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1、 线性空间引论Department of Mathematics, College of Sciences哈尔滨工程大学理学院应用数学系Department of Mathematics线线 性性 空空 间间 与与 线线 性性 映映 射射第第 一一 章章Department of Mathematics已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的问题：线性空间的一个重要特征在线性空间 中，最多能有多少线性无关的向量？1.2 线性空间的基线性组合：设 ，若 使得：则称 x 是 的线性组合Department of Mathematics向量组等价向量组 能由向量
2、组 线性表示向量组等价线性相关性线性相关线性无关Department of Mathematics向量组的秩记为：向量组的秩Department of Mathematics定义 设 为数域 上的一个线性空间。如果在中存在 个线性无关的向量 ,使得:中的任意一个向量 都可以由 线性表出,即:则称 为 的一个基底；为向量 在基底 下的坐标。此时,我们称 为一个 维线性空间，记为 一，线性空间的基Department of Mathematics例1. 实数域 上的线性空间 中向量组都是 的基。 是3维线性空间。例2. 实数域 上的线性空间 中的向量组与向量组都是 的基。 是4维线性空间。Depa
3、rtment of Mathematics例3. 实数域 上的线性空间 中的向量组 与向量组都是 的基底。 的维数为注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。Department of Mathematics例4. 在4维线性空间 中，向量组与向量组是其两组基，求向量 在这两组基下的坐标。解：设向量 在第一组基下的坐标为Department of Mathematics于是可得 解得同样可解出在第二组基下的坐标为Department of Mathematics几个重要结论:1，若 是 维线性空间
4、的基,则:2, 如果对于任意的 ,均可以在 中找到 个线性无关的向量,则称 是无限维的线性空间一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。3, 无限维的线性空间是存在的Department of Mathematics2.基变换与坐标变换设 （旧的）与 （新的）是 维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为Department of Mathematics将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称 阶方阵Department of Mathematics定理：过渡矩阵 是可逆的。是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可 以写成ADepartment of Mathematics在旧的基 下的坐标在新的基
5、下的坐标称上式为坐标变换公式。定理: 任取 ，设 在两组基下的坐标分别为 与 ，且过渡矩阵为 , 那么我们有：Department of Mathematics与向量组例1 在4维线性空间 中，向量组:Department of Mathematics为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵，并求向量 在这两组基下的坐标。解：计算出下面的矩阵表达式：Department of MathematicsDepartment of Mathematics向量 第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为直接用坐标变换公式Department of MathematicsDepartm
6、ent of Mathematics求线性空间的向量在基下的坐标。和由基底 到基底的过渡矩阵.练习1Department of Mathematics事实上，W1 是n元齐次线性方程组的解空间. 所以，dimW1 n1，的一个基础解系判断 的下列子集合哪些是子空间： 若为 的子空间，求出其维数与一组基.练习2Department of Mathematics就是W1 的一组基.故W2不是Fn的子空间.而 不是子空间，在 W2中任取两个量 ，设则Department of Mathematics则有 设其次， 下证W3是Pn的子空间.故，W3为V的一个子空间，且维W3 n1 ，就是W3的一组基.Department of Mathematics设V为数域P上的线性空间， 则W关于V的运算作成V的一个子空间 即 的一切线性 组合所成集合.是非常重要的张成子空间Department of Mathematics比如 在Rn 中， 类似地，还有事实上,任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成.为Rn的一组基，即 Rn 由它的一组基生成.Department of Mathematics
