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1、第三章 常用概率分布本章在介绍概率论中事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布二项分布、正态分布以及样本平均数的抽样分布、t分布、卡方分布和F分布。难点：各种概率分布的特点和概率计算。 第一节 事件与概率第二节 概率分布第三节 二项分布第四节 正态分布第五节 平均数抽样分布第六节 t分布、 分布、F分布第一节 事件与概率一、事 件（一）必然现象与随机现象 在一定条件下，重复进行观察或试验，其 结果总是确定不变的现象必然现象。在同样条件下，重复进行观察或试验，其 结果总是不确定的现象随机现象 。但通过 大量重复观察又确有统计规律性。（二）随机试验与随机事件1、随机试
2、验 对随机现象的观察称为随机试验（trial）。有以下特点： （1）试验可以重复进行；（2）全部可能的结果是可知的； （3）但在一次试验之前不能肯定会出现哪一个结果。 2、随机事件 随机试验的每一种可能结果，称为随机事件。基本事件： 把随机试验每一个可能的结果称为一个基本事件。由基本事件构成的事件称复合事件. 必然事件 在一定条件下必然会发生的事件称为必然 事件，用表示。不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件，用表示。事件的关系图示n和事件：事件A和事件B至少有一个发生。事件的关系图示n积事件：事件A和事件B同时发生。事件的关系图示n独立事件：事件A发生与否不影响事件B发生 的
3、可能性，则称事件A与事件B相互独立。满足 ABn互斥事件 ：AB= 。n对立事件：A+B= ，AB= 。是互斥 但不独立。事件关系的计算n差事件：事件A发生而事件B不发生，AB 。事件关系的计算n完全事件系：A1+A2 +An=，A1A2 An = 。如种子的发发芽与不发发芽则则构成一个完全事 件系。事件关系的计算二 、 概 率（probability）研究随机现象，仅知道发生哪些可能结果（随机事件）是不够的，还需了解发生这些结果的可能性大小。这种描述事件发生可能性大小的数值，称为概率。如事件A的概率记为P（A）。（一）概率的古典定义 如果随机试验具有以下特征：1、试验所有可能结果是有限个；2
4、、而且出现的可能性相等；3、两两结果互斥；则称其为古典概型。P（A）=m/n【例31】 在1、2、3、 、20这20个数字中随机抽取1个，求下列随机事件的概率。（1）A=“抽得1个数字4”；（2）B=“抽得1个数字是2的倍数”。（二）概率的统计定义在相同条件下进行n次重复试验，如果随机 事件A发生的次数为m ，那么m/n称为随机事 件A的频率(frequency)；当试验重复数n逐 渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近 一个常数值p ，把 p称为随机事件A的概率。这就是统计意义上的概率定义。P（A）= p m/n (n充分大)（三）、概率的性质（1） 0P（A）1（2） P（）=1(3)
5、 P（）=0表3-1 小麦种子发芽试验记录试验 粒数n 100200300400500600700发芽 粒数m65155204274349419489频率 m/n 0.6500.6750.6800.6850.6980.69830.6986例：例：随着实验次数增多，这个事件的频率越来 越稳定接近0.7，则把0.7看作这个事件的概 率。（四）、概率的运算n加法运算：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)n乘法运算：P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)n设有某产品一件共10个，其中有3只为次 品，接连从中取2次（不放回）。求第一次取 到次品后第二次取到次品的概率。 解：令A=
6、第一次取到次品，B=第二次取到次品，则P（BA）=2/9 P(AB)=P(A) P(BA)=3/102/9n对立事件概率运算：n完全事件系的概率：P(A1+A2+ + An)= P(A1)+P(A2)+ +P(An)=1P（A）=1- P（A）三、小概率事件实际不可能性原理随机事件的概率表示了随机事件在一次试验中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，称之为小概率事件。 统计学认为：概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生。这就是小概率事件实际不可能性原理，亦称小概率原理。小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。 第二节
