征v1、正态分布的形式是对称的（但对称的不一定是 正态的），它的对称轴是经过平

10、均数点的垂线。正 态分布中，平均数、中数、众数三者相等。此点y值 最大（0.3989）。左右不同间距的y值不同，各相 同间距的面积相等，y值也相等。v2、正态分布的中央点（即平均数点）最高，然后 逐渐向两侧下降，曲线的形式是先向内弯，然后向 外弯，拐点位于正负1个标准差处，曲线两端间向 靠近基线处无限延伸，但始终不能和基线相交。整 条曲线呈现“中间高、两边低”的形状。（二）正态分布的特征v3、正态曲线下的面积为1，由于它在平均数 处左右对称，故过平均数点的垂线将正态曲 线下的面积划分为相等的两部分，即各为 0.50。正态曲线下每一横坐标所对应的面积 与总面积（总面积为1）之比其值等于该部分 面

11、积值，故正态曲线下的面积可视为概率， 即值为每一横坐标值（加减一定标准差）的 随机变量出现的概率。v4、正态分布是一族分布。当 时的正 态分布称为标准正态分布，即作N(0,1)。（二）正态分布的特征v5、正态分布中各差异量数值相互间有固定比 率。v6、在正态曲线下，标准差与概率有一定的数 量关系。 （三）标准正态分布v当 时的正态分布称为标准正态分布 ，记作N(0,1)。v标准正态分布的 是确定的，它的位置和 形状也都是确定的。标准正态分布在Z0时 达到最高点，曲线的拐点为Z1两点。v在数理统计中，任何一般的正态分布都可以 转化为标准正态分布。若 ，令 ，则ZN(0,1)。标准正态分布的特点

12、v1、Z0处曲线位于最高点。v2、曲线以Z0为中心左右对称。v3、曲线从最高点向左右缓慢下降，以横轴为 渐近线。v4、 。v5、在Z1处有拐点。v6、从Z-3到Z3这个区间包括的概率几乎 达到1。二、正态分布表的编制与使用v（一）正态分布表的编制与结构v（二）正态分布表的使用（一）正态分布表的编制与结构v1、第一栏是Z分数单位 v2、纵高y v3、概率值P （二）正态分布表的使用v1、依据Z分数求概率P 。v2、从概率（P）求Z分数。 v3、已知概率P或Z值，求概率密度y 。v4、将非标准正态分布转化为标准正态分布来 查表求值 。1、依据Z分数求概率Pv（1）求某Z分数值与平均数（Z0）之间的

13、 概率。v（2）求某Z分数以上或以下的概率。v（3）求两个Z分数之间的概率。例v设随机变量Z服从标准正态分布，求：vP0Z1、P-1Z0vPZ0、PZ0 、PZ1、PZ1、P Z1vP-1Z1、P1Z2、P-2Z12、从概率（P）求Z分数v（1）已知从平均数开始的概率值求Z值。v（2）已知位于正态分布两端的概率值求该概 率值分界点的Z值。v（3）若已知正态曲线下中央部分的概率，求 Z分数是多少。例vZN(0,1)，已知下列概率，求Z0。vP0ZZ00.45vPZZ00.05 vP-Z0ZZ00.903、已知概率或Z值，求概率密度y v例，ZN(0,1)，求下列情况下对应的曲线纵 高YvZ1.9

14、3vZ=-1.93vP0ZZ00.328944、将非标准正态分布转化为标准正态分布来查表求值 v例，设随机变量X服从平均数为10，标准差 为2的正态分布，求：vP10X12vP9X10vPX144、将非标准正态分布转化为标准正态分布来查表求值v例， ，求以下概率：三、次数分布是否正态的检验方法v 检验v偏态峰态量数描述方法v累加次数曲线法v直方图法v概率纸法等。 （一）皮尔逊偏态量数法 v正偏态：MMdMo；负偏态：MMd Mo。v偏态量数： 。vSK0，分布对称；SK0，正偏态；SK0 ，负偏态。（二）峰度、偏度检验法v这种方法是根据分析分布的峰度系数与偏度 系数，确定分布形态。一般情况下，

15、需要观 测数据的数目要足够大，应用这种方法才有 意义。v1、偏度系数g1v2、峰度系数g21、偏度系数g1vg10，分布对称；g10，正偏态；g10， 负偏态。vN200时，g1才可靠。2、峰度系数g2vg20，正态分布的峰度；g20，低阔；g2 0，高狭。vN1000时，g2才可靠。四、正态分布的一些实际应用v（一）标准分数及其应用v（二）利用正态分布，确定录取分数线 v（三）确定在正态分布下特定分数界限内的 考生人数 v（四）划等级评定为测量数据v（五）确定测验题目的难易度v（六）在能力分组或等级评定时确定人数v（七）测验分数的正态化 （二）利用正态分布，确定录取分数线v在选拔性或竞赛性的考试中，录取或授奖的 人数（或比率）往往是事先确定的。若考分 呈正态分布，在根据考试结果确定分数线时 ，可将录取或授奖的人数比率作为正态分布 中分数右侧，即上端的面积，由此找出相应 标准分数Z值，然后根据 ，由Z求原始 分数X。例题v例，某项职业录取考试，在参加考试的1600 人中准备录取200人，考试分数接近正态分布 ，平均分数为74，标准差为11，问