[工学]数字图像处理 几何变换

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1、 第四章 图像的几何变换n 数字图像的几何变换就是对图像进行 如下处理：改变图像的几何位置、几何形 状、几何尺寸等几何特征。n 几何变换的特点是：改变图像像素的 空间位置，而不改变像素灰度值。本章主要内容： 4.1 位置变换：图像的平移、镜像、旋转 4.2 形状变换：图像的缩放、错切 4.3 仿射变换：图像几何变换一般表示方法4.1 图像的位置变换n图像的位置变换是指图像的尺寸和 形状不发生变化，只是将图像进行平 移，或者作镜像变换，或者进行旋转 。 n图像的位置变换的一个应用实例： 目标配准。4.1.1 图像的平移n目的：改变图像在画布上的位置。n方法：将图像的所有像素都按要求进行垂 直或者

2、水平移动。设图像的任一像素坐标为( i, j ), 图像在画布 上沿行方向与列方向分别移动i与j。假设 平移后的像素坐标为（i, j)。则平移计算公 式为： 注意：i与j是原图像的像素坐标，i与j是平移后 的图像像素坐标。4.1.1 图像的平移平移后的图像内容没有变化。 但“画布”一定要扩大，否则就会丢失信息。将图像进行平移， 取i1与j2画布没有扩大画布扩大板书计算photoshop演示4.1.2 图像的镜像（翻转）镜像分为水平镜像和垂直镜像 一、水平镜像（水平翻转）以图像垂直中轴线为中心，交换图像的左右 两部部分。假设图像的大小为MN，水平镜像 计算公式为：1 2 3 1231 2 312

3、3其中，（i, j)为原图像某个像素的坐标，（i, j)为该像素在新图像中的坐标。1 2 3123二、垂直镜像（垂直翻转）以图像水平中轴线为中心，交换图像 的上下两部分。设图像的大小为MN，垂 直镜像的计算公式为：1 2 3123其中，（i, j)为原图像某个像素的坐标，（i, j)为该像素在新图像中的坐标。4.1.2 图像的镜像photoshop演示4.1.3 图像的旋转 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。 计算结果中的新坐标值可能超过原图像所在的空间范围。图像的旋转：以图像中的某一点为原点，按 照顺时针或逆时针旋转一定的角度。图像逆 时针旋转的计算公式如下： 图像旋转时，为了

4、避免信息的丢失，应当扩 大画布，并将旋转后的图像平移到新画布上。图像的旋转例题结论：按照图像旋转计算 公式获得的结果与想象中 的差异很大。板书：计算像素（1，1） 的旋转新坐标图像旋转之后，出现了两个问题： 1） 因为相邻像素之间只能有8个方向，而 旋转方向却是任意的，使得像素的排列不是 完全按照原有的相邻关系。 2）会出现许多的空洞点。我们来看一个旋转图像的画面效果。 空洞点新图像中的空洞可以采用插值方法填充插值方法有两种方式： 一、近邻插值法 二、均值插值法一、近邻插值法对于判断为空洞点的像素，用其同一 行（或列）中的相邻像素值来填充。n二、均值插值法n 对于空洞的像素，用其相邻四个像素的

5、 平均颜色来填充。（0，128，0）（255，0，0）（102，204，254）（0，102，254）（89，109，127）计算平均颜色经过插值处理之后，图像效果就变得自然。Photoshop演 示镜像与旋转4.2 图像的形状变换所谓图像的形状变换是指图像 的形状发生了变化，主要包括放大 、缩小、错切等。4.2.1 图像的缩小n图像缩小有按比例缩小和不按比例缩小两种情况。n图像缩小之后，像素的个数减少，承载的信息量小 了，画布可相应缩小。n图像缩小方法有两种：（1）基于等间隔采样的缩 小方法；（2）基于局部均值的缩小方法。(a) 按比例缩小 (b) 不按比例缩小一、基于等间隔采样的图像缩小方

6、法n原理：该方法通过对原图像的均匀采样，等间隔地 选取一部分像素，从而获得小尺寸图像的数据，并 且尽量保持原有图像特征不丢失。6633算法描述：设原图像大小为MN,缩小为k1Mk2N，（k11 ，k21）。算法步骤如下：1）设原图像是F(i, j): i=1,2,M; j=1,2,N.新图像是G(i, j): i=1,2,k1M; j=1,2,k2N.2）计算采样间隔： i=1/k1 j=1/k23）G(i, j)=f(ii, jj)以上方法与等间隔采样的图像缩小方法大致相同例题 k1=1.2；k2=2.5 ii=0.83; jj=0.4G(i,j)=f(iii;, jjj;)教材g16有误G

7、(2,4)的板书计算G为48的新图像4.2.2.2 基于双线性插值的图像放大方法基于双线性插值的图像放大方法能够有效消除图像高倍放大时出现的“马赛克现象”，使得图像的放大效果更加自然。请看potoshop软件的演示效果比较。（先缩10倍）算法步骤如下：(1)按照基于像素放大原理的图像放大方法，确定每一个原图像的像素在新图像中对应的子块。(2) 对新图像中每一个子块，仅对其一个像素进行填 充。在每个子块中选取一个填充像素的方法如下：n 对右下角的子块，选取子块中右下角的像素；n 对末列、非末行子块，选取子块中的右上角像素；n 对末行、非末列子块，选取子块中的左下角像素；n 对剩余的子块，选取子块

