[工学]弯曲应力

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1、PP梁的横截面具有对称线，所有对称线 组成纵向对称平面，外载荷作用在纵向对 称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内弯 曲成一条平面曲线。平面弯曲：P梁的纯弯曲4-1 概述M PaPPFs横力弯曲：纯弯曲：aaPPxy梁的应力梁的应力切应力切应力 与剪力对应正应力正应力 与弯矩对应4-1 概述中性层一、梁纯弯曲实验现象： mm,nn变形后仍为直 线。 纵线弯成曲线：bb伸 长，aa缩短；推断： 同层纤维变形相等 中性层没有变形 变形后(小变形)mmMMMMnabnaboonmxamnabb变形前ooyz中性轴z4-2 平面弯曲正应力假设： 平面假设 单向受力假设 纤维纤维bbbb变形后的长度：变形后

2、的长度： 纤维纤维bbbb变形前的长度：变形前的长度：mmMMMMnabnabyoo中性层曲率半径 纤维纤维bbbb的应变：的应变：( 与 y 成正比)二二. . 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力4-2 平面弯曲正应力1. 1. 几何关系几何关系: :根据虎克定律：根据虎克定律：(中轴性尚未确定, y、未知)由由(2)(2)可知应力分布可知应力分布: :2.2.物理关系：物理关系：假设: 各层纤维之间无挤压作用; 各条纤维为单向拉压受力。4-2 平面弯曲正应力xz MMMMy3. 3. 静力平衡静力平衡(中性轴)(对称轴)zydA微内力的合力及平衡微内力的合力及平衡: :- (3)- (4

3、)- (5)4-2 平面弯曲正应力讨论：讨论： 将(2)代入(3)中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心 将(2)代入(4)y y轴是横截面对称轴，故上式为轴是横截面对称轴，故上式为0 0-(3)-(2)-(4)zy (对称轴)xz ydA(中性轴)MM4-2 平面弯曲正应力 (2)代入(5)式：- (6)EIEIz z抗弯刚度抗弯刚度 (6)代入(2)式- (7)如何判别应力符号？如何判别应力符号？zy (对称轴)xz ydA(中性轴)MM4-2 平面弯曲正应力公式适用范围：说明：说明：纤维受拉为正，受压为负；a.弯矩、剪力共同存在的截面(横力弯曲);b.只要有纵向对称面且荷载作用于该面内。(

4、剪力对正应力影响很小)单位：4-2 平面弯曲正应力例：求C截面k点正应力。 解： （1）截面弯矩：已知：ybh/2h/2k zPaC（2）惯性矩：（3）k点应力：ybh/2h/2k zPac1. 1. 截面最大应力截面最大应力（在距中性轴最远点）又可写成：中性轴为对称轴：其中： 抗弯截面系数（m3）中性轴为非对称轴:4-2 平面弯曲正应力二二. . 弯曲正应力的强度条件及其应用弯曲正应力的强度条件及其应用2. 2. 全梁最大应力：全梁最大应力：（对等截面而言）3. 3. 强度条件：强度条件： 弯曲许用正应力应用：应用：强度校核：设计截面：计算承载力：4-2 平面弯曲正应力例：选择工字钢型号。已

5、知：P2P1l/3l/3l/3（2）计算计算Wz解解：（：（1 1）作弯矩图作弯矩图19kN17kN4-2 平面弯曲正应力3834M(kNm)（3）查表：P367 计算值如果: Wz 小于计算值，验算max，不超 过的5%，工程上允许。例：图示结构的最大拉应力发生在梁的哪点上？zy1y2中性轴已知：DP1=24kNP2=9kN20cm30cm30cmBCA选20a,4-2 平面弯曲正应力D分析：问问：最大压应力发生在何处？最大压应力发生在何处？注注: : 对于中性轴不是对称轴，最大弯对于中性轴不是对称轴，最大弯 矩截面不一定出现最大应力点。矩截面不一定出现最大应力点。zy1y2中性轴P1=24

6、kNP2=9kN20cm30cm30cmBCA最大拉应力发生在B点。4-2 平面弯曲正应力1.82.7M(kNm)例：悬臂梁AB由铸铁材料制成，其许用拉应力 ，许用压 应力 ，载荷 ，力偶矩 ，若该梁 截面为 的矩形，试校核其强度；若改为T形截面如图， 试校核其强度。解：z1）作弯矩图2）对矩形截面：所以梁安全。4-2 平面弯曲正应力z3）对T形截面，需求确定形心，求出对中性轴的惯性矩C左和C右截面均可能是危险截面。C左截面：4-2 平面弯曲正应力C右截面：所以：拉应力强度不足。z4-2 平面弯曲正应力例：图示简支梁，梁上作用有集中载荷G=50KN,l=12m,轧制钢材的 许用应力=160MP

