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1、北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念第四章 数系的扩充_复数北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念4.1 复数的概念北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念一. 复数的概念数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程的需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。 北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当b24ac
2、0时，没有实数根。那么我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题可以得到圆满的解决呢？ 回答是肯定的。实际上最根本的问题就是要解决1的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于1。北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。这样就解决了前面所提出的问题，即1可以开平方，且1的平方根为i.形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念二.复数集
3、复数a+bi(a, bR)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b0时，a+bi是虚数，其中a=0且b0时称为纯虚数。 全体复数所成的集合叫做复数集.北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念这样实数集就是复数集的一个子集。它们的关系如下：北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念三.复数相等的定义 根据两个复数相等的定义，设a, b, c, dR，两个复数a+bi和 c+di 相等规定为a+bi =c+di . 由这个定义得到 a+bi=0 .两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或
4、不相等。如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就 说这两个复数相等.北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念例1.实数 m 取什么数值时，复数z=m +1+(m1)i是：（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？解：复数z=m+1+(m1)i 中，因为mR，所以 m+1，m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部， （1）m=1时，z是实数； （2）m1时，z是虚数；（3）当 时，即m=1时，z是纯虚数；北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念例2.已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x, yR，求x, y.解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部 ，虚部等于虚部
5、，得方程组，解得 x= , y=4.北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念xo1你能否找到用来表示复数的几何模型吗？实数可以用数轴上的点来表示。一一对应 规定了正方向，直线数轴原点 ，单位长度实数 数轴上的点 (形)(数)(几何模型)复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面x轴-实轴 y轴-虚轴（数）（形）-复数平面 (简称复平面)一一对应z=a+bi概念辨析例题北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,
6、b)建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面x轴-实轴 y轴-虚轴（数）（形）-复数平面 (简称复平面)一一对应z=a+bi概念辨析例题实数绝对值的几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa| a | = | OA |实数a在数轴上所 对应的点A到原点O 的距离。xOz=a+biy| z | = |OZ|复数的绝对值复数 z=a+bi在复 平面上对应的点Z(a,b)到 原点的距离。(复数的模)的几何意义:Z (a,b)北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念例3 求下列复数的模：(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i(3)满足|z|=5(zC)的
7、z值有几个？思考：(2)满足|z|=5(zR)的z值有几个？(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0)(1)复数的模能否比较大小？这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形 ？ 图示北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念课堂小结：一. 数学知识：二. 数学思想：(1)复数相等 (2)复平面 (3)复数的模(3)类比思想(2)数形结合思想(1)转化思想课题：复数的有关概念北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数
8、； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。辨析： 1下列命题中的假命题是（ ）D北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念2“a=0”是“复数a+bi (a , bR)所对应 的点在虚轴上”的（ ）。(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件(C)充要条件 (D)不充分不必要条件C北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 表示复数的点所 在象限的问题复数的实部与虚部所满 足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想北京大峪中学高三数学组shiyuhai *复数的概念例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位 于第四象限。不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限.xyO设z=x+yi(x,yR)满足|z|=5(zC)的 复数z对应的点在复 平面上将构成怎样 的图形？5555