7、 概率分布要全面了解一个试验，则必须知道试验的全部可能结果及其各自概率，即把所有可能结果与概率一一对应起来，这就是概率分布。概率分布就是描述随机现象的统计规律性。具体地说就是随机变量取值的概率的函数.【例 32】 对 100 株树苗进行嫁 接，观察其成活株数，其可能结果是 “0 株成活”，“1 株成活”， “100 株成活”。 用x表示成活株数 ，则x的取值为0、1、2、 100。一、随机变量一、随机变量【例33】 抛掷一枚硬币，其可能结果是“币值朝上” 或“币值朝下”。如果“朝上”用1表示，“朝下”用0表示，则随机变量x的取值为0、1。【例例 3434】 测定某品种小麦产量测定某品种小麦产量
8、（/666.7/666.7），表示测定结果的变），表示测定结果的变量量x x所取的值为一个特定范围所取的值为一个特定范围( (a, ba, b) )，例如例如200300200300（/666.7/666.7），），x x可以取这个范围内的任何数值。可以取这个范围内的任何数值。 如果表示试验结果的变量x，其取值是 可列举的 ，则称x为离散型随机变量；相反，若X的取值为某范围内的任何数 值，是不可列举的，则称x为连续型随机变 量。离散型随机变量与连续型随机变量二、离散型随机变量的概率分布如果将离散型随机变量x的可能取值xi ( i=，1，2 ， )，与其概率pi一一对应起 来，则有P(x=xi)
9、=pi 。如果用函数f(x)表示的概率对应关系， 记为f(xi) P(X=xi)=pi，则称f(x)为概率 函数。x x1 x2 xn p p1 p2 pn 如果用(xi)表示离散型随机变量的概率分布函数，记为(xi)（xi），则概率函数与分布函数共同构成的概率分布。显然有：(xi)f(xi)三、连续型随机变量的概率分布 对连续型随机变量x，只能了解它在某个区间a，b）取值的概率，即p(axb)。如果把140行水稻产量的频率分布直方图的纵轴变成频率与组距的比值，并使n,i0,则频率分布折线图越来越趋近一条光滑曲线。 频率分布密度直方图及分布 折线x0.011910.010.00069a bn
10、n+ i i0 0 上述曲线称为概率分布密度曲线，相上述曲线称为概率分布密度曲线，相 应的函数称为应的函数称为概率密度函数概率密度函数，则有，则有 P(aP(ax )=1- F( 2)= f(2)d(2)图 2分布概率累积函数图解 f(2 ) 2 0F( 2) 1-F( 2)2 i各种自由度下右尾概率取a的临界 2a，df值列于附表6，供测验时查用。例如， df=10， a=0.05， 20.05，10 =18.31，表示P( 2 18.31)=0.05。三、F分布设在一正态总体N（，2）中随机抽 取样本容量为n1和n2的两个样本，得到两 个样本方差（均方） 、 ， 构成一 新的统计量，记为F
11、，即 服从 ， 的F 分布 。F 分布密度曲线是随自由度df1、df2的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着 df1、df2的增大逐渐趋于对称，见下图所示 。Ff(F)df1=2 df2=5df1=5 df2=4df1=1 df2=5图 几种自由度下的F分布F分布的性质n F分布的取值范围是0，+）nF分布形状取决于df1和df2。nF分布曲线与横轴围成的面积为1。用 表示F分布的概率密度函数，则其分布函数 为：因而F分布右尾从 到+的概率为：Ff(F)F(F )1-F(F)F附表4列出的是不同 df1 和 df2 下，P（F ）=0.05和P（F ）=0.01时的F值，即右尾概率=0.05和=0.01时的临界F值，一般记作： 例如，查附表4，当df1=3，df2=18时，F0.05(3,18)=3.16，F0.01(3,18)=5.09表示如以n1=4，n2=19，在同一正态总体中连续抽样 ，所得 F 值大于 3.16 的仅有5%，大于5.09的仅有1%。本章重 点：n小概率事件实际不可能性原理；n二项分布及正态分布的特点及参数；n样本平均数抽样分布规律；n中心极限定律；nt分布、卡分布、F分布的计算公式。