7、a.试确定：1）工字钢型号；2）矩形截面的尺 寸(h=2b),并比较两梁的重量。Ml解：1）画出弯矩图，求最大弯矩2）采用工字钢由型钢表查得40a号工字钢 ，故可选用。 4-2 平面弯曲正应力3）采用矩形截面4）比较两梁的重量材料相同，长度相同，重量之比等于横截面面积之比。4-2 平面弯曲正应力Fs 截面上的剪力;Iz ,b 截面对中性轴的惯性矩 、截面宽度; 过所求应力点水平线到截面边缘所包围面积对 中性轴的静矩。N N1 1N N2 21 dA dTdTbhzxyyy1dxA*F Fs sMM1. 1. 弯曲切应力弯曲切应力4-3 弯曲切应力及强度条件对某一截面：Fs、Iz、b是常量, 只

8、随Sz*改变。h/2byzh/2A*代入 得：4-3 弯曲切应力及强度条件2. 2. 矩形截面切应力矩形截面切应力yy0max边缘应力为零中性轴切应力最大,为平均切应力的1.5倍。h/2byzh/2讨论：讨论：4-3 弯曲切应力及强度条件2.2.工字形截面梁的切应力工字形截面梁的切应力 腹板切应力腹板切应力: :b1 腹板宽度Iz 全截面对中性轴的惯性矩Sz* 图示阴影面积对z轴的静矩腹板翼缘h/2h/2ybz b1A*y4-3 弯曲切应力及强度条件F Fs sz 翼缘水平翼缘水平切应力切应力: :Iz 全截面对中性轴的惯性矩 图示阴影面积对 z 轴的静矩翼缘竖向切应力忽略zy0A* 翼缘宽度

9、4-3 弯曲切应力及强度条件3.3.切应力强度条件：切应力强度条件： 切应力方向切应力方向: : 最大切应力最大切应力截面全梁剪力流：剪力流：方向由腹板方向由腹板 确定。确定。4-3 弯曲切应力及强度条件 强度条件强度条件步骤步骤: :梁的强度计算：梁的强度计算：同时满足正应力、切应力强度条件。同时满足正应力、切应力强度条件。按正应力条件选择截面；再按切应力强度条件校核。4-3 弯曲切应力及强度条件通常情况下，梁的强度问题中主要考虑的是正应力强度条件。通常情况下，梁的强度问题中主要考虑的是正应力强度条件。4-5 梁的合理设计所谓梁的合理设计，指的是在满足梁强度要求的前 提下，尽量少用材料，对于

10、梁来说，弯矩处于主导地位 、剪力是次要因素，因此，梁的设计，主要是依据弯曲 正应力的强度条件进行设计的，我们也仅从弯曲正应力 强度条件出发讨论梁的合理截面。 弯曲正应应力强度条件提高弯曲强度的方法可从两个方面考虑虑1、 外荷载总值载总值 不变变的情况下，使Mmax尽量小一些 2、 截面积积不变变的情况下，使Wz尽量大一些 一、合理选择截面，尽量增大WZbhhbaad4-5 梁的合理设计截面形状与合理受力4-5 梁的合理设计AA尽量使材料分布在远离中性轴的位置。尽量使材料分布在远离中性轴的位置。A梁的合理截面形式梁的合理截面形式4-5 梁的合理设计二、合理布置梁的形式和载荷，降低Mmax 4-5

11、 梁的合理设计4-5 梁的合理设计4-5 梁的合理设计4-5 梁的合理设计二、等强度梁只有危险截面的最大正应力达到了材料的许用应力只有危险截面的最大正应力达到了材料的许用应力 ，而其，而其 余截面的材料未得到充分利用。余截面的材料未得到充分利用。等强度梁：等强度梁：使梁上每个截面的最大正应力都等于许用应力。使梁上每个截面的最大正应力都等于许用应力。即即例1 一梁拟拟用图图示两种方式搁搁置，则则两种情况下的 最大应应力之比（max）a/（max）b为为( )。4-5 梁的合理设计例2 图图示矩形截面采用两种放置方式，从弯曲正应应 力强度观观点，承载载能力(b)是(a)的多少倍?( )。4-5 梁的合理设计例3 如图图所示的两铸铁铸铁 梁，材料相同，承受相同 的荷载载F。则则当F增大时时，破坏的情况是( )。 (A) 同时时破坏 (B) (a)梁先坏 (C) (b)梁先坏 (D) 不能确定4-5 梁的合理设计例4 如图图所示，铸铁铸铁 梁有(A)、(B)、(C)和(D)四种截 面形状可供选择选择 ，根据正应应力强度条件，合理的截面 形状是( )。4-5 梁的合理设计