8、中的左上角像素。(3) 通过双线性插值方法计算剩余像素的值。对所有填充像素所在列中的其他像素的值，可以 根据该像素的上方与下方的已填充的像素值，采用 双线性插值方法计算得到。 第i2行g(i1, j)g(i2, j)g(i, j)第i1行第i行第j 列板书计算板书计算g(3,1)g(3,1)n对剩余像素的值，可以利用该像素的左方与 右方的已填充像素的值，通过线性插值方法 计算得到。 g(i, j1)g(i, j2)g(i, j)第j1 列第j 列第j2 列第i 行板书计算板书计算g(1,2)g(1,2)g(2,7)g(2,7)的推测的推测PhotoshopPhotoshop演示算法效果演示算法

9、效果4.2.3 图像错切n图像的错切变换可看成是平面景物在投影平面上的 非垂直投影效果。n错切变换可分为两种。一种是水平错切，水平方向 的线段发生倾斜。另一种是垂直错切，垂直方向的线 段发生倾斜。n错切的计算公式如下：图像错切的例题可以看到，错切之后的像素坐标只有一种发生变化。 图像旋转，则是行坐标与列坐标同时发生变化。Photoshop的实验综合运用几何变换技术计算f(1,1)的新坐标4.3 图像的仿射变换n图像仿射变换提出的意义是采用通用的数学 变换公式，来表示前面给出的几何变换。n为了能够采用统一变换公式表示平移变换， 引入齐次坐标概念。平移公式：4.3.1 齐次坐标n原坐标为 (x,y

10、)，定义齐次坐标为：（wx, wy, w）n这里，令系数w取值为1，即像素（i，j） 的齐次坐标为（i，j，1）。4.3.2 仿射变换可以定义仿射变换 如下：有了齐次坐标 ， 就可以用矩阵形 式表示为：图像的平移：图像的旋转：4.3.3 仿射变换表示图像的几何变换4.3.3 仿射变换表示图像的几何变换图像的水平镜像：图像的垂直镜像：4.3.3 仿射变换表示图像的几何变换图像的水平错切：图像的垂直错切：n投影变换是指在某个视点下，三维物体在平面上 的投影。术语：视点；投影面；投影线n如下图所示，当视点位于 z 轴（0,0,h)，物体上 的点p(x,y,z)在平面上的投影P(X,Y,0)的计算公式

11、 如下：xyzVp=(0,0,h) 视点p(x,y,z) 空间上的点P(X,Y,0) 投影面上的点4.4 投影变换例 题z=0时，X=hx/h=x, Y=hy/h=y z=1时，X=hx/(h-1)=1.5x Y=hy/(h-1)=1.5y 所以：P1=(1,1) P2=(2,1) P3=(1,2) P4=(2,2) P5=(1.5, 1.5) P6=(3, 1.5) P7=(1.5, 3) P8=(3, 3)已知立方体的8个顶点： p1=(1,1,0) p2=(2,1,0) p3=(1,2,0) p4=(2,2,0) P5=(1,1,1) p6=(2,1,1) p7=(1,2,1) p8=(

12、2,2,1)假设视点位于(0,0,3)，即h=3，求立方体各顶点 在XOY平面上的投影。p1p3p4p2p5p6p7p8xzy投影变换的结果:根据视点到投影面之间的距离是否为无穷远，将 投影方式分为透视投影和平行投影两种。 4.4.1 透视投影视点到投影面之间的距离有限。透视投影的特点是：模拟 了照相机的拍摄效果，如平行线的投影可能不再保持平行； 近处物体的投影相对要大些。立方体的透视投影效果透视投影效果原理示意图视点位于无穷远，因此只须指明投影方向与投影平面。平 行投影的特点是：平行线的投影仍然保持平行，投影结果与 物体到投影面的距离无关 。4.4.2 平行投影立方体的平行投影效果平行投影原

13、理示意图4.5 图像几何畸变的校正当镜头没有正对拍摄目标物时，即目标物不是 垂直于成像面上时，就会发生几何畸变。常见的有枕形或桶形的图像畸变，例如二维条 码图像的畸变： 常见的有枕形或桶形的图像畸变，可以通过 下面定义的线性几何变换对其进行校正： 变换参数可通过选取3个对应点的坐标来确定。（x, y）、（x, y）分别代表失真前后的图 像象素坐标图像的不按比例任意缩小图像的成倍放大效果图像大比例放大时的马赛克效应放大10倍图像的不按比例放大图像的旋转效果图像旋转中的插值处理效果图像的错切效果水平错切图像配准示例与原图比较，有 位置与角度偏差标准印章待测印章水 平 镜 像垂 直 镜 像按比例放大不按比例放大作 业 题1.已知一幅33的数字图像f，求进行以下处理后 的新图像g。1）请将它在平移i2与j1 。2）请将它做水平镜像处理。3）请将它逆时针旋转30度,并采用均值插值法 填充空洞。2. 已知一幅55的数字图像f，分 别采用基于等间隔采样与局部均 值的方法将其缩小：缩小系数 k1=0.8, k2=0.7。求处理后的新 图像g。作 业 题3.已知一幅33的数字图像F，分别用基于像素放 大与基于双线性插值的方法将其放大1.22.5倍。 求放大后的新图像G。4 .对于上一题中的图像F，分别沿水平与垂直方 向进行错切,系数取为d=1。求错切后的新图像G。